CHAP. VII. — FRANGES

Cela posé, pour connaître la TÎtesse que doit prendre le point/?, il sufiSt de remarquer qu'elle résulte des quantités partielles de mouTements envoyées par la portion tx de l'onde in* ddente et par la portion far'.

Or, les arcs ta et ab étant essentiellement inégaux, et de plus VÎQteiisité des ébranlements que leurs divers points peuvent exciter en/» étant différente à raison de leur inclinaison croissante sur la ligne /?/*, il en résulte que ces deux arcs pris ensem- UeenToient de la lumière au point/?, qu'il en est de même des deux suivants , jusqu'à ce que l'on arrive à tm groupe de deux uts pour lesquels les lignes menées au point/? soient tellement inclinées sur pf que l'on puisse considérer comme tout à fait nulles les différences des ébranlements qui arrivent dans ces directiODs.

On peut essayer de déterminer par le calcul Tintensité et la direction de cette résultante de tous les ébranlements partieb que les divers points de l'onde ta envoient au point /?, mais jusqu a présent la théorie n'a pas appris à résoudre cette question d'une manière générale, et d'ailleurs nous devons nous borner ici à faire remarquer que l'arc ta est celui de tous qui produit ^le plus grand effet sur le point /?, parce qu'il agit de plus près et sous la moindre obliquité. Ainsi la résultante aura, dans tous les cas, une direction telle que /?r, plus ou moins rapprochée de pt. Mais cette direction changera par deux causes : ^* la distance du point lumineux à* l'écran restant la même, la résultante s'éloignera d'autant plus de pt que le point p s' approchera davantage du bord de l'ombre géométrique du coté de ^, parce que les lignes /?a, pb devenant moins obliques, les ébranlements qui arrivent au point/? suivant ces lignes prennent. plus d*itttensité; 2° le point/? restant le même, si le point lumineax se rapproche ou s'éloigne de l'écran ttf^ le cercle qui représentera l'onde incidente, et qui passe toujours par les points t ^^ d^ sera en dedans ou en dehors du cercle xt^ et cette circon-» ^nce changeant la disposition des points a, 6, c, etc., et l'obliquité des lignes menées de ces points au point /? , il est évident que la direction de la résultante pr des ébranlements qu ils exaient en ce point sera elle-Ynême changée, et d'autant plus ■approchée de/?^ que le point lumiiieux sera plus près de l'écran. Ainsi, en dernier résultat, la lumière que la portion ta de II. 2i

set LPTRE VL — OPTIQUES.

l'onde enTdie au. point p dépend de la largeur de Uécran, de sa distanee au point lumineux, et de la poaitîon de ee point j9 danff Fombre géomt^que.

Ce que nous venons de dire de la portion tx de Tonde s^appliqne à la portion l!x\ qui donne donc aussi an point /? une résultante pr^^ dont la direction est plus ou moins rapprochée de pif» Mais, pour une même distance du point himnemL à réeran, on Toit que cette résultante se rapproche de /^l' à mesor^ que le point/» se rapproche du bord g de Fombre géomttr^ue, et par conséquent à mesure que la résultante de ta. s'âoigne: de/'t; et réciproquement la insultante pr^ S'^éloigne àepi à mesure que le point /? s'approche du bord g' de Fombre géomé^ trique , et par conséquent à mesure que la résultante pr se rap^ proche de pt.

Ces deux résultantes /^r etpr' déterminent la vitesse dn point/? ; toutes les ibis qu'elles seront concordantes, il j aura vitesse pfais grande et lumière plus vive^ et il y aura moimke vitesse, et par conséquent ténèbres, toutes les fois qu'elles seront diflcordftntes. Le premier cas arrivera quand la difierence des chemins papoourus pr et pr^ sera nulle ou égale à un nombre pair de demiondulations; et le second cas arrivera quand cette même difiFéi» rence sera égale à un nombre impair de demi-ondulations.

Pour to^s les points qui sont situés sur Faxe de Fombre géo* •métrique /m/, la différence des chemins parcourus sera toofoon^ mille, et le centre même de Fombre sera toujours une frange brOlante.

En s'écartant de Faxe, sur la ligne yg^ le point p MiifeijL bientôt dans une position pour laquelle la différence des lignes pr et pr^ sera égale à une demi^ondulation ; alors il y aura ^sooir^ dance complète, et par conséquent obscurité; ce phmomène 9e produira à la même distance à dnnte et à gaudie de la frange brillante du centre, et les deux franges sombres qitt en lésudteront forment le système des franges sombres dtLprcBBàer erdre»

En continuant de s'écarter de part et d'autre de Fase, le point p passera successivement par des posifeions pour l£8qiidle& la différence des chemins paroMrus pr et pr' atnt dcwx tlemi!ondulations^ ce qui donnera les franges briUastes du deiuôènm ordre, puis trois demiHmdulationB, franges sombres du dtajôànan ordre, puis quatre dani^-ondulations, firanges brittanles du troi-

CHAP. VU. — FRANGES. dÊS

sîème ordre, puis cinq demi-oiiclulatioiiSy fiaii|[es fiomlHres du troiâéme ordre, etc.

Si l'on arrête la lumière qui rase l'un des bords de rëcrtn, on taàt à Tinstant disparaître les franges, car il n'y a plus d'in» terférence possible; c'est ce fait fondamental , découvert par le docteur Young, (juT Favait condUiit à la théorie des ondulations. Sî Ton fait passer par une lame tranq[>areBte qudoonque la lomîère qui rase Tun des bords de Fécran, les firanges disparaissent encore lorsque la lame est nin peu épaisse, x et elles ne luit qoe se déplacer IcMrsque la lame est très-mince; e'ettiine obsaratîoii de M« Ârago qui confirme celle du docteur Young^ et qn constate en outre que dans les corps solides les^ ondulanoDs n'ont pas la même longueur que. dans Fàir. En observant le se» du déplacement des franges et sa graiuleur, comparée à répaisseor de la lame, on arrive à conclure que le rapport des Vongueurs d'ondulations est égal à Findice de réfraction; et cQDBe une ondulation doit toujours s'accomplir dans le même teap$^ dans tous les milieux, il en résulte que la vitesse de pro- . p^alîon de la lumière dans un milieu est d'autant moindre que ce miliett est |dus réfringent.

Pour vérifier, par l'expérience, la formation des franges, leur di^Muitioii et leur déplacement^ et toutes leurs prc^riétés, il suffit de disposer sur le premier support la fiche n** 1 ou la fiche a* 2, et SOT le deuxième support le n* 4, le n^ 5 ou le n^ 6. .Ces deux SDfiports doivent être à environ un mètre de distance,. et l'on observe les franges avec le micromètre que l'on promène à di<* reaes distances derrière le deuxième support*

En développant les pincipes dont nous venons de parla*, il est ùucHe de voir qu'un écran 'circulaire opaque de 1 à ^ nnlfinètres de diamètre, éclairé par une lentille ou. par un trott rond assez petit, doit donner une ombre circulaire dont le centre se troisire éclairé comme si Fécran était diaphane. Cette conséquence se vérifie aisément : on emploie pour cela la fiche n® 7 bis an presBÎer support, et la fiche n" 7 au deuxième; leur distance doit être de 8 à 10 décimètres, et Fon doit alors placer le mi«cronètire à 2 ou 3. décimètres derrière Fécran opaque.

l>fiS. FvsBces jpffodnltes par les petite» oavertares.— -Spioit f (Fifi. 17) le point lumineux, W la largeur de Fouv^ture que la famière traverse, et fy, fg^y les limites de Fombre géométrique.

Pour mieux faire sentir la cause qui produit ici les franges, nous distinguerons trois cas. Il peut arriver :

1* Que Ton observe seulement des franges extérieures^ c'està-dire des firanges produites dans Tombre géométrique de part et d^autre du faisceau lumineux intérieur;

2* Que l'on observe seulement des franges intérieures y c'està-dire des firanges produites dans le faisceau lumineux intérieur;

3® Que Ton observe à la fois des firanges intérieures et extérieures.

146. Frmnses extérieures. — Les franges de cette espèce ne peuvent jamais être obtenues que par des ouvertures très-étroites, et même il arrive souvent que près de l'ouverture elles se trouvent mêlées de firanges intérieures plu» ou moins nombreuses, de telle sorte qu'il est nécessaire, pour les avoir pures, d'aDer les observer à une grande distance. Voici les conditions sous lesquelles elles se produisent, et les lois de leur formation :

Du point /*, conune centre, décrivons un arc xhdlx\ ^ représente l'onde incidente ( Fio. 17 ), -et sur la ligne ^, qui passe par le milieu de l'ouverture, concevons un point/? à une distance de quelques décimètres de$ bords h eiV . Si l'ouverture est assex étroite pour que la différence des distances ph etpz o\xpb* eXpz soit égale seulement à une demi-ondulation, il n'y aura jamais de franges intérieures à une distance des biseaux plus grande que pz. En effet, pour tous les points, tels que p\ situa sur l'axé fzy et plus éloignés que le point /?, la diÏFàrence des diemitis. parcourus p'V et p'z ou p'b et p'z sera moindre qu'une demi-ondulation; par conséquent, de tous les ébranlements envoyés en p' par l'arc zb^ aucun ne sera détruit; il en sera de même des ébranlements envoyés au même point par Tare jh \ de plus, la résultante des premiers sera conspirante avec celle des'seconds; il y aura donc une vive intensité de lumière. Ainsi, au delà du point />, jamais l'on n'observera de firanges sombres sur l'axe fz.

Maintenant, si par le point p Ton mène la ligne indéfinie T'A parallèlement aux biseaux, et que l'on détermine sur cette ligne les points j, /, s\ etc., pour lesquels les différences des chemins parcourus sb' — sb^ s'b* — /i, s'V — j*é, etc., soient respectivement 2 demi-ondulations, 4 demi-ondulations, 6 denii-ondtdations, et en général un nombre pair de demi-ondulatioDS,

CHAP. Tli. — FRANGES EXTERIEUBES. 325

ces points s^ s\ s'y etc., seront les milieux des firanges sombres du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre, etc. Au contraire, les milieux des franges brillantes du premier, du deuxième, du troisième ordre, etc., seront donnés par les points r, /, r", etc., compris entre les premiers, et pour lesquek les di£férences des chemins parcourus rb' — ré, r'b'^^r'b^ r'V—r'b^ etc., sont respectiTcment 3 demi-ondulations, 5 demi» oodulations, 7 demi-ondulations, et en général un nombre im^ pair de demi-ondulations.

En effet, dans le premier cas, il s^agit du point s'\ par exém» pie , on conçoit que la portion bzV de Tdnde incidente puisse être divisée , -à partir du point 6, en quatre partie^ telles que les distances de s' à la fiii de la première, de la deuxième, de la froisième et de*la quatrième, qui se termine en b\ surpassent s'b de 1 demi-ondulation, 2 demi-ondulations, 3 demi-ondulations, et 4 demi-ondulations. Alors la résultante des ébranlements que la première partie envoie en / sera discordante avec celle de la deuxième partie, et sera détruite par .elle, tandis que celle de la troisième partie sera , par la même raison , détruite aussi par celle de la quatrième. Ainsi le point s' est le milieu d une frange sombre. Pour le point ^, on partagerait Tare bzb' en deux parties, en six pour le point s'^ etc. , et l'on ferait le même raisonnement.

Dans le second cas, s'il s'agit du point r', par exemple, on conçoit que la portion bzb* de l'onde incidente puisse être divisée, à partir du point i, en cinq parties telles que les distances de r' à la fin de la première , de la deuxième , de la troisième , de la quatrième et de la cinquième , qui se termine en V^ sur^ passent respectivement /& de 1 , 2 , 3 , 4 et 5 demi-ondulations. Alors, la résultante des ébranlements que la pi'emicre partie envoie au point / sera détruite par celle de la deuxième, tandis que celle de la troisième sera détruite par celle de la cpiatrième ; mais il i;estera celle de la cinquième partie, qui viea-> dra éclairer le point r' de toute son intensité. Ainsi le point. r' #era le milieu d'une frange brillante. Poui*le point r, ott diviserait l'arc b:d> en trois parties , en sept pour le point r', etc., et l'on ferait le même raisonnement.

Telle est la cause de la formation des franges extérieures i^^r des ouvertures étroites.

326 LIVRE VI. — OPTIOCE.

n nous reste h présent à indiquer les lois qu^elles smyent dans leur déreloppement.

Puisque les milieux des franges sombres du prenûer ordre fonnent la série des points dont les distances aux points ( et i' sont de S demi-ondulations , il est évident qu'elles se trouvent sur deux branches dTiyperbole ayant pour foyer les 'points i et i\ et pour grand axe une longtieur égale à 2 denn-onddations. Par la même raison les franges des divers ordres se meuvent suivant des hyperboles dont les foyers sont encore en i et i\ et dont les grands axes ont respectivement pour longueurs 4,6, 8,. etc., demi-ondulations. Or, ces hyperboles se confc»dent sen^blement avec leurs asymptotes, et il est facQe de Toir, en représentant par ^ la largeur de Touverture et par dh, demilongueur d^une ôndulatiop , que la tangente de Tangle des

asymptotes avec Taxe des franges est — ; pour les franges 1»il-

lantes du {»«mier ordre, du deuxième ordi«, etc., n sertît 4, etc., et pour les franges sombres, 1, 3, etc., les an^^t assez petits pour être propordonnels à leurs tangentes. On en déduit les lois suivantes :

1® La largeur des franges ou la distance des milieux de deux franges sombres consécutives est en raison inverse de la largeur de l'ouverture ;

2* De i^que côté de Taxe les franges sombres consécuâres sont équidistantes , et. leur distance est égale à la distance de Taxe à la frange sombre du premier ordre, ou, ce quirenent au même, les distances des franges sombres i Taxe forment une progression arithmétique dont la raison est égale au premier

3" Les largeurs absolues des franges intérieures crussent propordonnellenieat à la distaiioe à laquelle on les reçoit denière les biseaux ;

4^ Les largeurs absolues des franges sont en raison mverse des rapports de réfraction des milieux dans lesquels elles sont produites, car elles sont en raison inverse des ondes, « w« avons Vu plus haut que les longueurs des ondes sont en raiscm inverse des rapports de réfraction.

Ces loîs^ qui se déduisent si simplement de la kfaéone a^ Frésnel , ont été établies pour la premièi^ fois dans le trav*

GHAP. VIL — FRANGES EXTl^IEURES. 927

que nous awxns (ait en 1S1&, BL Bîot et-mcd, svr les fkàiaiM*

de diffraction^ ettes liaient alan un pur réanltaft d'eaqiénoufl «'«mm pn troiiTer auonne théorie poHr lea lier eu pour les ecptiqner, parce <pe noos adoptionB exohiiivenatt le système de FémifiBion , qoi ne peut en réalité ex^i^œr la mmnàre ânsoDStuaee des phénomènes de la diffimct&cnu

147. yBegiii jaaéiTiewpcB. — Scâent f le point homneaK (FxG. IS), i et i' les faîseaiix y et pua point pris snr Taxe paif i ■ne ditfanffp idle qm la différence pb — pz^ on pb' — pz soit- mie àrmm nniTnliition Kons venons de voir qv'aa delà du poktt p il WLj a pas de fironges intériemes; mais nous aUonsmontier qu'en dm^ en point p, c'est^^^dire plus près de rouverture, il y n sBoeew^onaent sm* Vaxe des franges nwhrcB et farillantes. En ^fct, on oonçoît qu^il existe des poînti s^ s'y s"^ pour lesquels k» diffmnces sb-^^z ou sb' — «z, /b — r#'^>ou /b' — s'zj s'b — ^''x m — s'zy etc., seront ve^cdrenent £, 4, 6, ou en général pair de denû-ondnkitooi» ; et ces points seront les de finnges iMimlires, puisque chanin des éhranlemems ^'ik leçoivent des parties zb et ;z^' de l'ende incidente est dépar lui-même. Au contraire, les points r, r', aie, conqpris les premiers, sont tels que les difSàrenœsr^ — rzwirh' — ^rs^ 7<i — f^z ou /&' — r^Zy etc., sercmt de S, 5, ou en général un non^re âmpaur «de demi-H>ndulations , et ^oes points seront ies milîecnL de (ranges biâlaiiAes, puisqu'ils épnMEfent de la part des ans kz&l bz' des ébranlements concordants, qui sont chacun séparément capables de les éclairer.. Ainsi, 1^ condition qui ikmb a MTvi pios haut a déterminer les distances ou les franges extérieures commencent à être seules, nous donne pareillement les famtes doquelles il fiant partir pour obaarver des ^franges intélicureB en se rapprodiant des biseaux. /

Maintenant , pour dooner une idée du nombre et des distanees des firanges intérieures , nous examinerons . seulement le cas où la lumiàie incidente est de la lumière parallèle. L'onde qui Kndbe eur l'ouverture étant alors représentée par la ligne droite W QPxQ, 1 9), pvenons «or l'axe da iiosceau un point p tellement âtoé que la différence /?& — pz oxxpb' — pz soit nn nombre pair de drâm-ondulations , par exemple 10 demi-ondulatioDs. Ce point p sera le milieu d'une frange sombre, puisque ciiacun des âyranlements des arcs zb et zb' hi^ détruit séparément, bien iqae

cette destruction ne soit pas totale. Pour des points voisins du point p^ et comme lui situÀ sur Taxe , ou plus près ou plus loin des biseaux , la différence sera 1 1 demi-oscillations ou 9 demi* ondulations; donc il y aura lumière, comme nous venons de le voir dans la figure précédente , et le chemin qu'il faudra faire pour arriver à ces points sera d'autant plus court que les. 1h* seaux seront plus écartés Tun de Tautre. Mais arrêtons-nous au point /7, et essayons de îdxre voir que sur la ligne horizontale ph il y aura à côté de lui dans le faisceau lumineux luinmême des franges intérieures alternativement brillantes et sombres. Concevons que Ton prenne sur ph un point Sj déterminé par la double condition que les difFérences sb — sm et sb' — sm soient Tune et l'autre un nombre pair de demi-ondulations, par exemple la première 8 et la seconde 14 , il. est évident que le point s sera alors le milieu d'une frange sombre , et , en général 9 il y aura sur ph autant de franges sombres qu'il y aura de points analogues au point Sy c^est-à-dire tels que les différences sb — sm et sb' — sm soient l'ime et l'autre égales à un nombre pair quelconque de demi-ondulations : d'ailleurs, il est facile de voir que ces franges sombres seront d'autant plus nombreuses et plus serrées que l'ouverture sera plus grande , et le point lumineux et la ligne ph Tun et l'autre plus rapprochés des biseaux : au contraire, les fr*anges brillantes seront détermina par les points /•, pour lesquels les différences rb — rn et rb' — m sont chacune égale à un nombre impair de demi-ondulations, puisque alors ces points recevront de chaque partie bn et b'n de l'onde incidente des ébranlements conspirants , et dont chacun séparément serait capable de les éclairer.

148. Frani^ea iMtérfénres et extérieures. — Pour qu^il se produise à la fois des franges intérieures et extérieures^ il sufiBt que l'ouverture soit assez large pour donner naissance à des franges intérieures, et assez étroite pour que les portions de l'onde qui touchent l'un des bords donnent une résultante sen-> sible dans l'ombre de l'autre bord. Sous cette double condition, chacun des systèmes de franges est produit suivant les lois qui lui sont propres.

Les principes que nous venons d'exposer sur les modifications remarquables que présente la hunièi*e homogène d'une seule couleur, en passant au travers des ouvertures i*ectangulaires, peu«»