CHAPITRE TUI

Prindpet d'HydrodyDamiqiie.

L'hydrodynamique, considérée d'une manîèi'e générale, embrasse tout ce qui est relatif au mouvement des Suides, et forme par conséquent Tune des brandies les plus importantes de la mécanique rationnelle. Mais, dans quelques cas particuliers, les mouvements des liquides sont soumis à des lois assez amples pour être directement vérifiées par l'expérience , et c'est sou* le point de vue purement expérimental que nous allons indiquer les principes de l'hydrodynamique et la construction de quelques macliines qui en dépendent.

90. CoBdlIloM de réeonlem»! dea U^nldcB, «t lké*rèMe I de Torpleelll. — Les parois des vases qui contiennent des li- ! quides supportent généralement deux pressions opposées (Pl. 6, FiG. 5) '. l'une, qui s'exerce de dedans en dehors; et qui repousse la paroi; l'autre, qui s'exerce de dehors en dedans, et qui tend à l'enfoncer. La première est la somme des pressions dues à la colonne liquide qui s'éli-ve au-dessus du point de la paroi que l'on considère, et au poids que celte colonne ellemême peut supporter à son sommet ; la seconde est la pression atmosphérique, ou, plus généralement, la pression du milieu

i enveloppe le v;>sc- Lorwni'ijn peicn uiie ouverture, soil dans

CHAP. Vni. — HYDRODYNAMIQUE. 145

due à Tatmosphère. Si l'ouverture de l'éprouvette n'avait que 2 ou 3 millimètres de diamètre , le disque de papier ne serfdt point nécessaire : mais, pour des ouvertures plus grandes, le disque de papier empêche que la colonne ne se diuise , c'est-àdire que l'eau ne coule d'un coté, tandis que l'air monte del'autre. Lorsque le liquide s'écoule d'un orifice en vertu de l'excès de pression dont nous venons de parler, la dépense^ c'est-à-dire le volume qui s'échappe dans un temps donné, dépend évidemment de la section de l'orifice et de la vitesse dont les molécules liquides sont animées au moment où elles là traversent. Cette vitesse dépend à son tour de la densité du liquide, de Texcès de pression qui s'exerce à l'orifice , et du firottement que le liquide peut éprouver, soit contre les parois du vase, soit contre les bords de l'orifice. Pour diminuer le frottement, qui n'est ici qu'une force perturbatrice , on cherche d'abord les lois de l'écoulement par des orifices en minces parois^ c'est-à-dire par des orifices percés dans des plaques très-minces, et ajustés à des vases de grande dimension , afin que le liquide n'ait ({u'une trè»-petite vitesse contre les parois du vase lui-même.

Sous ces conditions, les lois de l'écoulement sont comprises dans le théorème suivant , qui est connu sous le nom de théorème de Torricelii : Les molécules^ en sortant de Vorifice^ ont la même vitesse que si elles étaient tombées librement dans le vide^ d'une hauteur égale a la hauteur du niveau^ aunlessus du centre de Vorifice. Nous verrons, dans un instant, comment l'expérience peut vérifier cette loi fondamentale, et comment die peul vérifier aussi les trois conséquences suivantes qui s'en

Pjremiàrement. La vitesse découlement ne dépend que de là ffofimdeur de Vorifice au-dessous du niveau^ et nullement de la nature du liquide ; car tous les corps, en tombant de la même hauteur dians le vide, acquièrent la même vitesse. Ainsi, le mercure et l'eau prennent la même vitesse lorsqu'ils s'écoulent par des orifices qui sont à la même profondeur au-dessous du mveau. Cependant le mercure est poussé par une pression bien plus grande que l'eau. La profondeur de l'orifice étant, par exemple, de 10",30, l'eau ne serait poussée que par la pression d'une atmosphère , tandis que le mercure serait poussé par une pression de 13 atmosphères et demie.

146 LIVRE PJtEMlER. — PESANTEUR.

Sccondemcut. Pour un même liquide, les vitesses découle' ment sont conaue tes racines carrées Jfs profondeurs des orifices au-dessous du niveau; car les vitesses des coqis pesants sont entre elles comme les racuics cut,^ des hauteurs de chute. Aiuû, dans un vase qui aurait, par exemple, 100 mètres de hauteur, si l'on perçait deux, orifict^s , l'ua à 1 mètre de profondeur, et L!auu-e sur le fond à 100 mètres de profondeur, la Tit096e du liquide sortant par le dernier serait dix fois plus grande seiUement que la vitesse du liquide sortant par le premier. Cependant la seconde pre»ùon 5«.'rait 100 Ibis plus grande que la première.

Troisièmement. Si la pression qui s'exerce au sommet de la colonnne liquide était plus grande que la pression extérieure qui s'oppose à l'écoulement , . cet excès de pres^ùon serait équivalent au poids d'une culoimc de mime liquide d'uue certaine hauteur; et alors la vitesse des jnoicciiles qui s' écoulent sowt la même que si elles l'taicnt tomhécs du somnict de cette seconde colonne qu'il faut concevoir comme ajoutée au-dessus de la première. Ce serait le contraire si la pression extérieure était plus grande que la pression qui s'exerce au-dessus du liquvjle.

OL.DIver* H«j-eBs d'*hteiilr une prewvlon asBaMMie. — Pour vérifier les lois précédentes d'uue manière simple et rîgtMireuâc, il est nécessaire d'ohtcuir une vitesse coustaiite à l'orifice, et par conséquent de maûitcuir une pression con&taate lur le liquide qui s'écoule. On y parvient de plusieurs tnanières, mais nous indiquerons seulement les trois procédés suivanits : le

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et d'imcentonnoir n destiné à conduire dans la caisse infërietn^ tout le liquide qui s'échappe de l'orifice o. !8i l'on prend dans le ?a«e i^, par exemple, 10 litres d'eau, et qu'on les verse dans la caisse c, le niveau ne sera pas changé dans le vase p, car la caisse, étant devenue plus pesante de 10 kilogrammes, déplace, de plus, lO'litres d'eau dans le vase v. Ainsi l'addition de l'eau dau&laroaisse fisût remonter le niveau autant que la soustraction de Teau'dans.le vase le fait baisser : mais, si l'on ajoute Teau dans la caisse inférieure c', on obtiendra le même résultat, puisqu'on .produira une même augmentation de poids dans le système; donc, pour obtenir un niveau constant pendant l'écoulement, il suffit d'ajouter au-devant de l'orifice- o un entonnoir n qui amène dans la caisse c' tout le liquide qui s'écoule par l'orifice o. VaBe.de ■■vlfitte. — Cet appareil est représenté (Fig. 8, 9). t est un tube qui peut>glisser dans 'le bouchon de la tubulure b^ et dont l'extrémité inférieure est successivement ou abaissée au point p, au-dessous du niveau iw de Touverture latérale ou relevée au point A, au-dessus du niéme niveau. L'ouverture latérale est assez étroite pour que la colonne Uquide ne puisse pas se diviser. Le tube étant en p (Fig. 8), et complètement rempli d'eau , ainsi que le flacon , il est clair que le liquide doit s'écouler par l'orifice latéral c^, car la pression intérieure se compose de la pression atmosphérique qui s'exerce au sommet du tube , «t de la pression due au poids de la colonne liquide sn^ tandis que la pression extérieure n'est que la pression atmosphérique. Le liquide jaillit en effet, et le niveau tombe rapidement dans Tintérieur du tube depuis le point s au point w; là, il s'arrôte, et tout écoulement cesse. Le vase reste plein, l'orifice p reste ourert, et cependant pas une goutte de liquide ne s'échappe. Sur toute l'étendue de la couche horizontale n'ni^y la pression étant la même qu'au point n, c'est-à-dire une pression atmosphérique, il n'y a plus de raison pour que le Uquide s'écoule. Sur une autre couche, telle que c'c, la pression n'est pas due seulement m poids de la colonne supérieure, mais elle est égale à une pression atmosphérique diminuée de la colonne cV. Que l'on fasse maintenant glisser le tube pour le remonter jusqu'au poiilt hy à l'instant même l'écoulement recommence, les bulles d'air se forment à l'extrémité inférieure du tube, se gonflent, se détai^hent, .et :m»nt«at à la fife .dans la partie supérieure du irase.

148 LIVRE PREMIER. — PESAKTEtlIt.

L'écoulement continue de la sorte, avec une vitesse constante, pendant tout le temps que le niveau du liquide descend depuis le sommet du vase jusqu'en h ; car la pi-ession sijr la couche n'nv se compose alors de la pression atmosphérique qui s'exerce en h. et de la pression qui est due au poids de la colonne An, pression^ qui restent l'une et Tautre constantes aussi longtemps que le niveau n'est pas tombé jusqu'en h. A partir de cet instant, la vitesse d'écoulement diminue de plus en plus, jusqu'à devenir tout à fait nulle, quand le niveau est arrivé au point n. Le vase de Maiîotte peut être présenté sous une grande variété de formes , soit avec un orifice latéral pour l'écoulement, soit avec un orifice horizontal, comme l'indique la figure 9.

8S. V^rUflatlm «xpériHcatale dn thécMma de T*nlralll. — La vitesse v des molécules qui sont tombées librement dans le vide , d'une hauteur h , est exprimée par la formule

v=y/2fk qui se dédiiit des formules générales du mouvement des coipt pesants (40). Nous avons vu d'ailleurs (SO) qu'à Paris on a ^=9',8088. Ainsi

Telle est donc, suivant le théorème de Torricelli, la vitesie que doivent prendre les molécules liquides au moment où elles traversent un orifice dont le centre est situé à une profondeur h au-dessous du niveau , h étant exprimé en mètres. C'est ce que l'on -appelle la vitesse théorique. Pour vérifiL-r ce résidtat, il

CHAP. VIII. — HYDRODYNAMIQUE. ii9

et il est évident que v' représente la sfitesse effectwe des molécules liquides, puisqu'il représente le nombre des mètres que ces molécniles parcourent réellement en 1*.

11 est donc facile de voir si la vitesse effective donnée par It formule

s rst égale à la vitesse théorique donnée par la formule

Des expériences comparatives sur ce sujet ont été faites par un très-grand nombre d'observateurs, et tous les résultats conduisent à cette conséquence, qu'à l'orifice même la vitesse effective est seulement les deux tiers environ de la vitesse théo^rique. Ainsi le théorème de Torricel]i, fondé d'ailleurs sur des considérations mécaniques très-simples, semblerait, au premier abord, n'être pas confirmé par rexpérience. Mais l'on parvient (ependaut à concilier les résultats : il suffit , pour cela , de tenir compte de la contraction de la théine fluide. On observe, en t'ffet, que la veine se contracte à paitir du moment où elle sort (le l'orifice , c'est-à-dire que sa section diminue rapidement ; si l)ien qu'à une distance égale à peu près au diamètre de l'orifice, sa section n'est plus que les deux tiers environ de la section de l'orifice lui-même. On a cru longtemps qu'au delà de cette liniite la veine -reprenait une section plus grande, et qu'elle avait par conséquent un maximum de contraction; mais Savart a démontré {^ Annal, de Chim. et de Phys. ^ t. LUI, p. 337) qu'il n'y a de maximiun de contraction que pour les veines qui ^nt lancées de bas en haut , et que dans tous les autres cas la section de la veine va toujours en diminuant depuis l'orifice jusqu'à l'instant où elle se trouble et se divise , comme nous le verrons tout à l'heure : seulement, la contraction qui est d'abord très-rapide, devient très-faible à partir d'une distance égale à peu près au diamètre de l'orifice.

Si donc , au lieu de considérer la vitesse des molécules fluides dans l'orifice lui-même, on la considère dans la section de la veine qui se trouve à une petite distance , au point où la rapide contraction s'est accomplie, il est évident qu'elle est d'autant plus grande que la section est plus petite , ou , en a autres

ISO LIVRE. PRENIER. — PESANTEDa:

tenues, que les vitesses sont en raison inverse des sectioiu , oar c'est la même quantité de liquide qui passe dans le même temps. Pour la section dont il s'agit, la TÏtesoe effective est par conséquent égale à )a vitesse tliéorique.

Le théorème de Torricelli une fois démontré , il est facile de voir comment il faut disposer les appareils pour démontrer les trois conséquences que nous en avons tirées, et pour faire voir aussi que le jet prend une coiiréure parabolique lorsqu'il s'échappe par une ouverture latérale sous diverses inclinaisons.