Pans l'équation

V'p'-^?"p'+V"'p"'-+-etc. = o ,

qui ex|irime la seconde condition générale de l'équilibre , il faudra distinguer les momens des couples qui agissent dans un sens, d'avec les momens de ceux qui agissent dans le sens contraire, et leur donner des signes difierens.

Mais pour plus de clarté et de précision, nous allons reproduire cette équation sous une autre forme.

Manière plus simple de présenter les conditions précédentes.

92. Soient B', B", B'", etc. (fig. 35), les points Fig. î3ou les forces P', P", F'", etc. , sont immédiatement appliquées dans le plan. Soient x' ety

les deux coordonnées AG' et G'B' du point B', par rapport aux deux axes quelconques AX, AY; x" etj-" les deux coordonnées analogues du point B*, et ainsi de suite. Supposons que l'on décompose d'abord toutes les forces P', P", P*, etc., parallèlement aux deux axes AX, AY; et nommant, comme plus haut, X' et Y' les deux composantes de P'; X" et Y" les deux composantes de P", etc., ne considérons plus,

au lieu des forces données [eux groupes X', X",

s les de u:

que T", elc.

D'abord , les forces parallèles,X',X",X"', etc. ^ étant transportées parallèlement à eltes-iuêmes dans l'axe AX, s'y composeront en une seule égale à leur somme. Les forces parallèles Y'; Y", Y'", etc. , étant transportées de même daitt l'axe AY , s'y composeront aussi en une seulir égale à leur somme. '

Ces deux résultantes partielles se composeûront en une seule appliquée en A, et par Ut première condition générale de l'équilibre , qnî veut que cette résultante soit nulle, on aura, comme ci-dessus , les deux équations

X' +X"+X'"+etc. = o, Y' + Y"+Y"' + etc.=o.

Il faut exprimer ensuite que la somme des momens des couples formés par toutes ces forcée < à l'égard du point A est nulle d'elle-même^ Mais en observant que l'axe AX fait avec les dîr. rectionsdesforces Y', Y", etc.jdesangleségaBt entre eux et à ceux que l'axe AY forme aveti les directions des forces X', X' etc. , on voif sur-le-champ qu'on peut prendre les produits Xy, X'y, etc., Y'x', Y"x", etc.j pour moJ mens, dans la mesure relative des diflerensi

DE STATIQUE. m

couples. Donc, puisque leur somme doit être nulle, on aura 1 équation

Xy+Xy'4- etc. + Tx' -H Y'x' + etc. = o.

Cette équation remplace la précédente (91) Py + F/' 4- f'Y' + etc. = o,• maisaulieudesperpe^diculairesp',/ï',p"', elc, qu'il faut abaisser du point A sur les direclions respectives des forces, elle contient les coordonnées des points oîi les forces sont immé' diatement appliquées dans le plan. Elle a de plus cet avantage, que les termes X^', Xy, Y'j:', etc., prendront d'eux-mêmes les signes qui conviennent aux sens respectifs des couples dont ils représentent les momens , si l'on a soin de donner aux forces et aux coordonnées des signes convenables.

On pourra prendre , comme en Géométrie , les abscisses a:', x", etc. , positives à la droite de l'origine, et par conséquent négatives à la gauche, les ordonnées ?■', ?"", etc., positives au-dessus de l'axe des abscisses, et par conséquent négatives au-dessous.

Quant aux forces, il est clair que, dans chaque groupe, il faudra donner des signes contraires à celles qui agissent en sens contraires.

Mais en considérant dans'le premier groupe

une force telle que X" qui tire à droite de l'âif^ AY, et dans le second , une force telle que Y%' qui tire au-dessous de l'axe AX, il est facile df voir que ces deux forces donnent à l'égard dn poinl A des couples de même sens, lorsque leurs coordonnées AH" et AG' ou^ et x' sont de même signe. Donc, il faudra que les forces du premier groupe qui tirent à droite de l'axO des ordonnées , aient le même signe que Icfl forces du second qui tirent au-dessous de l'aica des abscisses; donc, si l'on regarde les pré* mières comme positives, on regardera aussi l(w secondes comme positives; et de cette m»^ iiière, tous les momens écrits sous le même signe dans l'équation précédente prendront dal signes relatifs aux sens des coupïes. ■'

93. Mais si dans le premier groupe X', X,', X'", etc., regardant toujours comme positives les forces qui tirent à droite de l'axe des ordoiH nées, ou qui tendent à augmenter les -"— ~= — ^ de leurs points d'application, on voulait, poa]( la symétrie, regarder aussi comme positives dansle second groupe Y', Y", Y'", etc. , les forces qui tirent au-dessus de l'axe des abscisses, ou qui tendent à augmenter les ordonnées de leurs points d'application, il faudi alors donnerun signe contiaire à toute lap^i

DE STATIQUE. tiï

des raomens relatifs à ce groupe. Etl'équatioD précédente se mettrait sous celle forme:

Xy +Xy + etc. — Y'x' — Y"x' — etc. =o.

Nous retiendrons désormais cette expression, de préférence à la première, parce que dans les deux groupes, les forces positives seront celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'application, et les forces négatives , celles qui tendent à diminuer les mêmes coordonnées.

Corollaire I.

94. Si les deux axesAX, AY (fig. 34J étaient f'S- 34à angle droit, les abscisses et les ordonnées elles-mêmes deviendraient les bras de levier des couples, etlesmomensX'/',etc.,Y'j:', etc., donneraient la mesure absolue de leurs efforts. De plus, en nommant a' l'angle que fait la direction de la force P' avec l'axe des abscisses, on aurait , pour la composante X' parallèle à cet axe, P' cos a'. On aurait pour l'autre composante Y', P' sin a'.

En nommant de même a" l'angle de la direction de la force P* avec l'axe des abscisses , on aurait X'=J^cosa', Y"=P' sin a.', et ainsi de suite; et les équations précédentes deviendraient

ELftMENS

P' cosa' + P"co3A" + P"'cosa'"+ etc. =^ b , P'sin a'H-P'sin a" -4- P'" sin a'" + elc. =0 , '

B'(y casa' — x'sàa a')-f-P*(j^'cosa" — ;r*sÎQ st*^ -4- P"'(^"'cosa'*' — x"'sin a."')+etc, = o.

Dans ces équations on n'aurait pas besoin tl^ faire attention aux signes des forces, mais seulement à ceux des abscisses et des ordonnées. Gn regarderait toutes les forces P', P*, P'", etc. eonime essentiellement positives : les signes de* sinus et des cosinus donneraient les signes rela- ItfsdcscomposantesP' cos a',etc.,P'sîna', etc.; comme cela est facile à observer, si l'on veut se donner la peine de faire parcourir une circooférence entière à I9 diretïtion d'tine Ëorco telle que P'^ autour de son. point d'applica** tion B'.

Remanjue.

C'est de cette liianière que l'on donne ordi-*- Dairement le8 équations de l'équilibre poûv dW forces quelconques situées dansun rnêrae]pl*tt^ Ces équations renferment, sous l'expiessiOn là plus simple, les premières données de la qûes-^ lion, savoir : les quantités des forces, lètift directions, par les angles qu'elles fortt avec «flé droite fixe de position > et leurs pôinls iminïé*^ dîats d'application, par leurs coordonnées refr

DE STATIQUE. n'5

tangles. Nous aurions donc pu les pfésenter les premières, et même nous abstenir de considérer les autres par rapport à des axes obliques ; mais comme on les démontre quelquefois par cette considération, que . les deux groupes de forces sont rectangulaires entre eux, poita avons été bien aise de faire voir qu'elles ne sont qu'im cas particuïigr deceUes qu'on trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que là, rectaugularité des forces n'y entre pour rien. Nous reviendrons encore sur cette remanjiM. . i ■ . > ; ■

Corollaire II.

g5. Supposom qu'il n'y ail point équilibre entre le& fortes' P*, P*, P"', elc.j et que ces forces soient susceptibles de se réduire à une seule R., qui sera leur résullaute..

Alors les trois équations de l'équilibre auront lieu en y introduisant la force — R.

Soit doue CL l'angle que fait la directioD de cette force avec l'axe des abscisses : x «t^ les deux coordonnées d'un point quelconque de cette direcUoa-

En faisant ,, pour abréger,

P'cosa'+P*cosa'+P"'cosa"'+etc.=:X, P'sina'4-P"sina"-f-P"'sina"'+etc.=Y

Ii6 ÉLÉMENS

et¥'(jr-cosa'—x'sïna')-\-T"(y'cosa'—x^s\nà^

+P"'(y"eosa"'— ^"sina"')+elc. =G , !

on aura d'abord

X — Rcoaa^o, Y — Rsina = o, *' '• d'où l'on tirera , à cause de sîn* et -|~ cos* j3 ^ i j, .

ce qui fera connaître la quantité de la vésul-T tante, et l'angle a que sa direction fait avec l'axe des abscisses.

On iiura ensuite

G — R(^cos a — xsina)=o; ■',

ou bien , en mettant pour R cos ce et R sin a, leurs valeurs X et Y ,

G — X^H-Yx = o.

Comme on n'a qu'une équation pour déterminer les deux coordonnées x et 7- , on sera' maître de prendre l'une ou l'autre à volonté. Supposant, par exempte, sc=o, auquel casoQ demande le point oii la résultante coupe l'axe des^, on aura

' ^a dis

■upposej=so, auqi

distance x du point sultante coupe l'axe des abscisses

ei cas on cherche

irection de la ré-

ou aura

On aura donc tout ce qu'il faudra pour détermiaer la quantité et la position de la résultante de tant de forces que l'oa voudra , situées dans un même plan.

Si l'on n'a trouvé qu'une seule équation pour les deux coordonnées x etj du point d'application de la résultante, c'est que, cette résultante pouvant être appliquée à l'un quelconque des points de sa direction , il est impossible que le calcul donne l'un de ces points plutôt que l'autre. Une peut donc donner que leur lieu géométrique; et l'équation précédente

est, à proprement parler, l'équation de la direction de la résultante.

Remarque,

g6. Dans les trois questions I, II, III, que nous venons de traiter cî-dessus, toutes les forces étant ramenées à une seule R et à un seul couple (S, — S), il y aura toujours une

|i8 ËLËME»S

résulUnte unique , si la force R n'est pas ntllle. Car, la force R et le couple (S, ~ S) seront toujours dans un même plan ou dans des platA parallèles, et par conséquent (71) se composeront toujours en une seule force. Ainsi , U seule condition nécessaire pour que des forcM parallèles ou des forces situées dans un mérac plan aient une résultante unique , est que 1^ résultante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque ne aoit pas nulle. 1

Sï cette re'sultante est nulle , alors toutes lefl forces du système seront ramenées à un cou{J$'' dont on connaîtra le plan et la grandeur, l'on ne pourra leur faire équilibre qu'au rooyeA d'un couple équivalent et de sens inverse, stlué dans le même plan ou dans tout autre plan parallèle.

Passons maintenant au cas le plus général

Des conditions de l'équilibre entre tant de force»

1 voudra, dirigées d'une manière quel*

conque dans l'espace.

Fig. 35. 97 . Soient P', P", P'", etc. (fig. 35), les diff^ rentes forces. D'un point A pris aibilrairemçst (jans l'espace , menons trois axca quelconque

AX, A¥, AZ qui ne suieat pas dans un même plan, et décomposons chaque force ea trois autres respect! veinent parallèles à ces axes.

Nommons X', Y', Z' les trois composantes de P'; X", \"f Z" les trois composantes de P"; et ainsi de suite. Nous aurons ^lors, au lieu des forces P', P", P'", elc. appliquées au système, trois groupes de forces parallèles : le premier, compose des forces X', X", X'", etc. , parallèles à l'axe AX ; le second , composé des foix^es Y', Y', Y'", etc., parallèles à l'axe AY; et le troisième, composé des fprres Z', Z", Z'", etc., parallèles à Taxe \Z.

Cela posé : si l'on transporte toutes ces forces parntiètement à elles-mêmes au point A , celles du premier groupe iront se réunir dans l'axe AX, et s'y composeroat en une seule X égale à leur somme; celle du second iront de même se réunir dans Taxe AY, et s'y composeront en une seule Y égale à leur somme ; enfin , celles du trois'îème se réuniront dans l'axe AZ , et s'y composeront en une seuleZégale a leursomme.

Maintenant ces trois résultantes partielles X, Y, Z se composeront en une seule R appliquée en A , et représentée par la diagonale du parallélépipède construit sur les trois lignes qui représenteraient ces forces en grandeur et en 4ireotion. '

;3o ËLËMENS

Or, par la première condition générale de l'équilibre , il faut que cette résultante soit oulle d'elle-même. Mais les trois forces X, Y, Z^ agissant suivant des lignes qui ne sont pas dans un même plan, ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles chacune en particulier (42); et par conséquent la condition R=o exige ces trois équations particulières, X:=o, Y=;o, Z=o, c'est-à-dire

X'-|-X"4-X'" + etc. =0, ^

Y' +Y"+Y'"+etc. =0, Z' -{- Z' H- Z'" -f etc = o.

Ce qui nous apprend que pour l'équilibre de tant de fortes que l'on voudra , appliquées d'une manière quelconque à un corps ou système de figure invariable, il faut d'abord ced trois conditions particulières : que la sommt des forces décomposées parallèlement à axes quelconques soit nulle par rapport chacun de ces axes.

Par la seconde condition générale de l'équt^ libre , il faut que le couple résultant de too^ les couples formes par les forces à l'égard do; point A , soit aussi nul de lui-même. Dévelop^ pons maintenant cette seconde condition.

Soit B' le point d'application de la force P'

et par conséquent le point d'application des troîscomposantesX', Y', Z'; nommons a:*,/' s', ses trois coordonnées AC, CH, HB', par rapport aux trois axes AX, AY, AZ. Nommons de même x'^y', a', les trois coordonnées du point d'application B" des trois composantes X*, Y", Z'; et ainsi de suite.

Considérant d'abord le groupe des forces Z', Z', Z'", etc., je remarque que la force Z' appliquée en B', a produit un couple (Z', — Z') appliqué sur AB', ou bien (en concevant la force Z' appliquée au point H où sa direction rencontre le plan YAX) a produit un couple (Z', — Z') appliqué sur la diagonale AH d'un parallélogramme ACHD^ dont les deux côtés AC , AD sont égaux aux coordonnées x' et ^T"'. Or, ce couple peut se décomposer en deux autres composés de forces égales et parallèles aux premières, mais appliqués sur les deux côtés AC, AD ou x', y, dans les plans respectife XAZ, YAZ (67).

Si l'on fait la même décomposition de tous lescoupies provenant du gronpeZ',Z', Z*,elc., dans les deux plans parallèles à ce groupe, et les décompositions semblables de tous ceux qui proviennent des deux autres groupes, par rapport aux deux plans analogues, il est manifeste que tous les couples du système seront réduits

lia ÉLÉMENS

^ d'autres, situes dans les trois plans coor-

dptiDës.

Or, daiiscliaque plan, les couples se réduiront à un seul, égal à leur somme. Ces trois couples résultans partiels se composeront en tio seul qui sera le couple résultant général, et qui devra être nul pour l'équilibre. M^ûs cee trois couples étant situés dans trois plans qui forment uu augle solide, ne peuvent jamais donner un couple résultant nuU ^ moins qu'ils ne soient nuls chacun en particulier (65); donc, poui' chacun des trois plans, la somme des momens des couples doit être nulle d'elle-même.

Mais dans W plan YAZ , on trouvera d'abord Ifîs couples

(Z', — Z') , (Z% — Z") , Z'", — Z'")» etc. ,

appliqués sur les lignes respectives

ensuite les couples

. (ï' — Y'), <V', — V), <Y"',— Y'"), etc.,

apj^qâés ■sur^es lignes respectives

/, z" z"', etc.

Et iionime l'axe AY&it, avec lesdirectiot»

des i«rc^X'„ Z'j Z'"» «te-, des angles égauf

çfltiTe lim, et i. ceux que forme l'ase AZ »v«c -b^

DE STATIQUE. laS

directions des forces Y', Y", Y'", etc. , oo pourra prendre les produits Zy, etc., YV,elc., pour momens, dans la mesure relative des couples situes dans le plan YAZ. Donc, puisque leur somme doit être nulle , on aura (g3)

Y'z'H-Y"z"-f-etc.— Zy— Zy— etc.=o.

On trouvera de même, pour les deux autres plans,

ZV + Z'V + etc— X'z'— XV— etc. = o, Xy +X'y+etc. ~ YV — YV —etc. =o ;

ce qui nous fait voir que pour l'équilibre du système, outre les trois équations trouvées cidessus, il nous en faut encore trois autres qui expriment que la somme des produits des composantes parallèles au pla/i de deux axes , par leurs coordonnées relatives au troisième axe, doit être nulle d'elle-même pour chacun des trois plans.

q8. Dans les équations précédentes, on prCDdra les signes des coordonnées, comme en Géométrie, positives dans un même coin XAYZ^ et négatives dans le coin opposé.

Parmi les forces, on regardera, dans chaque groupe, comme positives celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leur points d'ap-

plîcation, comme négatives, celles qui tendeat

à les diminuer (qS).

Remarque.

gg. Si l'on trouvait que les six équations précédentes ont lieu par rapport à trois axes particuliers non situés dans le même plan, il y aurait équilibre dans le système, et par conséquent les mêmes équations auraient lieu par rapport à tous les axes possibles.

Corollaire I.

loo. Si les trois axes AX, AY, AZ étaient

rectangulaires entre eux, les coordonnées deviendraient les bras de levier des couples, et les produits Zy, Y'x', X'z', etc. , etc. , les ex-, pressions absolues de leurs momens.

De plus, en nommant «', /3', y' les trois angles que la direction de la force P' fait avec les trois axes respectifs AX, AY, AZ , ou plutôt avec trois parallèles à ces axes , on aurait pour les trois composantes de P' (4^},

Y' =P' cos /S', Z' =P' cos y'.

Ennommanldemcme*', jS", y , etc. , les anS gles analogues des directions des forces P", etc.»"

DE STATIQUE. ia5

avec les mêmes axes , on aurait

X"=P"cosa", Y"=P'cos^", Z'=P"coB>", etc.,

et les équations précédentes deviendraient

P'cosa'+P"cosa"-(~P"'cosa"'+etc. =o, Fcos^'4-P"cos)3"H-P"'cos/3"'+etc.=o, P'cosy + P"cos5'"+ P"'cosy" + etc. = o ,

P'(s' cos jS' — j' cosy')+ P" (s'cos/3" — y coh>") + P"'(z"'cos^"' — /"cosj'")+etc. = o,

P'(x'cos5-' — z'cosa')+F'(j:"cosy — z'cosa.') -{-'P"'(x"'cosy"' — 3"'co8a"')4-etc.=o,

P'(y' cos a' — x'cos /S')-f-P"(y cos «' — a:"cos/3") -(-P"'f/*casa"' — x"'cos/3"'}-f-etc. = o.

Remarque.

I oi . C'est sous cette forme que l'on présente ordinairement les six équations de l'équilibre. Elles renferment d'ute manière très simple les quantilésdes forces P', P", P'", etc., leurs points d'application, au moyen de leur coordonnées rectangles par rapport à trois axes , et leurs directions, parlescosînusdes angles qu'elles font avec ces axes.

Comme on a coutume d'attribuer aux forces recta ngulaiVes une'certaine indépendance d'effists, qui ne leur appartient pas plus qu'à celles

taS

ÉLÉMEHS

P' cos /3', P* cos y', par rapport leur plan irait couper l'axe des x, on peut ea' snbstituer un autre qui exprime le moment de' leur résultante par rapport au même point (90) J

Les deux forces P' cos j3', P' cos y', étant reo» tangulaires entre elles, on a pour le carré dé*. leur résultante, P''cos '/S' + P''cos*;,'j ou..;' P''[^cos')S'-f-cos'y); ou bien (à cause dé* cos'of + cos')3-f-cos*/^i), P''^! — cos'o^»^ c'est-à-dire F' sin» a'.

La résultanie est donc P' sin et.'. La distaocel de cette résultante à l'axedes a: étant nommée p'fon aura pour son moment, P'^' sin a', qui' remplace le terme P'( z' cos /3' — j' cos y' );oà aura de même Vp" sin a", etc. , à la place déi tennes suivans de la première équation , en dé^* signant par/)", etc., les distances respectiveti des résultantes analogues à la première, par rapport à l'axe des x.

La première équation sera donc mise sous cette forme : , ,

T'p' sina' -f- Pp'sin a'-(-P"'/>"'sin a"'-f-etc. ^:=ot OVi il est visible que p% p", p'", etc. , ne sont autre chose que les plus courtes dislances des forcesF, P', P*, etc., à l'axe des x ; car la force P'sioa', qui est située dans un plan perpendiculaire à cet axe, étant composée avec la force

P' cos a', perpendiculaire au même plan, devrait donner pour résultante la force P' qnîëst dans l'espace. La force P' sin a.', n'est donc autre cbose que la projection de la force P' sur un plan perpendiculaire à l'axe des x , et par conséquent la plus courte distance p' de cette projection ;) l'axe des x n'est autre chose que la plus courte distance de la force P' au même axe. Si l'on désigne par c/ , q" , q'" , elc. , et par r', r" , }■"' y etc., les plus courtes distances des forces P', P",P'", etc., aux axes respectifs des ?■ el des s, on trouvera de même pour les deux autres équations,

P'ç' sin /3' + V"q" sin ^"-f-P*v"'.sinjl3"'-+.etc.£=ao , P'r'sin>'-Hl*"'''sin>"+F"'r"'sin>"'-4-olo.=:o.

io5. La projection d'une force sur un plan, muttipliée par sa distance à un axe perpendiculaire au plan, est ce que l'on nomme ordinairement le moment de la force par rapport à l'axe; et de cette manière on énonce ainsi les trois équations précédentes de l'équilibre :

La soTnme des motnens des forces doit ëfrf nulle par rapport à cluieun des trois n.TPS, dart.* U cas éiei équilibre >

Çqrollaiiv JJI.

udlfiSi, dàrtslfci'MV éq'nalions de l'équilibre

i3o ÉLÉMENS

on veut supposer que les forces P', P", P'", etc* s,oot toutes parallèles, ou toutes situées dans un même plan, etc., etc., et qu'on mette à la place des coordonnées a:', ^', z', etc., et des angles a', /3', y', etc. , les valeurs qui conviennent à ces suppositions, on retombera sur les équations d'équilibre précédemment trouvées pour ces différens cas, et l'on en tirera les mêmes conséquences.

io5. Si Ton suppose, par exemple, que les directions dés forces P', P", P'", etc. , concourent toutes au même point, et qu'on ait pris ce point pour l'origine des coordonnées , les cosinnsdes angles ce', )S', y', etc., seront proportion-nels aux coordonnées respectives^',^', z*, etc., des points d'application ; de sorte que l'on aura:

jc'r^T'' :-:cosa':cos/3',.r' : z' :: cosa':cos3'', etc.,

ou ^'cosa' — j:'cos/3'=o,

x' cos y' — z ros a' = o , etc.

Les trois dernières équations de l'équilibre disparaîtront donc d'elles-mêmes , et l'on n'aura plus que les trois premières , qui nous font voiir que pour Véquilihre t£un système de forces dont les directioTis concourent toutes vers an même point:, '' eïi nécessaire et il suffit t{ué

DE STATIQUE. i3i

ia somme des forces décomposées suivant trois ^ixes soit égale à zéro par rapport à chacun «fe ces axes ; et c'est ce que l'on savait d'ailleurs inirnédiatenient.

Si l'on suppose que les forces P', P", P'", etc., lie forment ensemble que des couples; comme alors chaque force P', inclinée sur l'axe des ac d'uQ certain angle a! , aura dans le système son égale, mais incliae'e au même axe de l'angle 300° + a.' , il n'y aura pas de terme P* cos a.' qui ne trouve son égal et contraire dans la première équation de l'équilibre : et la même chose aura lieu dans les deux autres. Ainsi les trois premières équations disparaîtront d'elleszuèmes, et l'on n'aura plus que les trois dernières, d'où il résulte que, pour l'équilibre de tant de couples qu'on voudra appliqués sur un corps, il est nécessaire et il suffit que la somme de ces couples décomposés perpendiculairement à trois axes, soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes : ce qui était d'ailleurs aussi clair que la proposition précédente.

Corollaire IF^.

Recherche de la résultante de toutes les forces Y, P'', 3P*, etc. , lorsque ces forces ne sont pas en équilibre, et qu'elles sont susceptibles de se réduire à une seule,

jrSs ËLÉMEMS

io6. Supposons qu'il n'y ait point dqQilihre eotreles forces P', f", P'", etc.; et soit, s'il est possible , la force — R capable de leur faire équilibre, et par conséquent R leur résultante.

Les six équations précédentes devront avoir lieu en y faisant entrer la force — R.

Soient donc a, /S, > les trois angles que forme la direction de la résultante avec les trois axes coordonnés. En taisant pour abréger,.

P' cos cl' -J- P" cos a." + P'" cos a" -f- etc. s= X, F cos 0' ■+- P' cos /3" + P' cos /3" + etc. = Y, P' cos y + V" cos y" + P'" cos y'" ~\- etc. =Z^

on aura d'abord ces Irois équations :

X — ficoBa=:o, \ — RcosjS=o, Z- — Rcosi=oj

d'où l'on tire (en observant qu'on a cos*a H- cos' /3 + cos' y=i)

R= vX' + ï'+Z'

pour la quantité de la résullanle. Ou aura ensuite, pour les anglesa, 12^, y, que sa directioD fait avec les trois axes,

DE STATiyUE. i33

En second Heu, nommant x, j, z les trois coordonnées de l'un quelconque des points de cette direction , et faisant , pour abréger ,

P'(2' COS ^' — y' COS >')"!" ^" (^" ^"^^ ^ — '/"COS^") + P"'( s'" COS /S'" — y'" CQ&-y"'')-{- etc. ^L ,

P'(a:'cOs5.'' — 3'cosa')+P"(x*cosy — r"cosa") -+-P"'(j:r"'cos3-"' — z"'cosa"')+etc. = M,

?*(/' COS a' — x'cos/8')+P"(ycostt" — a-''cos/3") + P'" {y'" COS a'" — x*cosjS"') +etc. = N ,

on aura

L — R(scos j3— ^cos5-) = o, M — R(xcos5- — s COS a) = 0, N — R(^cosa — 3rcos/S)=io ,

ou bien ,

L Yj + Zz = o , M— Zx4-Xs=o,

N — Xr+Vx=o.

Or, si l'on ëliniîae, entre ces trois équations, deux des inconnues x ,j ^z, on arrivera à Celle équation

XL+YMH-Ziy = o,

qui ne contient plus d'inconnue, et qui evprime la relation qui doit avoir lieu entre les résultantes partielles X, Y, Z, et les trois momcns

l34 ÉLÉMEWS

résultans partiels L, M, N, pour que les trois équations précédentes puissent subsister h la fois, et par conséquent pourquc toutes les forces du système puissent avoir une résultante.

107. Si cette équation de condition a lieu, les valeurs des trois coordonnées ar, ^^ z se présenteront sous la forme de ^, parce que la résultante pouvant être appliquée à tel point de sa direction qu'on voudra, il est impossible que le calcul détermine l'un de ces points plutôt que tout autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique, et les trois équations précédentes ne sont autre chose que les équations des trois projections de la résultante sur les plans coordonnés. Par conséquent, l'une de ces équations est une suite nécessaire dés deux autres, et l'on n'a, à proprement parler, que deux équations entre les trois indéterminées oc,y , z; d'uù il suit qu'elles doivent se présenter sous la forme de \.

io8. On se donnera donc à volonté l'une de ces trois quantités, et l'on déterminera alors les deux autres au moyen des équations précédentes.

Si l'on suppose, par exemple, x^o , auquel cas on demande le point où la direction de la résultante traverse le plan vertical YÂZ, on

DE STATIQUE. ï35

aura pour les deux coordonnées de ce point ,

Si l'on suppose y^Q, on aura — N L

si l'on suppose Ê =o, on aura M —I.

C'est-à-dire qu'en coosidêranl le point où la direction de la résultante coupe le plan de deux axes, les distances respectives de ce point à ces deux axes se trouvent en divisant les sommes respectives des momens des forces par rapport à ces axes, par la somme des forces estimées suivant le troisième.

On aura donc , d'après ce que nous venons de dire, tout ce qu il faudra pour déterminer la quantité de la résultante et sa position dans l'espace, si toutes les forces appliquées au systèoie sont susceptibles de se réduire à une seule ; et cela aura toujours lieu , si l'équation de condition, XL -f- YM + ZN = o, eSt satisfaite, pourvu que les trois résultantes X^ Y, Z, ne soient pas nulles à la fois; car, si ces trois forces sont nulles, il est clair que les

ii6 ÉLÉMEKS

forces P', P", P'", etc. , seront réduites auï trots couples représentés en grandeur par L , M,N, lesquels ne peuvent jamais se réduire qu'» un autre couple.

C'est ce que le calcul précédent aurait pu aussi nous indiquer, quoique d'une manière un peu obscure : et en effet, dans le cas de Xj Y, Z nulles à la fois, on trouverait, par les équations ci-dessus, que les points de rencontre de la résultante avec les plans coordonnés sont tous trois à une distance infinie de l'origine. Or c'est ce qui ne peut plus s'expliquer en Géométrie ; c«r, pour imaginer une droite qui rencontre à rinfint les trois plans coordonnés, il faudrait imaginer une droite qui fîit à la fois parallèle à trois plans qui ne se coupent qu'en un point , ce qui est absurde : d'où l'on voit que l'hypothèse d'une résultante unique est alors impossible.

Corollaire V.

Réduction générale des forces.

109. Mais dans tous les cas, on peut réduire toutes les forces appliquées au système à une seule passant par l'origine, et à un coupla dont il est facile de déterminer le plan et la quautité : réduction qui ne laisse de nuage dans aucun cas.

Eti ËÛel, on aura pour la résulUnte R des forces transportées à l'origioe

et pour les trais angles et, j8, y, que sa direction forme avec les trois axes ,

cosa=jj, cos^=j^, cos>=g.

En second lieu, L, M, N représentant i"espectivenient les trois couples résultans, situés dans les trois plans perpendiculaires aux axes des Xj^, Zj si l'on nomme G le moment du couple résultant, on aura pour sa quautité,