CHAPITRE a

DES COWDITIONS DE 1/ÉQUILlBRE.

77. Nous venons de voir (68) qu'on peut Vig. 36. transformer chaque force P (fig. 26) qui agit sur un système en un certain point B. en une autre force P' égale , parallèle et de niPine sens, appliquée eu un autre point A pris à volonté dans l'espace, et en un couple (P , — F) applique sur AB, et dont l'énergie est mesurée par le moment P X AI, Al étant une perpendiculaire abaissée du point A sur la direction de la force P; que, de cette manière, le système peut être considéré comme sollicité par la ré^ sultante de toutes les forces qui se seraient en quelque sorte transportées parallèlement à elles-mêmes au point A , et par le couple résultant de tous les couples qui naissent de ce» transformations. Nous avons vu que pour recette résultante ef le moment du îSultaut doivent être nuls tous les deuK

couple ré » U fois.

Nous pourrions développer!

-le-cha

DE STATIQUE Qi

deux conditions dans le cas-général d'un corps ou système sollicité par tant de forces que l'oa voudra dans l'espace , et déduire de là les conditions de l'équilibre dans tous les cas particuliers qui peuvent se présenter : mais, comme notre maiclie doit toujours être uniforme dans le courant de ce chapitre, ou plutôt comme elle n'offrira qu'une même et continuelle application d'un même principe, nous aimons mieux passer en revue plusieurs questions simples , avant que de traiter la question générale. Cela nous fournira d'ailleurs l'occasion de répandre plusieui'S propositions sur lesmoraens, dont on fait beaucoup d'usage dans la Statique. Une fois parvenu au théorème général de l'équilibre, on pourra s'y arrêter, et l'on y trouvera comprises toutes les propositions qui auront élé précédemment expliquées. ,'"0'

De l'équilibre des forces parallèles qui sont situées dans un même plan.

78. Soient P, P', P", P'" (lig. 3o), etc.,les diffé- tig. 30. rentes forces parallèles. D'un point A pris où Poo voudra dans leur plan , abaissons une perpendiculaire commune sur leurs directions et c]ui les coupe aux points respectifs B, C, D, etc.

93 ÉI.ÉMENS

Considérant d'abord la force P , j'applique au point A deux forces contraires P, — P, égales et parallèles a la première ; ainsi , j'ai, au lieu de la simple force P appliquée en B , une force égale et parallèle appliquée en A , et un couple (P, — P)agissant sur AB et dont le moment est P X AB. Je substitue de même, au lieu de la force P' appliquée en C , une force égale et parallèle et de même sens appliquée en A , et un couple (P', — P') appliqué sur AC et dont le moment est P x AC : de même pour la force P', etc.

Si, pour plus de clarté, on transporte tous les couples ailleurs dans le même plan, il ue restera au point A que les forces P , P', P", etc., égales et parallèles aux forces primitives appliquées en B , C , D , etc. , et de même sens.

Or, pourqu'il j ait équilibre, il faut, i". que la résultante des forces appliquées en A soit nulle d'elle-même. Mais toutes ces forces agissant dans une même direction, leur résultante est égale à leur somme (*) , et par conséquent, l'on aura

P+P' + P'H-etc. = o, première équation de l'équilibre.

(*) Il faut prendre ce m<it ici et ailleurs dans le sens de la remarque suivante (79).

DE STATIQUE. gS

2'. Il faut que le momeot résultant de tous les moinens des couples soit aussi nul de luimême; ruais ce moment résultant est égal à la somme des momens composans , puisque tous les couples sont dans un même plan. Donc, en nommant, pour abréger, p, p' , p", etc. , les bras de levier respectifs AB, AC, AD, etc., on aura

p^+py-f-py+etc. =o,

seconde équation de l'équilibre.

Remarque.

jQ. U est clair que dans la première équation, si l'on regarde les forces qui tirent dans un même sens comme positives, il faut regarder celles qui tirent dans le sens contraire comme négatives. Nous regarderons désormais comme positives les fortes telles que P' qui tirent aii-dessusde la droite AD, et par tonséqueat comme négatives les forces telles que P, P",.. qui tirent au-dessous; et de celte manière on pouria dire que la somme des forces doit être nulle pour l'équilibre.

Pour les signes des momens Pp, F' p',....,àe la seconde équation, il faut faire attention à deux choses; i°. au signe de la force; 2". au signe du bras de levier.

Supposons, en effet, qnc la force P, sans

cesser d'agir du même côtti du poin

à changer de signe ; il est clair qu

nouveau qu'elle produira h l'égard du point Al

sera d'un sens contraire à celui du premier* 1

ainsi, le moment Pp change, de signe lorsque ,

la force P en change.

Concevons maintenant que la force P, sans changer de sigue, vienne à agir au point B' de l'autre côté du point A. Il est visible que le couple nouveau qu'elle produira à l'égard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier , et par conséquent le moment P^ change de signe lorsque le seul bras de levier p en change.

Donc, en prenant les hras de levier tels que AB qui sont à droite du point A comme positifs, par exemple ^ il faudra prendre les bras de levier tels que AB' qui tomberaient à gauche comme négatifs; et l'on pourra toujours dire que la somme des momens doit être nulle en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Corollaire.

80. Supposons que les forces P, P', P", etc., ne soient pas en équilibre , mats qu'elles aient une résultante unique R, et que par conséquent — R soit une force capable de leur faire équilibre.

Les tl eux équationsprécédenlesdevront avoir lieu si l'on y fait entrer la force — R. On aura donc d'abord

P+P'H-P"+etc.— R =0, ou bien

R=P+P' + P" + etc.;

ce qui nous apprend que la résultante est égale à la somme des composantes ; ce que nous savions déjà.

En second lieu, si l'on nomme r la dislance de la résultante au point A, on aura

Pp -f. Yp' + V"p" + etc. — Rr = o , ou bien

Krz=Vp -f- V'p' 4- Py + etc.

Ce qui nous fait voir que le produit de larésultante , par sa distance r à un point quelconque A pris dans le plan des forces , est égal à la somme de tous les produits semblables des composantes par leurs distances respectives à ce même point.

En divisant cette équation par R , et mettant a la place de cette quantité sa valeur P -|- P' + P* -f- etc. , on aura

— PP' + P"+etc. ■

ifi ÉLÉMENS

Ce qui donoera la distance de la rranlfanfé au point A, et par conséquent fera connaître sa position, puisque l'on sait d'ailleurs qu'elW doit être parallèle aux composantes.

Remarque.

8i. Les produits ¥p, P'p' , etc., sont ce que l'on nomme ordinairement les momens des forces; mais on n'attache pas au mot de moment d'autre idée que celle d'un simple produit , qm résulte de deuï nombres, dont i'un exprime la force et l'autre sa distance à ini point : au lieiji que le moment est pour nous la mesure d'une force particulière, c'est-à-dire de l'énergie du conple qui provient de la force, lorsqu'on ta transporte parallèlemenl à elle-même au point que l'on considère. Mais comme ici , et dans la plupart des Ouvrages de Statique, le moment exprime une mênjc quantité numérique, à la différence près de l'idée que nous y joignons, nous avons cru devoir conserver ce mot, qui est consacré parl'usage, etqui rend d'ailleurs assez bien notre idée, puisque le mot latin momentum d'ouvient moment j veut dire aussi poids, Jorce; ou plus exactement , ce que vaut une force 4 raison de sa grandeur et du bras de levier par j lequel elle agit.

Au reste, lorsque nous ne voudrons parler

que du simple produit numérique d'uue force par sa distance à un point , à un axe perpendiculaire, ou a un plan parallèle ii sa diroctioo, nous dirons aussi le moment de la force par rapport au point, ou à l'axe, ou au plan parallèle : et cela n'introduira aucune équivoque dans le discours, puisque l'on pourra entendre si l'on veut, par ce produit, le moment du couple qui naîtrait de la force transportée parallèlement à elle-même au point , ou sur l'axe, ou dans le plan que l'on considère.

De cette manière, 1 équation précédenle

Rr= P/> + ¥'p' + r"p" -+- etc. ,

peuts'exprimer ainsi :

La somme des niomais de tant de forces parallèles qu'on voudra , par rapport à un point quelconque de leur plan, est égale au moment de leur résultante par rapport au même point ; ce qui est le théorème connu des moiueus, pour les forces parallèles qui sont situées dans un même plan,

De l'équilibre des forces parallèles qui agissent sur differens points d'un corps dans tespace.

8a. Soient P, P', P", etc. (fig. 3i), les. Jifîë- Fig. 3i. rentes forces parallèles. Je mène à Yolonte deux

9» ÉLÉMEHS

plans ZAY, ZAX parallèles aux directions Aeê forces, et qui se coupeat suivant AZ à angla droit l'un sur l'autre, pour plus de simplicité-. Cela pose , cousidérant d'abord la force P ap* plic|uée en B , j'abaisse une perpendiculaire BH sur ta commune intersection AZ, et appliquant' en H deux forces contraires P, — P égales et parallèles à la première, je considère au lieu de la force P appliquée en B, une force égale et parallèle et de même sens appliquée en H,, et un couple (P, — P) agissant sur BH. Si l'on' fait la même transformation pour les autres forces P', P", etc., et que, pour plus de clarté, on conçoive tous les couples transportés ailleurs, chacun dans son plan, il ne restera dans ^ l'axe AZ que les forces P , P*, P", etc. , respectivement égales et parallèles aux forces primitives, et de même sens.

Or , la première condition de l'équilibre est que la résultante de toutes ces forces soit nulle d'elle-même; et comme elles agissent dans une même droite, leur résultante est égale à leur , somme ; et par conséquent , il faut qu'on ait

P + P' -H P"+etc. = o.

La seconde condition de l'équilibre est que le

' moment résultant de tous les momens des cou-

» soit aussi nul de lui-même. Mais ce mo-

«lent rt'sullaiit ne se trouve pas, comme tout à l'heure , en ajoutant les momens composans, car les couples ne sont pas dans un même plan □i daus des plans parallèles.

Pour l'obtenir, considerantd'abord le couple (P, — P), que je suppose ramené dans sa première position sur BH, j'abaisse du point B deux perpendiculaires BGfBIsurles deux plans ZAY, ZAX ; el achevant le parallélogramme BGHl , je décompose le couple (P , - — P) ap^ pliqué sur la diagonale BH, en deux autres, composés de forces égales , mais appliqués respectivement sur les deux côtés Hf et GH (58) ; ainsi, eu nommant x et^ ces lignes, ou leprs égales BG et BI, le moment proposé P X BH( sera décomposé en deux autres Fjc, Pj sîtué^ dans les plans respectifs ZAX , ZAY. ^

Si l'on nomme de même .r' et^' les deux perpendiculaires abaissées, du point d'à pplîça7 tion de la force P' sur les deux plans, le moment du couple (P', — P'} pourra se décomposer dans ces deux plans en deux momens P'x'jPy'j elainsi de suite pour tous les couples.

Mais les momens qui sont dans le plan ZAX se réduiront à uu seul L, égal à leur somme; Pa;-|-P'x'-f-Px"-hetc. ; tousccux qui seron»

dans le plan ZAY se réduiront de même à un seul M égala leur somme P/"-[-Py-f-P' V-|-ete.,

.»ao ÉLÉMENS

et ces deux moiiiens résultans L et M se conbposeroot enfin en un seul G qui sera le momeiit total ; donc il faudra, pour l'équilibre, qu'oK aitG=o.Maiâ les deux momeusLetM, étant situés dans des plans qui se coupent , ne peuvent jamais donner un moment résultant nal^ âmoîns qu'ils ne soient nuls, chacun en parti* Oulier (63); et, partant, la seconde conditioQ générale de l'équilibre G = o exige ces deux équations : L^o, M=:o, c'est-à-dire, I

Par-f-P'x' + P'j:"+etc. = 0, .]

P/ + P V 4- Py + etc. = o.

Ce qui nous fait voir que pour l'équilibre d'un groupe de forces parallèles , il faut ces trois cojiditions particulières : que la somme de toutes les forces soit nulle , et que la somme de leurs momens par rapport à deux plans parallèles à leurs directions soit nulle d'ellemême pour chacun de ces plans.

Remarque.

85. Dans les équations précédentes, nous regarderons comme positivesles forces qui tirent de bas en haut, et par conséquent comme né-

tives celles qui tirent dans le sens contraire, -les signes des moment, il estclalr qu'ils

DE STATIQUE. loi

changent en même temps que ceux des forçai.

Mais , d'un autre côté , si une force telle que P, saos changer de signe, vient à agir en B' du l'autre cùlé du plan ZAX, elle produira un couple d'un sens contraire a celui du premier; et par conséquent, le moment change encore de signe lorsque leseulhrasde levier en change. Donc si , par rapport à un plan , on regarde les bras de levier qui tombent d'un côté comme positifs, il faudra regarder ceux qui tombent de l'autre côté comme négatifs ; et l'on pourra toujours dire que la somme des moinens est nulle, en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Corollaire I.

84- Supposons que les forces P, P', P", etc.j ne soient pas en équilibre, maïs qu'elles aient une résultante unique R, et que par conséquent — R soit une force capable de leur faire équilibre. Les trois équations précédentes de-^ vront avoir lieu en y introduisant la force — R. On aura donc d'abord

R = P + P' + P" + etc. ,

ce qui donne la valeur de la résultante.

Si l'on nomme ensuite p et ^ les distances

rt» ÉLÉMENS

respectives de cette résultante aux deux ptans^

ZAY, ZAX , on aura

Rp = Px + P'x' + PV + etc. , R} = Pj + Py + Py' + etc.;

d'où , en mettant pour R sa valeur , on tire

Px + Px' + Vx" + etc - P~^ P + p'-j- p" -f-eic. '

> Pj+vy + py-i

P + P' + P" + etc.

ce qui donnera les distances de la résultante h^ deux plans, et fera connaître sa poïiition dans l'espace; car, si l'on mène au deux distance^ trouvées, deux plans respectivement parallèles aux premiers, la direcLÎoD de la résultante, qui doit se trouver à la fois dans ces deux plans , ne' sera autre chose que leur intersection même.

85. On voit que les équations précédentes nous fournissent ces deux conséquences , qu'on peut énoncer ainsi, conformément à l'usage :

La somme des motnens de tant de forces porrallèles que l'on voudra , par rapport à un plan quelconque parallèle à leurs directions, est égale au moment de leur résultants.

Et la distance de la résultante à ce plan est sa la somme des inomens desjorces , divè- ■ la somme de toutes les forces.

Du centre des Jorces parallèles.

86. Puisque le centre des forces parallèles est situé sur la direction de la résuliante, il est clair que la distance de ce centre à un plan quelconque parallèle aux forces se ti-ouvera comme la distance de la résultante à ce plan, c'est-à-dire en divisant la somme des momens, par rapport au plan , par la somme de toutes les forces.

Si l'on veut avoir ensuite la distance de ce centre à un plan quelconque , on concevra que les forces, sans changer de grandeur, sans cesser d'êtreparallèleset dépasser aux mêmes points, soient tournées toutes parallèlement à ce nouveau plan ; et l'on aura pour cette seconde distance la somme des nouveaux momens divisée par la somme de toutes les forces.

On fera la même opération pour un troisième plan, et si l'on mène alors aux trois distances trouvées, trois plans respectivement p-irallèles aux trois premiers , le centre des forces devant se trouver à la fois dans ces trois plans, Sera déterminé par leur intersection.

87, Si toutes les forces étaient égales et de

qui dooQc la dislaiice du centre à un plan que^ conque , deviendrait , .^

: ^ ■ .Jlf 1,*

, Px + P^ + Vx" + etc. x-^x' + .c" + «tOi 't ..lî

P+P + P+etc. ~ ~k »

71 él^nt le nombre des forces parallèle. >

Ainsi la distance du centre an plan serait égale à la somme des distances de tous les points d'application , divisée par leur nombre , ou , si l'on veut, égale à la moyenne distance de tous les points d'application ; d'où l'on voit que^ daus le cas où les forces sont égales, le centre des forces est un point dont la position ue déù pend plus que de ia figure formée parles points d'application.

De l'équilibre des Jorces ^ui agissent dans un même plan suivant des directions QUd^ conques.

FiB. 33. 88. Soient F, P", P", etc. (fig. 3a) les dîffe*

rentes forces situées d'une manière quelconquf

dans un même plan. D'un point quelconque ^

pris dans ce plan, abaissons sur leurs direc-

18 respectives des perpendiculaires AB , AC,

DE STATIQUE. i<.5

AD, etc., qui les reacoatrent eaB, C, D, etc., et nommons p\ p' , p'", etc., ces perpendiculaires.

Il est clair que U force P' pourra se décomposer en une autre égale, parallèle et de même sens appliquée en A , et en un couple dont le moment sera P' X AB, ou Vp'. De même la force P"se décomposera en une autre égale et parallèle et de même sens appliquée en A, cl en un couple dont le moment sera P" x A€, ou P'/>'; et ainsi de suite pour toutes les autres forces P'", etc.

Or, pour qu'il y ait équilibre, il faut que la résultante de toutes les forces appliquées en A soit Duile d'elle-même, et que le moment résultant de tous les inomeiisP'p',P"/ï',P'"/>"',etc., soit aussi nul de lui-même.

Cette dernière condition est très facile à exprimer, car tous les couples étant danit uÀ même plan, le couple résultant est égal a la somme des couples composans, et l'on a surle-champ

Vp' + P'/)'+ P"'/j'" + etc. = o. n.»

Pour exprimer l'autre condition , imaginons qu'on décompose les foi-ces P', P*, P'", etc., appliquées en A , chacune en deux autres suivant deux lignes quelconques AX , AY qui se cou-

io6 ËLÉMËNS

penl en A dans le plan des forces. Noramoi X' et Y' les deux composantes de P' suivant lea axes respectifs AX, AY ; de même , X", Y", X'", Y'", etc. , les composantes analogues des autres forces P", F'", etc. , suivant les mêmes axes. Toutes les forces X', X" , X'", etc. , étant dans une même droite AX , se composeront en une seule X = X' + X" + X'" + etc. ; de même les forces Y', Y", Y'", etc., se composeront en une seule Y = Y' + Y" + ^"' 4-etc. , et ces deux résultantes partielles se composeroot en une seule R qui sera la résultante générale. Il faudra donc pour l'équilibre qu'on aitR = o. Mais les deux forces X et Y agissant suivant deux lignes qui se coupent, ne peuvent donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes , chacune en particulier (Sy). Et par conséquent la condition R^o exige ces deux équations: X:=o, Y=mi, c'est-à-dire

X' + X"+X'4-etc.=o,

Les forces P', P", P'", etc., appliquées au point A étant parfaitement égales et parallèles aux forces primitives appliquées dans le plan , il est clair que les composantes X', Y', X", Y", X'", Y'", etc., sont, pour la quantité, parfai-

lemeDt les mêmes que si l'on avait décompose les forces primitives P', P", P'", etc., chacune en son lieu. Et par conséquent les conditions de l'équilibre entre tant de forces que l'on voudra, situées dans un même plan, sont ;

1°. Que la somme des forces décomposées parallèlement à deux axes qui se coupent dans le plan, soit nulle par rapport à chacun de ces axes;

2°. Que la somme des momens des Jorces par rapport à un point quelconque du plan soit nulle d'elle-même.

8g. Si l'on trouvait que la dernière condition a lieu par rapport à uu certain point coimu, et que les deux autres ont aussi lieu par rapport aux directionsde deux axes connus, qu'on peut toujours supposer menés par ce point, il y aurait équilibre dans le sjsièmej et, puisqu'il y aurait équilibre, les mêmes conditions auraient lieu par rapport à tous les points et à tous les axes possibles, pris dans le plan des forces.

Corollaire.

90. Si les forces P', P", P'", ne sont pas en équilibre entre elles, mais qu'elles soient susceptibles de se réduire à une seule R, de sorte

que — R soit une force capable de les lenîr erf équilibre , l 'e'quation des momens aura lieu eil y introduisant la force — R, Donc, en déffl* gnant par rladistance de cette force au point Ai^ on aura l'équation t

— Rr + F/ï' + Py + P'"/." + etc. = G ,

Rr=: P'p' + Py 4- P"'p"' 4- etc. ;

c'est- à-dîre que le moment de la résultantet par rapport à unpoint quelconque du plan des forces , est égal à la somme des momens de* composantes par rapport au même point. Gfqui donne le théorème connu des momens. , Si le point par rapport auquel on prend 1^ momens, et qu'on nomme ordinairement Iç centre des momens, tombait sur la direction même de la résultante R, la perpendiculaires, serait nulle; par conséquent le mome^,;Sr serait nul aussi, et l'on aurait ^ , '

o=p>' + py+py"+€tc. -i

Ce qui nous fait voir que , par rapport à un point quelconque de la direction de la résultante, la somme des momens de tant de forces que ton voudra situées dans un mè'me plan est toujours égale à zéro.

DE STATIQUE. io()

Remai'que.