G= VL'+M'+NS

et pour les angles h, ft,v , qu'une perpendiculaire au plan de ce couple, ou que l'axe du couple forme avec les trois axes respectifs des

Corollaire T^I.

1 to. Si l'on voulait exprimer directement que tontes les forces P', P", P'", etc. , ont une résultante unique ; d'a|jrès ce que nous avons vu dans le premier chapitre (n° 7 1 ), il faudrait

i38 ËLËU6Î4S

exprimer que la résultante R et le couple résultant sont dans des plans parallèles, on, ce qui est la même cho^e, que l'axe du couple est perpendiculaire à la direction de la résultante. Or, « , /S, j- étant les trois angles de la direction de la force R , avec les trois axes des X, j-, z, et X, ft, V, les angles analogues que l'axe du couple fait avec les mêmes lignes , on sait par la Géométrie ( *) que ces deux droites seront rectangulaires dans l'espace, si l'on a

ces et ces X H- cos j3 cosfi + ces >■ €»S V = G .

Donc, en luetlantà la place des cosinus leurs valeurs trouvées ci-dessus, et multipliant toute l'équation parRG, on aura

XL + YM+ZN=o,

comme nous t'avons trouvé plus haut.

11 faut toujours sous-enlendre que la force R n'est pas nulle, ou qu'on a

iuQgattte qui exige simplement que les trois t'onTS X F V , Z ne soient pas nulles à la fois.

Aiiuiit l'aile couditiou, que te calcul nous avait utr«rlt! dans la recherche de la résultante

DE STATIQUE. iSg

générale , n'est autre chose que l'expression de celle que nous avions trouvée directement daiis le premier chapitre, pour que des forces qui ne se font pas équilibre puissent toujours se composer en une seule.

Remarque.

III. Pour exprimer que des forces quelcon quessont susceptibles de se réduire à une seule, OD avait donné ces trois équations déterminées,

XfYV + ) — Y(Xy + ) = o,J Y(Z'jr'4-) — Z XV4-J=o,KA)

zcxy+j-x(zv+)=o,i

qui ne sont pas , comme on voit , celles de la direction de larésultante(i 06), mais oùX, Y, Z ont les mêmes valeurs , et où je désigne , pour abréger, la somme des produits Y's', Y"z", etc. par ( YV -|- ) ; et ainsi des autres.

Mais ces trois équations sont à la fois insuffisantes et trop nombreuses; elles peuvent avoir lieu toutes trois, sans qu'il y ait une résultante unique, et 11 peut y avoir une résultante unique, sans qu'elles aient lieu toutes trois, ni même aucune d'elles.

Cela parait assez clairement à l'inspection même de ces équations comparées à l'équation unique que nous venons de donner; mais on

l{o ÉLÉMENS

peut encore s'en rendre compte en suivant w raisonnement d'après lequel on les trouve , el en examinant ce qu'elles signifient. "

En effet, après avoir réduit toutes les força appliquées au système a trois groupes de forctf^ parallèles aux trois axes coordonnés, et ces trois groupes à trois résultantes partielles X, Y, Zj parallèles aux mêmes axes, on suppose que ces trois forces doivent se rencontrer erf an même point, pour qu'elles puissent se composer en une seule ; et pour cela, on exprime que les résultantes partielles prises deux à deux sont à égales distances du plan qui leur est parallèle; ce qui donne les trois équations (A), au moyen desquelles les trois forces doivent eu effet concourir au même point , et par coD>' séquent se composer en une seule.

Mais , d'abord , on omet le cas oii les trcto groupes ne pourraientpas se réduire reapectiT vement à de simples forces, mais se réduiraient à des couples : alors les trois résultante^ partielles étant nulles, les trois équations dc condition seraient satisfaites , et pourtant il n'y aurait pas de résultante unique, mais bien un couple résultant. Ainsi ces trois équation»' sont insutlisantes.

D'nn autre coté, elles exigent trop; car, en supposant que les trois groupes se réduisent k

DE STATIQUE. i4i

trois simples forces , on voit qu'il n'est pas nécessaire, pour qu'elles puissent se composer en une seule, qu'elles se rencontrent toutes trois en un même point : il suffirait simplement que deux d'entre elles se rencontrassent , et que la troisième allât rencontrer quelque part la direction de leur résultante. Mais, ce qui est plus remarquable, cela même n'est pas nécessaire; car les trois foi-ces X , Y , Z peuvent se réduire à une seule, sans qu'il y ait aucune rencontre entre leurs directions dans l'espace : c'est ce qu'on a vu directement au n" 75,

Si l'on veut voir la même chose par notre analyse, soit a la plus courte distance de ¥ à Z , i celle de Z à X , et c celle de X à Y ; et pour simplifier, prenons l'axe des x suivant la droite a, et celui des z, suivant la force Z; on trouvera dans cette hypothèse, L=:o, M=— Xc, et ]\=;Xfr— Ya; et l'équation de condition XL 4- YM+ZI\=odeviendra

XYc— XZA + YZ« = o.

Or, il est évident qu'où peut trouver trois forcesX, Y, Zdansune infinité de proportions différentes, qui satisfossent à cette équation, el qui, par conséquent aient une résultante unique, quelles que soient les distances mutuelles a , 6 , c de leurs directions dans l'espace-

i4a ÉLÉMENS

Et comme oa n'a qu'une seule équation, on voit même qu'où peut se donner à volonté deux de ces forces, et déterminer ensuite la troisième en conséquence de cette équation.

Qu'on suppose , par exemple , les deux forces X el Z représentées par les lignes a et c; OD trouvera que la troisième force Y doit être représentée par la moitié de b. Ainsi , voilà troU forces, entre autres, qui sont situées en troi» arêtes, deux à deux non parallèles et non coti<> tiguës, d'un même rhomboïde rectangle, eJi qui pourtant ont une résultante unique: et U est même aisé de voir que cette résultante passe au milieu de la plus courte distance b qui se* pare les forces X et Z proportionnelles auÂlignes a çt c. :*.

On peut faire une foule d'autres exemplesijf il suffit de ne pas se donner deux forces dans le rapport particulier qui , d'après l'équatîoa pré^ cédente^ reudraitla troisième force infinie. i

Au reste, ce qa'ou vient de dire pour troitf forces rectangulaires dans l'espace, s'appliquerait de même à trois forces parallèles à trois axes obliques quelconques ; car , relativement à) ces axes obliques, si l'on cbercliaîtpar la même» analyse qu'au n" )o6, la condition geDéralïW d'une résultante unique, on trouverait une.

équation toute semblable à la précédente, et;

qui, pour le cas de nos trois forceSj donnerait également XYc — XZi-f-YZa=o; d'où l'on tirerait les mêmes conséquences, en observant que, dans celte équalion , a, b, c ne représentent plus les distances mutuelles des trois forces obliques X, Y, Z, mais trois lignes dont chacune va de l'une à l'autre force parallèlemeut à la troisième.

Si des trois lignes a^ i, c, il y en avait deux nulles, sans que la troisième le fût, l'équation précédente serait réduite à un seul terme, qu'on ne pourrait rendre nul, sans faire quelqu'une des trois forces égale à zéro : d'où il résulte que, si trois forces finies sont situées de manière que la direction de l'une d'elles rencontre les directions des deux autres qui ne sont point en même plan, ces trois forces ne sont jamais réductibles à une seule; résultat quî s'acorde avec ce qu'on a dit à la fin du n" "5.

On voit doDC, pour revenir à notre objet, que des trois équations (A) qu'on avait données avant notre théorie , il n'y en a aucune qui soit nécessaire pour la condition qu'on avait en vue, et qu'elles sont tout-à-fait étrangères à la question dont il s'agit. Mais il y a encore une autre remarque assez curieuse à faire sur ces équations.

Si on les ajoute ensemble, ce qui est assez

l44 ËLÉMENS

naturel à cause de Jeur symétrie, et ce que l'auteur même avait fait, il arrive que la somme (le ces trois équations revient précisément à la nôtre XL+ YM -|-ZN= o. Ainsi, l'on avait rencontre par hasard la véritable équation du problème, et il est clairqu'on nes'en était point aperçu; car on aurait vu sans doute que, la somme de trois quantités pouvant être nulle d'une infinité de manières, sans qu'aucune d'ellesle soit en particulier, il pouvait y avoir une résultante unique , sans qu'aucune des tnû; équations l'egardées comme nécessaires, fàt satisfaite; d'où l'on aurait conclu qu'elles n'é* talent pas nécessaires, et qu'il fallait les sup^ primer avec l'analyse défectueuse qui y avait conduit. Mais, avant notre tliéorie, on ne sa^ vait pas précisément en quoi consistait la con^ ditîon générale d'une résullante unique.

Quoiqu'on ait depuis rectifié cette analyse par celle que j'ai donnée au n" io6, je n'ai pas cru cette petite discussion inutile, non-seulef' ment parce qu'elle éclaire ua point important de la composition des forces, et qu'elle fait voir la Ëtusse supposition sur laquelle on s'ap-' puyait , mats parce que ce paralogisme subsiste encore , et s'est reproduit jusqu'ici dans un oU' vrage célèbre où l'auteur des équations [A) parait l'avoir emprunté. "

Corollaire VU.

t la. Lorsqu'on a les trois équatioDS L^o, M=o, N=o, le moment G du couple résultant est nul, et les forces appliquées au système se réduisent à une seule R dont la direction passe par l'origine.

Et comme le moment G ne peut être nul , à moins que les trois moraens résultans partiels L, M, N ne soient nuls à la fois, il s'ensuit que si l'on voulait exprimer que des forces quelconques se réduisent à une seule qui passe en an point donné, il faudrait, en supposant qu'on ait pris ce point pour origine, poser les trois équations L^o, M=o, N = o.

Remai-que.

II 3. Nous terminerons cet article général par un théorème important sur la manière d'es- .timer les forces suivant une direction donnée, et leurs momens, par rapport à un axedonné, lorsque l'on connaît déjà ces forces et leurs momens estimés par rapport à trois axes recf angulaires.

Mais démontrons d'abord la proposition sur

d'ane manière mmt. yoauBOas t, 0, y lit k première avec les A^ ^ », les angles ana- «■c Ib iDèiiies axes : je «Hk gHKT rangjk I que ces deox

ponr coorde xohBe sur la se- «■jfr^aMchBQaeMripdcooqneD, dont WBkpMiroBatdoanees x, t, z. Si ités par une droite dont les trois côtes se- »4kft£ttyiwa|Be 6 est l'angle compris on aura, comme On