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DE STATIQUE. i^-j

et H'==(x— x)'-f (^— t)'+(2— z)';

sobstituaDt dans la première équatioo , réduisant, et dégageant cos 6, il vient

cos8= "+f" + " ,

ou bien

mais on a évidemment

^=cosa, ^^cosjS, ^^cosj-,

et de même

-=:cosA, -=cos/*; -=cosi';

donc

cosâ= cos tt cos \-(-cosjScos/* + cos3' cos V,

Si l'on veut exprimer que les deux droites d etDsontrectangulaireseatre elles, il faut poser cos d = o; et par conséquent

cosacosA.H-cos^coS;iA+cosycos ï^o, ■ ce que nous avions supposé au n" no.""'

ii4- Actuellement changeons les Lettres ^, fi, V en «', jQ', y, et considérons une force fi

f|6 l^rf.MENS

dirigée suivant la première drpite. Cette force' estimée suivantla seconde, ou projetée sur elle , donnera pour sa projection, que je nomme R', R' = R cos 6, et par conséquent

R'=Rcos a cos a' -f-ftcos/3co.=)S'+Rcos y çmy'*

Mais R cos X , R cos /3 , R cos y expriment les trois composantes de la force R suivant les trois axes; donc si l'on nomme X, Y , Z Ces composanteSj on aura plus simplement

R' = X cos a' + Y cos j8' + Z cos y'.

Ce qui nous fait voir que , pour* estimer suivant une direction différente de la sienne , une force dont on connaît déjà les composantes suivant trois'axes rectangulaires, on n'a qu'à prendre la somme de ces composantes multipliées respectivement par les cosinus des angles qu'elles forment avec la direction nouvelle.

■Cest ainsi -qu'en Géométrie, pour projeter une lî^e sur un axe quelconque, on :peut d'abord projeter celte ligne sur trois axes reclan-> gulaires; .prOJ«t«v ensuite ces trois projections sur l'axe donné, et ajouter ensemble ces projections de projections.

f 1 5. PareiiléiricTit, si l'on considèreun couple dont ïe'iriotïient soit représenté par une partie

DE STATlQUr:, ,49

G prise sur son axe, et que ce monienl décompose par rapport à trois ai^es rectangulaires donne les momeiis respectifs L, M, N, on voit, comme ci-dessus, que pour estimer le moment G par rapport à un axe nouveau qui forme, avec les trois premiers, des angles A', fi' , /, il n'y aura qu'à prendre la somme des momens composaiis L, M, N mnltipliés par les cosinus respectifs de ces angles, de sorte qu'en nommant G' la valeur relative du moment G, on aura

G'^LcosA'-J-Mcos/a'+Ncosc', d'où il resuite que la somme des momens de tant de forces que l'on voudra , par rapport à

un axe quekv/ique , est égale aux sommes de leurs momens , par rapport à trois asces rectaTv^ gulaires, multipliées respectivement par les cosinus des angles que ces trois axesjont avec le nouvel axe donné; ce qui est un théorème tout semblable au précèdent.

DES CONDITIONS DeVéQUIUBRE Lorsque le corps ou système sur lequel les forces agissent n'est pas entièrement libre dans l'espace, mais se trouve géiié par des obstacles.

Nous allons examiner trois cas principaux

'tSo ÉLÉMEKS

auxquels il est facile de ramener touslesautres,*

comme on pourra te voir par la suite.

Pe l'équilibre dun corps qui n'a que la liberté de tourner en tous sens autour dun point fixe.

Les six équations de l'équilibre d'un corps ou système libre sont, comme nous l'avon»

trouvé ci-dessus,

II 6. Supposons maintenant qu'il y ait ui) point fixe dans le système , et qu'on l'ait pris pour l'origine des coordonnées. Il est clair qu'il pourrait alors y avoir équilibre sans que ces six équations fussent satisfaites; car, quoique le point fixe soit par lui-même incapable de produire le moindre effort, il peut néanmoins anéantir ceux des puissances dont la résultante irait y aboutir, et par là tenir lieu de nouvelles forces dans le système.

Mais, quelles que soient les forces dont un

point fixe puisse tenir lieu par sa résistance ,

I f\ est bien manifeste qu'elles doivent toutes

' par ce même point; que, par consén

DE STATIQUE. iSi

queot, on peut toujours les y concevoir comme composées en une seule, et imaginer ainsi, à la place du point fixe, une force unique rqut remplace sa résistance, et coi>sidérer alors le système comme parfaitement libre dans l'e»»

pace.

Les six équations précédentes devront doao avoir lieu si l'on y introduit la nouvelle forcer.-

Of, cette force étant immédiatement appliquée à l'origine, fournira trois nouvelles composantes, X, 1 , z, dans les trois axes, et Q.e fournira aucun couple nouveau dans les trois plans. Les six équations de l'équilibre seront donc