X-Hx=o, Y-(-Yï=o, Z-}-z=o, .n^.n L=;o, M=:o, N

Les trois résultantes partielles X , Y , Z pour- TOQl donc avoir telles valeurs qu'on voudra.

Car, en supposant la résistance du point iixe indéfinie dans tous les sens, les trois forces x, Y , z prendront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et, s'égalant foujoui-s, en quelque sorte, aux trois forces contraires X, Y, Z, appliquées au même point, rendront toujours les trois premières équations satisfaites.

Mais il faudra que les trois niomens résultans partiels L, M, N soient toujours nuls

ify ËLÉMENS

d'eux-mêmes, ce qui nous

fait voir

que, pour I

'a que la liberté .

tourner autour d'un point fixe , il est nécessaire et il suffît que la somme des momens des forces par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce point, soit nulle delle-méme relativement à chacun de ces trois axes.

1 17. Lorsque toutes les Ébrces appliquées au corps sont parallèles, on peut mener par le point fixe deux plans parallèles à leurs directions , et de'composor tous les couples dans ces deux plans. Il suffit donc alors pour l'équilibre du système, que la somme des momeos soit nulle par rapport à deux axes perpendiculaires à ces plans.

Lorsque toutes les forces sont dans un même plan avec le point fixe, tous les couples à l'égard de ce point sont aussi dans ce plan; et il suffît alors que la somme des momens soit nulle parrapport à unseul axe perpendiculaire à ce plan.

Remaïque.

Nous savons que les trois équation* L=o, M = o, N=o, qui assurent, dans le cas général , l'équilibre du système , expriment d'une autre manière (i i o.) que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qttî

DE STATIQUE. i53

passe par le point fixe. Donc, sil'on avait voulu partir de cette conséquence comme principe, c'est-à-dire regarder d'abord comme évident que les forces appliquées ne peuvent se f équilibre autour du point fixe, à moins qu'elles n'aient une résultante unique dirigée vers ce point, on en aurait conclu réciproquement que Von doit avoir pour l'équilibre les trois équations L^o, M=o, N=o; ce qui nous aurait conduits au même résultat.

Corollaire.

De la pression exercée par les Jorces sur le point fixe.

iiQ. Quoique nous ayons supposé le point fixe susceptible d'une résistance indéfinie en tous sens, cependant, lorsque des forces données se font actuellement équilibre sur cet appui, il n'a besoin que d'une certaine résistance déterminée. Celte résistance actuelle , prise en sens contraire, est ce que l'on nomme la pression qu'il éprouve de la part des forces du Système.

Ainsi, pourcalculer celte pression, onn'aura qu'à déterminer la force — r. Mais l'on a, par les équations cï-dessus , pour ses trois composantes — X, — Y, — z dans les trois axes,

fS5

t-LÈMF.m

Les cinq qnantités X, Y , Z , M, N poarront donc avoirtellesvaleuisqu'oQ voudra; car, eo supposant la résistance des deux points fixes tndéfiaieen tousseos, les quanti lés x, y,2,x', y',»' auront telles valeurs et tels signes qu'on voudra , et les trois premières équatioQS , ainsi que les deux dernières, seront toujours satisfaites. Mais il faudra qu'on ait toujours pour les seules forces appliquées au système , 1 equatîoa L^o; ce qui nous apprend que les conditions de l'équilibre (fiin corps assujetti à tourner au^ tour d'un axejîxe se réduisent à ce y«e là somme des inomens des forces estimés par rap^ port à cet axe soit nulle d'elle-même. '

Remarque.

131. Si les deux points A cl B n'étaient pas arrêtés en tous sens, mais pouvaietit couler en-> semble dans la direction ÂB, comme si ou les supposait unis entre eux , et renfermés dans ua canal infiniment étroit AB , leurs résistances X et x'dans le sens de l'axe des abscisses seraient nulles d'elles-mêmes, et l'on aurait encore l'équation X=o; de manière que, lorsque le corps a la liberié de se mouvoir dans le sens de l'axe de rotation , outre la première condîkliou énoncée ci-dessus , il faut encore que la

somme des foi-t:es décomposées parallèlement à cet axe soit nulle d'elle-même.

Corollaire.

Des pressiotis exercées par les forces sur les lieux points fixes.

1 23. Ces pressions n'étant autre chose qoe les deux résistances actuelles r et / des deux points fixes, estimées en sens contraires, on aura pour détenniner leurs composantes — x, •^Yj — z; — x' — y', — z' parallèles anx trois axes , les cinq ëquatîoos

X+x+jf'^o , Y+y+y' — o, Z4-z+z'=p, M-|-z'a=o,N — Y'a=:o.

Mais (jomnie il y a six inconnues, il parait d'abord que les deux pressions — -r et — ;■' seront indéterminées, Ou du moins que fou pourra disposer à volonté de l'une de leurs six composantes. Cependant, si l'on observe iqde les deux inconnues — x, — x' n'entrent Otte dans' la 'première équation , on voit que les quatre autres seront déterminées par les équations restantes. Eu effet. Ton aura sur-le-champ par les deux demièi-es équations,

DE STATIQUE. i6i

Soit donc z la résistance actuelle du point d'appui dans l'axe des s. Les équations deréqui- Ubre deviendront :

lies trois dernières nous font voir (n° 1 1 2) que les forces appliquées au corps doivent se réduire à une seule qui passe par l'origine, c'està-dire par le point d'appui;

Les deux premières, quecette résultante doit être verticale, c'est-à-dire perpendiculaire au plan fixe ;

Et la troisième , Z-f- z = o , que cette résultante Z peut avoir une valeur quelconque, pourvu qu'elle soit de signe contraire à la résistance z du plan; c'est-à-dire qu'en supposant, comme nous le ferons désormais , que le corps soit placé au-dessus du pian des x, jj', il faut que la force z ne soit pas positive : sans quoi, tendant à soulever le corps au-dessus du plan, elle n'y ferait naître aucune résistance, et le plan ne servirait à rien pour l'équilibre; de manière qu'il faudrait les mêmes conditions que si le système était parfaitement libre.

125. Supposons actuellement que le corps s'appuie par un second point B. Prenons AB

ifi^-

ÉI.ÉHENS

-pôui-Taxc âtsjd, et fê point A pour rorigine.

Le point A fait naître une résistance z daoA' l'axe même des z. Le point B fera naître uii« lésistaoce z' dans le plan xz, et donnera dan» ce plan un couple dont le moment sera z'a', en faisant AB^n'.

Lesequattoas dË l'équilibre seront donc

X = o, Y=o, Z + z+z'=;o, L=o, M+zV=o, N=o. .

Ces équations nous font voir que réquatîoq de condition XL4-YM + ZN = o est satia-^

faite, ainsi que l'inégalité \/X' + Y'+Z* >■ a (puisque les detix résistances z et z' ne pouvant , être supposées tontes deux nulles, et étant de même signe, la force Z ne peut être nulle). Les forces appliquées au i^^'stème doivent donc avoir une résultante unique.

Les deux premières équations montrent que

celle résultante doit être verticale, c'est-à-dire

[ perpendiculaire au plan Bxe; et la troisièmef

r Z+z-f-z' = o, qu'elle peut avoir telle valeur

1 qu'on voudra, pourvu qu'elle ne soit pas po-L

sitïve.

Enfin, si l'on cherche les valeurs des deux eoordoil née»^ e t q du pointO oùsa direclioa doit rencontrer le plan horizontal, comme ou a ( i o3)

en mettaiit à la place des quantitésL, M, Z, leurs valeurs tirées des équations précédentes, on aura

Donc, puisque l'on &q=o, il iàut qae le point où elle rencoDtre le plan horizontal tombe sur la ligne des abscisses, c'est-à-dire sur la ligne quijointles deux points d'appui; et puisque l'on a. p = a'— L à cause de ' - y toujours

-C t,Oï\ ap toujours <d', et par coûsequenl la direction de la résultante doit toujours tomber entre les deux points d'appui A et B.

ia6. Supposons enfin que le corps s'appuie contre le plan par tant de nouveaux points qo'on voudra, C, D, etc., qui soient tousplacés d*uo même côté à l'égard de la droite AB, qui est toujoure regardée comme l'axe des abscisses x. Conservant pour les deux points A et B les dénominations précédentes, nommons a" et b" les deux coordonnées du point C; a'" eib'" celles du point D, et ainsi de suite. La résistance z" du point C, étant transportée à

.tSA lïLÉMENS

Torigine , donnera deux couples dans les plans verticaux XZ, YZ, dont les momens seront z"a" fz'è"; la résistance z'" du poîutD donnera de même deux .couples dans les mêmes pUus^ etdoutles momens seront z'" a'", z'" é"',et aioâ de suite. Les équations de l'équilibre seront donc

X = o, Y=o,Z-f-z-f-z' + v" + z'"-f-etc. =o, •h-rr^"à': — z'" b'" — etc. =0, i

Jtf-+-?i'iM'HrfB'«'+z"'''"'+ etc. = o , N=; o.

Ceséquatious nous font voir d'abord, comme dans l'article précédent, que toutes tes forces appliquées au système doivent se réduire à une seide , perpendiculaire au plan fixe , et dont b valeur ne soit pas positive.

En second Heu , je dis qou sa direction doit rencontrer ce plandaiis l'inlérieur du polygone formé par les points d'appui A, B, C, D, etc.

En effet, si l'on nomme, comme ci-dessuSj, q l'ordonnée du point 0, oî; cette résullaoËç rencontre le plan horizontal; comme on a ç[=-^-^, en mettant pour LetZ leurs valeuâ tirées des équations précédentes, on aura" " [

;' + /-fz'' + etc.

DF, STAtintE. i65

Or, les résistances z , z', z",' 2'"^ 'été; /étant toutes positives, et les ordonnées b'fb"' , etc.i toutes de même signe, puisque lespoîtitsC, D, etc., sont, par liypotltèse, tous placés du même côté de l'axe des abscisses, il s'ensuit que l'oidonoée ç sera de même signe que ces ordonnées, et que par conséquent le point sera, à l'égard de la ligne AC' qui joint les deux points d'appui A et B , du mênie côté que \ék autres C, D, etc. Donc, puisqu'on aurait pu prendre pour l'axe des abscisse; toute autre droite AC, BD , etc., qui, joignant deux points d'appui, laisse fous les autres d'un même côté, on peut conclureque le point doit se trouver,' 3 Végard de chacune dç ces lignes, dn même côté que les autres points d'appui, et par conséquent doit tomber nécessait^ment dans l'intérieur du poljgone formé pWf^tfns les points d'appui. ■' "■ 1" - " ~ '

. }'-rr.iir ■■..i'>n ■ Des pressions exercées par 'là résultante des forces du sjstème sur les différens points d'appui.

127. Ces pressions, estimées en sens con< Iratre, ne sont autre ohose que les résistances z, z.' , z",.z"!, qte., dont lespoinls d'appui A ,

jS^ ëlémeks

B, C, D, etc., ont actuellement besoin ponr l'équilibre. On aura donc, pour les détermi'* Der , les trois équations :

ZH-z+z'-Hz"4-z"'+etc. :=o, L— èV — è'V"— etc. = o, M.-\-a'z' -\-a"z"'j-a'"z"'~{~etc.c=o.

Mais comme on n'a que ces trois équations^ avec cette seule condition que les inconnues z f z', 7,' , z'", etc., doivent èlre toutes positives ,A s'ensuit que les diverses pressions exercées sur le plan demeurent indéterminées lorsqu'il yi plus de trois appuis , et même lorsqu'il n'y eu a que trois ^ s'ils tombent en ligne droite^ Car) en supposant que le troisième point C tombe avec les deux autres A et B sur l'axe des

t abscisses , l'ordonnée b" devient nulle , et l'io» connue z" disparaissant d'elle-même dans ïé*- ^ationL — b'z'=o, il ne reste plus que deux équations pour calculer les trois inconnues 2, z', z", qui sont encore indéterminées.

On pourra donc, dans ce cas, se donnera volonté l'une des pressions ^ et , dans le cas général , se donner les pressions de tous les points d'appui, hors trois. On calculera ensuite ces dernières pressions par les équations précédentes; et pourvu que, dans les différentes iypolfaèses que l'on fera , le calcul ne mène k

aucune pression positive, la p)u))l^)^ie s^n toujoufs bien résolu. ' [

Remarque.

128. Mais si nous trouvons , d'après les principes étahlU ci->dessus, que los prpssioQS sont indé terminées lorsqu'il y a plus de ti'ois points d'appui, d'un autre côlë^ en consîdéranl à priori un corps appuyé contre un p]an , par un nombre quelconque de points , et tenu en équilibre par une force normale h ce plau, il nous parait évident que cliaqge point de copiant doit être actuellement pressé, et que, s'il est pressé, c'est avec une certaine force toul-à-fait délçiy minée , ce qui serait absurde autrement: $f de là résulte uue espèce <W paradoxe qui n« paraît pasfacile à expliquer.

Gardons-oous d'abord d'eu conclure, qv^iç d'Alçinburt, qu* la théorie cojijiue jusqu'ici èfil insulHsante pour résoudre le problèmean question ; car nous allons voir que ce problùip^ «st indéterminé par l'hypotiièse mêoie qua Ijfi^ift f^te, etque la tbéoiie donne tout cm qu'on^peiit demander s;iqs se cojiJrediiqspi-mérae, . Eufffçt , si l'on fait att«,ntioji qu'il Mgit, pau bypothèse, d'un corps ùoat }^ fîgwe est psrfai- IçjjjeiUÙiVflJiiaJWt',, pu peut (:oncBvoirJee poiftts de coiitwQt de çeçorpp, comme unis entre eux

1^0 ÉLÉMEHS

appuis , on lie peut plus distinguer leurs résiR-^

tances individuelles d'avec celles qu'ils pour-

raieot emprunter mutuellement les uns des

autres.

Et la théorie nous fait voir que , pourvu que ces points aient des résistances individuelles qui satisfassent ensemble aux trois équations dotiiuées ci-dessus, de quelque autre manière permise par les mêmes équations , que l'on veuille répartir les forces de pression sur ces difFéreos points, chacun d'eux trouvera toujours, on dans sa résistance propre, ou dans celle ré* sjstance unie avec celle qu'il empruolera dm autres points d'appui, la résistance actuelle dont il aura besoin pour détruire la pressituf qu'on lui suppose.

Il n'en est pas de même dans le cas de deux points d'appui, cl dans celui de trois non eu ligne droite: les résistances actuelles sont déterminées, et doivent l'être; car chaque poiaf d'appui se trouvant seul à côté de l'autre, ou^ dans le second cas, à côté de la ligne qui joint les deux autres, il est visible qu'il ne peutavow que sa résistance propre, et ne pourrait pas en eaipruDter desappuis voisins , si elle n'était p^i sufEsaote.

i5o. Le paradoxe que nous venons de ré'

SDudre est d'autant pIuH frappant, que dans la natnre , les pressions exercées par les corps aux difTcrens points de contact sont nécessairement déterminées dans tous les cas, ce qui seraitabsurde autrement.

Mais tous les corps sont plus ou moins flexibles et élastiques; et lorsqu'ils sont pressés les uns contre les autres par différens points situés dans le même plan, la pression totale se distribue d'une manière particulière en vertu de ces propriétés physiques, et des trois équations données ci-dessus (137), auxquelles les pressions individuelles doivent toujours satisfaire : or , il faudrait savoir tenir compte de ces propriétés,' pour trouver en tout autant d'équations qu'il y a de points de contact, et connaître par là les diverses pressions ; et c'est une question très délicate de Physique, que nous ne chercherons pas à discuter ici.

i3i. Ce que nous avons dit sur l'équilibre d'un corps qui s'appuie contre un seul plan peut aisément s'appliquera un corps qui s'appuierait contre plusieurs plans à la fois. Chacun de ces plans fera naître aux différens points de contact des résistances normales à sa surface; et en introduisant dans les six équationsde l'équilibre ces nouvelles forces indétermï-

nées, OH parviendra facilement aux conditions que doivent remplir les forces immédiatement appliquées.

iSs. Si le corps s'appuie en différens points contre une ou plusieurs surfaces courbes quelconques, on pourra supposer qu'il s'appuie sur les plans tangens menés aux surfaces en ces points. Ainsi, connaissant les équations de ces surfaces, on cherchera celle des plans tangeas ou des normales aux divers points de contact; on introduira dans les équations de l'équilibre autant de forces indéterminées, dirigées suivant ces normales, et le problème reviendrS au précédent. '