DES CENTRES DE GRAVITÉ

Jusqu'à présent nous avons fait abstractioa de la pesanteur des corps; nous allons voir ici comment on peut avoir égard à celle propriété générale de la matière, afin d'appliquer les principes établis ci-dessus , à l'équilibre des corps, tels qu'ils sont dans la nature.

1 33. On nomme pesanteur ou gravité celte cause inconnue qui (ait descendre les corps Ters la terre, lorsqu'ils sont abandonnés à euxmêmes.

La pesanteur étant une cause de mouvement, on peut la considérer comme une force.

Cette force pénètre les parties les plus inûmes des corps , et agît également sur toutes leurs molécules ; car l'expérience prouve que, idans le vide, des corps quelconques de masses

inégales, une balle de plomb, par exemple, et le duvet le plus léger, tombent de la même hauteur avec la même vitesse; d'où l'on doit conclure que les molécules d'un corps qui tombe descendent toutes do la même manière que si elles étaient simplement contiguës, sans être liées les unes aux autres. Ainsi l'action de la pesanteur s'exerce sur toutes les molécules d'un corps, et se fait sentir également à chacune d'elles.

Cependant l'intensité de la pesanteur n'est pas rigoureusement la même pour une même molécule placée dans des lieux différens par rapport au globe terrestre; elle varie à la surface de la terre, depuis l'équateur où elle est la plus petite, jusqu'au pôle où elle est la plus grande: déplus, elle diminue à la même distance de l'équateur, à mesure que la molécule s'éloigne davantage du centre de la terre; et l'on sait qu'elle décroit toujours dans le même rapport que le carré de cet étoîgnement augmente. Mais pour les molécules des corps que Ton considère ordinairement en Statique, il n'y a pas assez de diÔerence entre leurs distances à l'équateur, ou au centre de la terre, pour que les variations de la pesanteur y soient sensibles. Ainsi l'on est autorise à regarder la pesaoteur comme une force constante.

La direction du la pesanteur est ibrl bien représentée par celle d'un lil-à-plorab en équilibre, ou par la perpeadicidaire à la surface des eau?[ tranquilles.

Cette direction dans le lieu que l'on considère se nomme \a verticale, et tout plan perpendiculaire à la verticale se nomme le plan horizontal.

La surface de la terre, ou plutôt celle des mers, étant à peu près sphérique, les directions de la pesanteur vont à peu près concourir au centre du globe. Ainsi, à mesure que l'on cbemine sur la terre, la verticale change aussi bien que le plan horizontal: mais comme les distances dont il s'agît ordinairement dans la Statique sont très petites àl'égard du rayon de la terre, qui a près de i5oo lieues, les directions de deux verticales peu éloignées, qui vont à peu près concourir à cette distance, peuvent être regardées comme parallèles, sans erreur sensible.

Nous considérons donc toutes les molécules égales d'un corps pesant , comme sollicitées par de petites forces égales, parallèles et de même sens, et nous pourrons appliquer aux forces qui proviennent de la gravité, tout ce que nous avons dit des forces parallèles appliquées à un assemblage de points liés entre eux d'une manière invariable.

ÉLÉMEWS

154. Et d'abord, nouscn conclurons que la résultante de toutes les forces parallèles de &(i pesanteur leur est parallèle, c'est-à-dire est' verticale ;

En second lieu, qu'elle est égale à leur

La quantité de cette résultante est ce qaé l'on nomme le poids du corps ; d'où l'on voit que le poids d'un corps est proportionnel au nombre des molécules qui le composent , ou à la quantité de matière qu'il renferme , et que l'on nomme sa masse. Ainsi, l'on distinguera le mot de pesanteur ou granité , d'avec celui do poids. La pesanteur désigne, comme nous l'a- Tonsdit, la cause qui attire les corps vers la terre; mais le poids désigne la force particulière qui en résulte pour chacun d'eux; force qui est proportionnelle à leur masse, et égale à l'eftbrt qu'il faudrait employer pour les sou-' tenir.

i55. En troisième lieu , comme nous avOBB' vu que pour les forces parallèles, appUquéesà' différens points, il y a un centre, c'est-à-diroi un point unique par lequel passent cootînuellw^ ment leurs résultantessuccessives, lorsque I'otiiactiue successivement tout le groupe de ces forces dans diverses positions, il s'ensuit qo «

DE STATIQUE. 17-j

' existe toujours , pour un curps pesaut , uo point unique par lequel passe coatinuellemeiitla direction du poids , lorsque 1 on tourne succès— siveraent le corps dans diverses positions k l'égard du plan horizontal. Ea eflet, dans les diverses situations qu'on lui donne, Jes forces de la pesanteur qui animent toutes tes molécules ne cessent pas d'être lea mêmes, d'agîi' aux mêmes points, et d'éti-e parallèles , et par conséquent, leurs résultantes successives ue cessent pas de se couper en un même point.

Ce point unique par lequel passe toujours la direction du poids, quelle que soit la posi'tion du corps à l'égard du plan horizoDtal, se nomme le centre de gravité.

i 56. $t le centre de gravité d'un corps est fixe, il est clair que ce corps sei'a en équilibre autour de lui dans toutes les situations; c'està-dire que si , le faisant tourner autour de ce point , on l'amène dans une situation quelconque , et qu'on l'y laisse , le corps y demeurera: car, dans toutes ces positions, la résul tante des forces de la pesanteur passera toujours par le même point fixe, et son effet sera détruit. C'est pour cela que plusieurs auteurs ont défini le centre de gravité un point tel que, s'rl était Hié , le corps demeurerait

)Oint tel, I

irerait en I

tjè ÉLÉMENS

équilibre dans toutes les positions possibles tourde ce point; mais il estplusconvenable de fairevoiràpnon qu'il y a toujours pour cbaquç. corpsun tel point, et par conséquent de moD'* trer qu'il y a un centre de gravité, avant de définir le centre de gravité lui-même.

iSy. Puisque le centre de gravité d'nn corps n'est autre chose que le centre des forces parallèles de la pesanteur, appliquées à toutes les molécules de ce corps; comme toutes ces forces sont supposées égales , il suit de l'article 87 qoe ia distance du centre de gravite' à un. plan quelconque est égale à la mnjenne distance de toutes les molécules du corps au même plan.

Par conséquent la position de ce centre dans les corps ne dépend nullement de la gravité, mais seulement de la manière dont foutes les "inolécules sont disposées les unes à l'égard des antres.

Aussi quelques géomètres ont-ils cru plus convenable de nommer le centre de gravité, ■le centre de masse, ou \e centre défigure: mais nous conserverons ici l'autre dénomination, comme étant plus usitée , et comme rappelant mieux l'usage que l'on fait de ce point dans la Statique.

i58. Comme on pent toujours concevoir

DE STATIQUE. 17g

qu'à toutes les forces Je la pesanteur qui anïment les molécules d'un corps, ou ait substitué leur résultante générale, qui produit absolument le même effet, ou peut considérer le centre de gravité d'un corps comme un point oii toute la masse de ce corps est réunie et concentrée. Ainsi, dans la solution des problèmes, si l'on veut avoir égard à la pesanteur , on pourra regarder chaque corps comme réduit à son centre de gravité j qu'on supposera sollicité par une force égale et parallèle à son poids; et combinant ensuite ces nouvelles forces avec celles qui sont immédiatement appliquées au système, ou trouvera les conditions de l'équilibre d'après les principes donnés dans les chapitres précédens, comme si tons les corps du système étaient dépourvus de pesanteur.

Il ne s'agit donc plus actuellement que de savoir déterminer les centres de gravité des difiërens corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

1S9. Lorsqu'on peut considérer le corps ou le système comme composé départies dont on connaît en particulier lescentresde gravitéetles poids respectifs, il est très facile de déterminer le centrede gravité de ce corpsou système.

iBo ELIMENS

Car ce centre n'ëtantautre chose que le poiûf d'application delà résultante générale des forcei de la pesanteur appliquées à toutes les molécules, on peut concevoir q»c, pour le déterininer , on a d'abord cherché les points respec* tîfs où sont appliquées les résultantes partielle^ des forces qui agissent sur chaque corps , et qu'ensuite on a cherché le point d'applîcatioii de la résultante générale de ces diverses rdsdltanteR.

Donc, .si l'on connaît déjà les centres de gravité respectifs des differens corps, on n'audl qo'à supposer appliquées à ces points des forcés parallèles et respectivement égales aux poids de ces corps, el l'on trouvera le centre dé gravité du système absolument de la même manière que l'on trouverait le centre de a»

forces parallèles. "'

On pourra donc employer dans cette re-' cherche, ou la composition sutKessive del forces , comme an n- 39 , ou la théorie des mOmens, comme au n" 86. *

Et, pnisquela distance du centre des forces

parallèles à un plan se trouve en divisant 1%

i somme des momens des forces, pris par rap-

port au plan , par la somme de toutes les forcesj.

il s'ensuit: ,,

Que la distance du centre de gravité d'un

DE STATIQUE. iSi

tystème quelconque de corps, à un plan, est égale à la somme des momens de leurs poids, par rapport au plan, divisée par la somme de

tous les poids : ou (comme les

sont pro-

portion nt:lks aux poids) , e'gale à la somme des

î des :

, divi

'. par la somme de

toutes les Triasses^ en entendant par le moment d'une niasse, le produit de celte mas^e par la distance de son centre de gravité au plan que l'on considère.

En calculant ainsi les dislances du centre de gravité à trois plans quetconques,qu'on pourra supposer rectangulaires entre eux pour plus de simplicité, on trouvera facilement la position de ce point dans l'espace.

140. Dans le cas où toutes les masses du système sont égales, on trouve sur-le-champ la distance du centre de gravite à un plan quelconque, en prenant la moyenne distance des centres de gravité de tous les corps à ce plan.

141 ■ Lorsque le plan par rapport auquel on estime les momens passe par le centre de gravité du système , la distance de ce centre au plan et>t nulle ; et par conséquent la somme des momens des masses , pris par rapport à un plan qui passe par le centre de gravité du thme , est toujours égale à zéro.

vite du système à ces deux droites, en prenait les sommes respectives des momens de toutet les masses , par rapport à ces droites, et dioiy sant par ta somme de toutes les masses.

(Ayant soin de regarder pour chaque droite; comme positifs , tous les momens des niasses qui sont d'un même côte de cette ligne, et comme negati& les momenx de celles qui sQot de l'autre côté.) . , I

On trouvera de cette manière â quelle distance , et de quel côte , le centre de gravité dn sjstème est pkcé à l'égard de ces deux axes; et menant alors, aux deux distances trouvées, deux parallèles à ces axes, le centre de gravité sera à Jeur intersection même. i

i44- Lorsque les centres de gravité de tous les corps sout en ligue droite, comme le centre de gravité du système se trouve déjà sur uœ ligne connue, il suffit, pour le déterminer, ds chercher sa distanceà un seul plan. Or, si o» le piend, pour plus de simplicité, perpendi-n culaire sur la ligne des centres, les distances des centres de gravité respectifs à ce plan se*t root les mêmes que leurs distances au point où le plan coupe la ligue. ,

Donc, lorsque plusieurs corps ont leurs cea^ très :de gravité respectifs sur une même droite f.

DE. STATIQUE. tSS

la distance du centre de gmvUédu système, à un point quelconque pris sur cette droite , est égale à la somme des momens des masses, par rapport à ce point, divisée par la somme de toutes les masses.

(Eu prenant avec un même signe tous les momens de» masses qui sont d'un même côté à 1 egaril du point , et avec le signe contraire , les momens de celles qui se trouvent de l'aulre

GÔlé.)

On saura alors à quelle distance et de quel côte le centre de gravité du système est placé h l'égard du point que l'on a choisi ; et si l'on porte ensuite de ce côté, et à partir du point, une longueur égale à la distance trouvée, l'extrémité de cette longueor marquera sur la ligne le centre de gravité lui-mèrae.

145. On voit donc combien il est facile de trouver le centre de gravité d'un corps ou système, lorsqu'on connaît ceux des différens corps qui le composent; il nous reste à voir comment on obtiendrait les centres de gravité des corps qui ne seraient pas susceptibles d'uiiQ pareille décomposition.

A la vérité , comme on peut toujours l'egai'der un corps comme un assemblage de points matériels qui sont eux-mêmes leurs

de pomts •

> propres I

i86 ËLËMENS

centres de gravité, il s'ensuit qu'on peut leuî> appliquer la méthode précédente , et qu'on aurrfgénéralement la distance du centre de gravité d'un corps quelconque à un plan, en prenaot la somme des momens de toutes les particule^ de ce corps , par rapport au plan , et divisant ' par la somme de ces particules, ou, ce qui est la même chose, en divisant par la masse totale du corps. Mais la solution générale de cette question dépend du calcul intégral; et l'on ed peut voir, dans presque tous les traités de Mécanique, des applications très simples, et qui n'ont d'autres difficultés que celles du calcul' intégral lui-même.

Cependant, comme il existe des considérations élémentaires très élégantes qui conduiseaf' à la détermination des centres de gravité pour la plupart des corps dont il est question dans la' Géométrie, nous nous bornerons à cette recherche, qui remplit l'objet que nous avons en yue, et qui ne nous écarte point des élénaens.'

146. D'après ce que nous avons dit (iS^), la position du centre de gravité dans un corpB' ne dépend que de la manière dont toutes le^ molécules de ce corps sont disposées les unes ■ a l'égard des autres. Elle dépend donc de deiix-elioscs : 1°. de la figure du corps ou de celle..

de l'espace qu'il occupe; 2'. de la densité relative de ses différentes parties. On voit bien, en effet, que si la figure et le volume restant les mêmes, les molécules viennent à s'écarter les unes des autres dans une certaine partie du corps, de manière qu'elles se rapprochent davantage dans une autre , les forces qui agissent sur elles n'étant plus réparties de la même manière, la position de la résultai] te généralcchangera, et par conséquent celle du centre de gravité du corps. Ainsi, dans la détermination de ce point, il faudrait avoirégard, non-seulement H la figure du corps, maïs encore a la loi suivant laquelle la densité varie dans toute son étendue.

Mais si, ponr résoudre plus simplement la question, on suppose d'abord les corps parfaitement liomogènes, ou uniformément denses en tous leurs points, la position du centre de gravité ne dépendra plus que de la figure, et la recherche des centres de gravité deviendra un simple problème de Géométrie.

C'est dans cette hypothèse de corps parfaitement homogènes, que l'on détermine ordinairement les centres de gravité des lignes, des surfaces et des solides qui sont soumis à une description rigoureuse, et que l'on regai-de comme doués d'une pesanteur uoifomie en tous leurs points; et quoique ce problème puisse

BrJÉMEHs

. •iivtt* au premier coup d'œit^ de pure spjj <A»«4iou, il eut facile de voir qu'il est, en Sh 't^uv, câ que la quadrature des aires, ou i| l'ubature des solides est en Géométrie. Comi ItMi-viiultats que ta Gtiomédie uous donoe S04( vl xulaut plus exacts dans l'application , que l«f li^ui-es sont plus semblables à celles que I9 Géométrie suppose , ain.si dans la déterniinar tion des centres de gravité, on troavera cef points d'antant plos près des lieux que la théo* rie leur assigne, que les corps seront d'une substance plus homogène, plus unlformémeat répandue , et terminés par des surfaces plui parfaites.

DES CBHTBES DS GBAVITÉ D£S FICDIES.

Lemme.

i47- Toute figure dans laquelle il se trouve un point tel, qu'un plan quelconque mené par ce point coupe la Jîgure en deux parties parjaiteinent symétriques , a son centre de gravité en ce point , que l'on nomme ordinairement le centre de la iï^ure.

£n effet, si l'on fait passer un plan quelconque par le centre de la figure, comme tx lan la coupe eu deux parties partaitemeatsj-

DE STATÏQUB. ,89

métriques, il n'y a patj de raison pour que le centre de gravité, qui est un point unique, et dontla position ne dépend que de la figure , se trouve d'un côté de ce plan plutôt que de l'autre; donc il sera dans ce plan ; le centre de gravité devant donc se trouver à la fois dans tous les plans que l'on pourrait conduire par le centre de figure, sera en ce point même, qui est la commune intersection de tous ces plans.

148. Il résulte de là, i". que le centre de 'gravité cFune ligne droite est au milieu de sa longueur ;

3*. Que le centre de gravité de l'aire d'un parallélogramme quelconque est à l'intersection de ses deux diagonales, ou au milieu de l'une d'elles ;

3°. Que le centre de gravité de la solidité d'un parallélépipède est à l'intersection de ses quatre diagonales, ou au milieu de l'une d'elles.

On pourrait encore en conclure que le centre de gravité du contour ou de l'aire d'un cercle est au centre de ce cercle ; que le centre de gravité de la surface ou de la solidité d'une sphère est au centre de cette sphère ; que celui de la surface ou de U solidité d'un cylindre à basen parallèles est au milieu de son axe ; etc.

i^ ËLÉMENS

Mais on remarquera surtout les trois premiers corollaires sur les centres de gravité de la ligne droile, du parallélogramme et du parallélépipède, parce que l'on peut regarder ces figures comme les élémens de toutes les autres.

Problème I.

1 49- Trouver le centre, de gravité du contour d'un poljgone quelconque, ec en général dun assemblage de droites disposées comme on voudra dans l'espace.

On regardera chaque droite comme concentrée en son centre de gravité, lequel est au milieu de sa longueur ; et l'on n'aura plus à considérer qu'un assemblage de points représentés, pour leurs poids respectifs , par les longueurs des lignes dont ils sont les centres de gravité.

On trouvera donc le centre de gravité du système par la composition successive de ces poids , ou par la théorie des momens, comme il a été dit plus haut.

i5o. On pourra souvent, par des considérations particulières, déterminer les centres de gravité plus facilement que par la méthode générale.

S'il s'agit, par exetople, de trouver le centre de gravité ilu contour d'un triangle, on n'aura qu'à joindre les milieux des trois côtés par trois lignes, ce qui formera un triangle semblable au triangle proposé; et partageant les angles de ce triangle en deux parties égales par des droites, ces droites se couperont au centre de gravité cherché.

C'est-à-dire que le ceutre de gravité du coutour d'un triangle n'est autre chose que le centre du cercle inscrit au triangle formé parles lignes qui joignent les milieux des trois côtés.

Problème II.

i5i. Trouver le centre de gravité de l'aire d'un polygone quelconque, et en général d'un assemblage de figures planes et rectilignes disposées comme on voudra dans l'espace.

Tous les polygones pouvant se décomposer en triangles , nous allons voir d'abord comment on trouve le ceutre de gravité d'un triangle quelconque. Après quoi, prenant les centres de gravité de tous les triangles qui composent le système proposé , nous n'aurons plus à considérer qu'un assemblage de points donnés de position , et dont les poids respectifs seront représentés par les aires des triangles dont ils

tgi ËLËMEN5 ^^H

sont les centres de graTJté ; et le problème sel résoudra comme le précèdent. ■ J

Du centre de gravité du triangle. I

Fig. 38. iSa. Soit ABC (fig. 58) le triangle proposé .considérons sa surface comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BC. Il est visible que la lij^ne droite AD menée du sommet A au milieu D de la base, divisera toutes ces ti-aoches en deux parties égales.

Leurs centres de gravité respectifs seront donc tous sur la droite AD, et par conséquent celui de leur système, c'est-à-dire celui du triangle, y sera aussi.

Par un raisonnement tout-à-fait semblable, on ferait voir que le centre de i^ravité du triangle doit aassi se trouver sur la ligne BE qui serait menée du sommet de l'angle B au milieu E du côté opposé AC.

Le centre de gravité devant donc se trouver à la fois sur les deux lignes AD, BE, sera néceËsaïrement à leur intersection G.

Mais si l'on joint DE, puisque les points D et E sont les milieux respectifs des eûtes CB, CA , la droite DE sera parallèle à AB et en sera la moitié. Or, si DE est moitié de AB, à cause des triangles semblables DGE, AGB, le c6fé

irsera aussi moitié de son homologue AG-

Donc, DG sera le tiers de AD , et AG en sera les deux tiers.

Donc, le centre de gravité de l'aire d'un triangle quelconque est situe' sur une ligne menée de l'un quelconque des trois angles au milieu de la base opposée , et se trouve au tiers de cette ligne à partir de la base , ou aux deux tiers à partir du sommet de l'angle.

La démonstration précédente est si naturelle et si simple, que nous n'avons pas cru devoir l'ometlrc ici. On pourrait lui donner toute la rigueur possible, au moyen de cette méthode connue, dont les exemples sont si multipliés dans les élémens de Géométrie; mais le lecteur peut y suppléer.

Au reste , voici une démonstration nouvelle.

qui nu laisse rien à désirer du côté de l'exactitude.

1 55. Par le milieu D de la base BC du triangle ABC (fig. 39), menez aux deux autres côtés les i\ parallèles DE, DF, qui les rencontrent en E et F : le triangle proposé sera décomposé en un parallélogramme AEDF, et deux triangles D£C, DFB, parfaitement égaux entre eux, et semblables au premier.

Le moment du triangle ABC, par rapport à une ligne quelconque menée dans son p1ati>

sera donc égal à la somme des momeas du parallélogramme et des deux triangles.

Soita l'aire d'un de ces triangles, 4^ sera celle du triangle proposé. Donc> si l'on nomme x la distance du centre de gravité de ce triangle à la base BC , on aura ^€i3c pom* son moment par rapport à cette ligne.

Soit h la hauteur du triangle; - sera la distance du centre de gravité du parallélogramme k la base; et comme son aire est sa, son moment sera aa x -, c'est-à-dire ah.

Ensuite, les deux triangles BFD, DEC ont visiblement leurs centres de gravité à même distance de la base BC; donc, si l'on nomme jt' cette distance, la somme de leurs momens sera nax' .

Onaura donc /^nx^nh-\-iaa:', ou bien, en divisant par /^a,

Si l'on supposait, avec Archiméde, que, dajos'j les triaugles semblables , les centres de gravite ] sont des points senxblablement placés; alors, comme les dimensinns du triangle BFD ou DEC sont moitiés àfi celles du triangle ABC,

on aurait x';^-; et substituant dans l'éqaa-

DE STATIQUE. igS

tion précédente, on trouverait sur-le-clianip

Ce qui ferait voir que le centre de gravité d'un triangle se trouve placé au-dessus de chaque c6té , à uoe distance égale au tiers de la hauteur de l'angle opposé, et que pareoii-' sequent il est au point déterminé ci-des3U9.

Mais On peut parvenir a cette conclusion' sans aucune hypothèse : car, puisque l'on a trouvé pour le triangle ABC.

.X étant la distance de son centre de gravité à la base BC, et x' la dislance du centre de gravité du triangle BFD à sa base BD ; en Imaginant que l'on fasse, dans le triangle BFD la même construction que l'on a faite dans le triangle ABC, si l'on nomme x" la distance analogue à celle qu'on a nommée x', et si l'on observe que la hauteur du nouveau triangle, est deux fois |dus petite que celle du premier, on aura

Et continuant la même coriatructioil'

jgÇ ÉLËMENS

fl ne reste qu'à trouver sa distance à l'unéoâ k l'autre de ces bases, ou, si l'on veut, le rapf port de ces deux distances.

Nommons x la distaoce inconnue de ce point à la base inférieure, et H et A les hau-leurs des deux triangles semblables. Si l'oa représente par H* l'aire, ou le poids du grand triangle, h* sera le poids du petit, et H' — k\ celui du trapèze. Le moment du premier de ces poids , par rapport à la base inférieure ,

sera donc H*. -^ ; le moment du second sera A'(^-|-H — Aj, et le moment du troisième, (H" — k*)x. Ainsi, en égalant le premier de ces momens à la somme des deux autres, on aura , pour déterminer x, l'équation ;

Si l'oo cherche de même la distance^ du ceotn de gravité à la base supérieure, ou si l'on oIk ^rve simplement ijuc cette distance j- est forf. mée de (H — k) diminuée de x, on trouvera f

Comparant ces denx e'qnalîons , membre i membre , et ôtant, d'une part , te facteur cooimùo 3(H* — h*), et, de l'autre le facteur com-

mun (H-

trouvera ,

pour

\ti

rapport

cherché ,

x:j.: U-i-sh :AH-2H;

ou bien , mettant à la place des hauleni's H et Â des deux triangles, leurs bases B et é qui sont dans le même rapport, on aura la proportion