X :j' :: B+aA : ft-f" 2B
d'où résulte ce théorème :
Le centre de gravité dun trapèze est sur la ligne (jui va dumiUcu de Tune de ses bases au milieu de l'autre, et il coupe cette ligne dans le rapport des deux sommes qu'on trouve , en ■ajoutant d'un côté, à la première base deux Jois la seconde , et cCun autre côté , à Li seconde fiase , deux fois la première.
On peut tirer de là cette construction très simple : prolongez, vers la droite, l'une des deux bases, d'une longueur égale à l'autre; et celle-ci, vers la gauche, d'une longueur égale :à la première; et menez la ligne qui joint les ^extrémités de ces deux prolongemens ; elle -AOupera celle qui joint les milieux des deux -bases au centre de gravité du trapèze,
On peut remai"quer que la proportion pré-eédente ne dépend point de la hauteur du trapèze, mais uniquement du rapport des
les deux S
a|M( ÉLËMËNS
Bases : de sorte qu'utle est la même pour tous les
trapèzes possibles de bases proportionnelles.
Si les bases sont égales, on a x=y, ce qm doit être; car le trapèze est alors un paraUélogramme dont le centre est également éloigas de ces deux bases opposées. i
• Si l'une des bases b devient nulle, on a Y^2jc; et en eiîet le trapèze devient un triangle dont la base est B, et dont le centre est deux fols plus près de la base que du somnieti
Problème III.
j 56. Ti-Quver le centre de gravité de la solidité d'un polykdre quelconque , et en général, dun assemblage de poljédres disposés comme i on voudra dans l'espace.
Tous les polyèdre i pouvant se décomposer en pyramides triangulaires, nous allons voir d'abord comment on trouve le centre de grayilé d'une pyramide triangulaire. Après quoîj prenant les centres de gravité de toutes les pyramides qui composent le système proposé, l'on n'aura plus qu'à chercher le centre de gravite" d'un assemblage de points, représentés pour leurs poids par les volumes des pyramides respectives dont ils sont les centres de gravité; et le problème se résoudra comme il a été dit ci-dessu;».
DE STATIQUE, aoi
Du centre de gravité de la pyratmde.
iS-]. Soit ABCD (fig. 40} une pyramide '"'^ 'i" . triangulaire quelconque. Si nous considérons cette pjranilde comme composée d'une iniî- Dité de tranches parallèles à la base BCD , il est visible qu'une droite menée de l'angle A en un point quelconque de la base, couperait toutes ces tranches et la base elle-même, en des points semblablement placés : donc, si celte droite est menée au centre de gravité I de la base, elle passera par tous les centres de gravité des tranches parallèles. Le centre de gravité du système de ces tranches, et par conséquent celui de la pyramide, devra donc se trouver sur la droite AI.
Mais, par un raisonnement tout-à-faît semblable, on voit que le centre de gravité de la pyramide doit aussi se trouver sur la ligne CH qui serait menée de l'angle G au centre de gravité H de la face opposée : donc il sera nécessairement à l'intersection G de ces deux droites.
Ainsi les deux lignes AI et CH doivent nécessairement se rencontrer : et c'est ce que l'on voit d'ailleurs indépendamment de la considération dn centre de gravité; car si l'on lire CI, cette droite ira conper le côté BD en son milieu E , puisque le point I est le centre de gravité
du triangle BCD; par la même raison , si Ton
tire Ail, cette droite ira rencontrer BÛ au
même ];oint E, et par conséquent les deux
droites Al, CH seront dans un même plan, qui
est celui du triangle AEC , et elles se couperont
nécessairement.
Actuellement, si l'on remarque que le point I est au tiers de EC, et le point H au tiers de EA (iSa), il est clair qu'en joignant IH , cette * droite sera parallèle à AC , et en sera le tiers. Mais si la droite IH est le tiei-s de AC, à cause des triangles semblables IGH, AGC, le côté IG sera le tiers de son homologue GA , ou bien sera le quart de lA, et AG en sera les trois ■ quarts.
Donc , le centre de gravité dune pjramide triangulaire est situé sur une ligne menée de l'un quelconque des trois angles au centre de gravité de la base opposée; il est au quart dç cette ligne, à partir de la base, ou aux trait quarts , a partir du sommet de l'angle.
Remarque.
i58. On peut aussi appliquer à la pyramide triangulaire une démonstration analogue à celle que l'on a donnée pour le triangle.
Maïs pour cela considérons d'abord le prisme ;. 4,. triangulaire : soît ABCh^c: (fig. /\ r) le prisme.
DE STATIQUE. ao3
Far le milieu E du côté AB de sa base ABC, conduisons deux plans EF/, EDf^ parallèles aux faces respectives BCci , ACca. Nous décompo»
serons ce prisme en deux autres, et un parallélépipède.
Si l'on nomme a la solidité de l'uu de ces deux prismes, lesquelssontparfaitenient égaux, on aura 4" pour celle du prisme proposé, et sa pour celle du parallélépipède.
Cela posé, soit x la distance du centre de gravité du prisme total à la (aceBAab; on aura ^ax pour son moment par rapport à cette face. Soit de même, pour les deux prismes partiels, x' les distances de leurs centres de gravité au même plan, distances qui soûl parfaitement égales entre elles; on aura 2ax' pour la somme de leurs momens. ËnHn, nommant h la hauteur de l'arête Ce au-dessus du plan parallèle BAab , le moment du parallélépipède sera évidemment 2a -, ou simplement ah. On aura donc 4'2J7 =ah -h lax' , et par conséquent x= 7-) — ; et si l'on applique mot à mot tout ce qu'on a dit(t55), on trouvera
Ce qui fait voir que le centre de gravité d'un prisme triangulaire est, à l'égard ài
i cliaque fl
ÉLÉMENS face, au tiers de la hauleur de l'arête parallêl
à cette face; d'où il est facile de conci
ui'e qui!
est sur la ligne Gg qui joint les centres de graJ-l vite des deux bases. Et d'ailleurs il est aise <J«3
TOir que ce poi
int tombe au tiiilîe
I de cettt '
droite G^ , que je nommerai pour un moment l'axe du prisme. En effet, imaj^inez le prisme parlagé en un nombre quelconque de prismes égaux par des plans parallèles à la base , et soit (Tla distance du centre de gravite de l'un de ces ' petits prismes au milieu de son axe. Il est clair que le centre de gravite de leur système, et par conséquent celui du prisme total , se trouvera aussi à la même distance cT du milieu l de son axeG^. Or, quelque petite que soit laloQ;gueur d'un prisme , il est évident que le centre de gravite est toujours dans l'intérieur du so» lide : donc, puisque la longueur de chaquf:
prisme partiel peut être rendue moindre qae'i toute grandeur donnée , la distance 01 = J' est moindre que tout ce qu'on voudra, et par COQ^ séquent nulle.
j5q. Actuellement, soit une pyramide trian-
Fig. 4a. gulaire AIîCD (fig.4;f)- Par le point L, milieu
de AC, faites passer la section LMK parallèle k
la base BCD , et la section LEF parallèle à la face
ABD. Menez KH parallèle à LE, et joignez E^.
DE STATIQUE. 2o5
La pyramide proposée sera décomposée en deux prismes équivalens, l'un dont la base est EDH, l'autre dont la base est LEF, et en deux pyramides triangulaires ALMK, LCEF parfaitement égales entre elles, et semblables à la pyramide proposée.
Cela posé, égalons le moment de la pyramide totale, par rapport à la base fiCD, à la somme des raiimens des deux prismes et des deux pyramides partielles, par rapport au même plan.
Soit a la solidité de l'une de ces deux pyramides, 8a sera celle de la pyramide entière, et si l'on nomme x la distance de son centre de gravité à la base, on aura âox pour son ' moment.
Soit h la bauteur de la pyramide entière ; le prisme dont la base est EDH aura son centre
deeravité élevé, au-dessus de la base, de — ; » ' a a'
et comme sa solidité est 5a, son moment sera 5rt-7. Le second prisme , dont la base est LEF, aura son centre de gravité élevé aa-dessus du plan BCD de-.-(i58); et comme sa solidité
est 3a , son moment sera 5a ç.
Enfin, sil'on nomme x' la bauteur du centre
au-dessus de chaque face au quart de la hauteur de l'angle opposé ; d'où il est facile de conclure qu'il est au point déterminé ci-dessus. Mais on peut parvenir à l'équation précédente sans aucune hypothèse.
Eu effet , si l'on imagine que l'on ait fait dans la petite pyramide LCEF la même construction que Ton a faite dans la pyramide ABCD, en nommant 3c" la distance analogue à celle qu'on a nommée x' , et observant que la hauteur de la nouvelle pyramide u'est que la moitié de la hauteur h de la première, on aura , comme cîdessus ,
et continuant la même construction dans les pyramides successives, on trouvera
.v"', oc" , etc., désignant les distances successives des centres de gravité des pyramides à la base. Or, ces distances diminuent sans cesse, et deviennent plus petites que toute grandeur donnée, puisqu'elles sont toujours moindres
ao8 ÉLÉMENS
que les hauteurs des pyramides dans lesquelle: on les considère. On aura donc en substituant;^ successivement dans la première équation , à L place de a:', sé'f x'", etc., leurs valeurs,
d'où l'on tire
ce qu'il fallait démontrer.
Remarque.
Soient quatre masses égales dont les centres degravilésoïent placés aux quatre anglesd'une pyramide triangulaire ; le centre de gravité de ces quatre corps est le même que celui de U pyramide.
Car, pour trouver celui des quatre corps, il n'y aurait qu'à prendre d'abord le centre de gravité de trois quelconques d'enfre eux, lequel est au centre de gravité de la face même aux angles de laquelle ils sont placés (i54), et joignant ensuite le centre de gravité du quatrième corps à ce point, il faudrait diviser cette droite à partir de la face, en raison réciproque de 5 à I : or, cette construction donne aussi le centre de gravité de ia pyramide.
Il résulte de là que la distance du centre de
gravité d'une pyramide triangulaire à un plan
situé d'nne manière quelconque dans l'espace ,
est égale à la moyenne distance de ses quatre
angles au même plan.
Lamèmepropriétéappartientaussi au prisme
.triangulaire.
,, ri^'OiiHiiiiiit -^ , , , ilcUK)
Remarque senerale.
'• 160. Pour déterminer le centre de gravité d'un polyèdre, il n'est pas toujours nécessaire de le décomposer en pyramides triangulaires ; il se présente souvent des simplifications dont il faut profiter. 1
Par exemple » on trouvera le centre de gravité d'un prisme quelconque à bases parallèles^ en prenant le centre de gravité de la section parallèle aux bases , menée entre elles à égales distances; ou bien , en prenaut le milieu de la ligne qui joint les centres de gravité de ces deus bases.
Cette proposition est si facile à démontrer directement, ou à déduire de ce que nous avons dit sur le prisme triangulaire, qu'il est i mutile de s'y arrêter.
161. Si l'on considère un cylindre quelconque à bases parallèles comme un prisme
,ato ËLËMËNS
dont la base est un polygone d'une infinité ds' côtés, il résulte de ce c{ue nous venons de d\tf: que le centre de gravité de ce cylindre est aa milieu de la droite qui joint les centres de gra>vite de ses deux bases.
163. On a pu voir précédemment que le 1 centre de gravité d'une pyramide triangulaire, est le même que le centre de gravité de la section parallèle à la hase, menée au quart de la hauteur du sommet.
Cette propriété s'étend a nue pyramide quelconque; car si l'on partage la base en triangtes par des diagonales, et que roii conduise des planspar ces lignes et par le soromçr , on déwniposera !a pyramide proposéeen autant de pyramides triangulaires qu'ïly a de triangles daiu la base. Toutes ces pyramides auront une même •hauteur, qui est celle de la proposée, et par conséquent leui'^ solidités respectives seroiil proportionnelles à leurs bases ou a des sectiow iparalléles faîtes à même hauteur. Donc, si l'un coupe toutes ces pyramides par un plan parallèle au plan de leurs bases, mené au quart tk: la hauteur du sommet commun, puisque leurs centres de gravité respectifs sont les mêmes qiM'Ctutx des sections triangulaire.s correspondantes , et que leurs solidités (ou leui's poids )
DE STATIQUE. 4ii
sont propoilionnels à ces sectioDS, il fi'enstiit que le centre de gravité du système de ces pyramides est le même que celui de toos les triangles, ou du polygone qui résulte de leur assemblage.
Mais, si l'on tire uue ligne droite du sommet au centre de gravité de ce polygone, cette droite ira passer au centre de gravité de la base, et sera coupée par le plan du polyi:|one aux trois quarts de aa longueur en parlant du sommet, ou au quart, t^n partant de la base.
i65. Donc, te centre de gravite dune pyramide à hase quelconque , esl sur la ligne menée du sommet au centré de gravite' de la base, au quart de cette ligne en partant de la base , ou aux trois quarts en paitant du sommet.
li>/^. En considérant le cône comme une pyramide dont la base est un polygone d'une iofînité de côtés, on voit que le centre de gravité d'un cône à base quclt^onciuu est sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité df la. base , an quart de cette ligne àparlirde la base, on au trois quarts à pnrtir du sommet duL cône. '
Centre de gravité du tronc de pyramid&:v vi
i65. On voit d'abord que le centre de gra-
TÏlé d'ua tronc de pyramide est sur la ligneqal I joint les centres de graTÏté de ses deux bases;^ | car supposez rétablie la pyramide entière dont 1 on a retranché une pyramide semblable, parf I nne section parallèle à la base, pour former le tronc donl il s'agit. Comme la ligne qui va du sommet au centre de gravité de l'une des bases passe au centre de gravité de l'autre , il s'ensuit que cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux pyramides semblables, et par conséquent par celui du tronc qui en est la difierence. Ainsi il ne reste qu'à trouver la distance de ce point à l'une ou à l'auLrebase, ou, si l'on veut, le rapport de ces deux distances.
Or, soit x la distance de ce centre à la base inférieure, et nommons H et h les hauteurs des deux pyramides semblables. Si l'on représente par H' le volume ou le poids de la grande pyramide, h^ sera le poids de la petite, et H' — k^ celui du tronc : el les trois momens dé ces poids par rapport à la base inférieure serontH».^,H'(^ + H— A)et(H» — A')j:.
Donc, en égalant le premier de ces momensà la somme des deux autres, on aura, pour déterminer .r, l'équation
4(H*— AV=H<— 4A'H+5ftS
Dfc, STATIQDE. ai 3
doat le premier membre est divisible une fois, til le second deux fois , par (H — h ) , qui est la hauteur du tronc.
Si l'on cherche de même la distance y du ceutre de gravite à la base supérieure, ou si l'on observe simplement c[uey est composée de H — h diminuée de j:, on trouvera l'équation :
dontle premier membre est divisible de même par H — h, elle second par (H — fi}*.
Comparant donc ces deux équations , et supprimant les facteurs communs, on aura, pour le rapportcherché,j: :^' :: H'-j-aHA-j-SA" : A* •i- 2AH + 3H': ou bieu, comme dans les pyramides ou les cônes semblables , les bases sont proportioau elles aux carrés des hauteurs^ si l'on met pour H' et A" les deux bases B et 6 du tronc , et par conséquent pour Rh uue base y/Bi moyenne géométiique entre les deiix^ on aura la proportion :
xij:: B+2i/B6H-56:è+2i/Bi+5B; d'où résulte ce théorème :
Le centi-e de gravité d'un tronc de cône ou, de pyramide est sur ta ligne qui va du centré de gravité de l'une des bases au centre de gra~-
<ir<llHft»f*f':if^*i | i n^' ii *»c,ifaa «ll>ir,lill>li l> iil*l ft iiBii. av^Wr !• anade
DE STATIQUE. ai5
Si l'une des bases b est nulle , on a pour li distance tf du centre à l'autre base B , 3x:=j-i et en effet le tronc dont il s'agit devient alors unepjramide ou un cône, dont le centre est trois fois plus près de la base que du sommet. ' On pourrait multiplier les exemples^ mais ce que nous avons dit suffit pour l'objet que nous nous sommes proposé. Nous terminerons ce chapitre par quelques propriétés remarquables des centres de gravité.
Propriétés générales du centre de gravité.
