Lorsque des forces P, Q, R, S, etc

(fig. 45), dirigées comme on voudra dans l'es- Fi;. i\3. pace, se fontéquilibre autour d'un même point A , on sait que ces forces, estimées suivant une droite quelconque AX passant par ce point, doivent aussi se faire équilibre.

Donc, si ces forces sont représentées par tes parties AP, AQ, AR, AS, etc., de leurs directions, la sotnme de leurs projections Ap, Aq,Ar, As, etc., sur l'axe AX, doit être égale à zéro, en comptant comme positives les projections qui; tombent d'un même côté du point A , et

sV^ ËLÉMENS

comme négatives celles qui tombent de l'ai côté. Mais, si l'on menait par le poit^t A plan MN perpendiculaire a AX, les projeon tioiis kp, Aq, Ar, etc., exprimeraient les dî»*( tances des extrémités des forces au plan MN;; donc, puisque Icursonime est nclle, la mo yenBe distance de ces points au plan MIS est aussr* nulle.

Donc , IwsqUe tant de forces que l'on aMnidrm sont en équilibre sur mi point , ce point em le centre de gravité de corps ou points massijk'i égaux qui seraient placés aux extrémités def lignes qui représentent les forces en grandeia%, et en directions. \

El réciproquement , si l'on considère un a^ semblage quelconque de masses égales , et qu'on mène de leurs differens centres , des lignes au centre de gravité du système , il est visible qtiii des forces représentées en grandeurs et en e&n^ rvctions par ces lignes, se feraient équilibra, entre elles. iti

Car la moyenne distance des extrémités èé> ces forces k un plan quelconque passant par le centre de cavité , serait nulle ; la somme dcj ces fcwces estimées suivant un axe quelcooqual passantpar ce point serait donc nulle aussi, eft par conséquent il y aurait équilibre. ■ «•

jQn v<ntparlàqu«sitroisforce3'souteQ<é(piii^

libre sur ud point, ce point est le ceal^e de gravité du triangle formé par les droites qui joindraient les exirémites des lignes qui repre'sentent ces forces en grandeurs et en directions; car le centre de graTité du triangle est le même que celui de trois corps égaux dont les centres seraient placés aux trois angles.

Et de même, si quatre forces sont en équilibre autour d'un point, ce point est le centre de gravité de la pyramide triangulaire formée par les six droites qui joignent les extrémités des lignes qui représentent les quatre forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement, il y a équilibre entre trois forces exprimées par les distances des trois angles d'un triangle quelconque , au centre de gravité de ce triangle; el de même, entre quatre forces représentées par les distances des quatre coins d'une pyramide triangulaire quelconque, au centre de gravité de cette pyramide.

Mais voici une conséquence plus générale :

si l'on suppose que toutes les molécules égales d'un corps de figure quelconque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point, et qo'ily ait équilibre, ce point sera ^^écessat Ter ment le centre de gravité du corps«,Tf-,î,i 1 » sJr."

apfr ÉLÉMEWS

■ Et réciproquement, si le point vers 1 toutes les molécules sont attirées proportion^ nellement à leurs distances , est le centre t gravité du corps, il y aura équilibre, el corps ne pourra prendre aucun mouvement en* vertu de ces attractions. i'

C'est le cas de la terre supposée sphériqué^ el homogène ; car , dans la loi de Newton, si une molécule située au dehors du globe est attirée en raison inverse du carrée de sa distance au centre, on trouve que, dans l'intérieur, chaque molécule pèse vers le centre en raison de la sinpk distance. Ainsi toutes les forces de la gravité se font équilibre autour du centre de la terre.

Au reste, je ne doime ce corollaire que comme le l'ésultat mathématique d'une simple hypothèse, et non pas comme une preuve de l'éqoilibre de la terre en vertu des difTerens poids de toutes ses parties ; car il est manifeste que cet équilibre a lieu dans la nature, mais par une autre raison générale qui ne dépend ni de la proportion ni de la direction des forces de la gravité. Et en effet, si le poids de chaque particule de la terre vient de l'attraction que toutes les autres exercent sur elle ; comme, entre deui particules égales, l'action est nécessairement égale et réciproque, il s'ensuit que le poids de

DE STATIQTJE. arg

chaque particule est la résultante d'une infinité de forces dont chacune a son égale et con— traire dans le système, et que par conséquent toutes ees résultantes oa tous ces poids doivent se faire équilibre entre eux, quelles que soient d'ailleurs et la forme et la constitution de notre globe , et nièrae la loi d'attraction qui pourrait exister entre les parties de la matière.

Désignons par M+i le nombre des forces P, Q, R, S, etc., qui se font équilibre autour du point A, et considérons toujours lesM+ i corps ou pijjnts massifs égaux placés aux extrémités des lignes qui représentent ces forces.

Le point A étant le centre de gravité de tous ces corps, il est clair que si la ligne PA, qui va de l'un d'eux au point A est prolongée d'une quantité AG égale à la M° partie de sa longueur, le point G sera le centre de gravité des M autres corps, Mais toutes lesforces P,Q, R, Sf etc., étant tiu équilibre, l'une d'elles P est égale et directement opposéeà la résultaute des M autres Q,R, S, etc. Donc on a ces théorèmes:

("■ il résultante de M forces représentées par autant de lignes ^ui partent d'un même point A est dirigée de ce poi7it vers le centre de gravité G rfe M corps égaux qu'on supposerait

^ffi. ÉLËMËNS

places aux extrémités de ces lignes i t grandeur fie cette résultante est représentée par J\/i fois 1(1 distance AG du point d'application lie ces forces à ce commun centre de gravité, i

On peutcODclure du là que, si les molécules égales d'uQ corps ou système de figure quelconque s'attirent en raison de leurs distaoces mutuelles, cbaque molécule du corps pèse vers le centre de gravité en raison de sa distance à ce centre. Car, en représentant les forces d'attraction par les distances mêmes qui sépareut les M points égaux du système, il en résultii poor chacun d'eux une attraction totale, rC présentée par M — i fois sa distance au centre de gravité des M — i autres , ou , ce qui est lï même chose, par iVl foie sa distance au centre de gravité des M points qui composent le sys^ tème entier.

On voit encore que , dans cette loi d'altrac* tion, des corps de figure quelconque agiraient exactemeat les uns sur les autres comme Û leurs m^ses étaient réduites à des points , et se trouvaient, pour ainsi dire, concentrées dairf leurs propres centres de gravité; ce qui, dans la loi de Newton, ne peut avoir lieu que pour ' des sphères homogènes, ou pour des corps conlH pOseR de diflereules couches sphériques doatV cliacune serait d'une densité uniforme. '

2?. Si l'on considère M corps égaux disposés entre eux comme on voudra , leur centre de gravité G peut se trouver en menant de ces corps (uitani de lignes à un point quelconque A de l'espace, composant entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, et prenant, à partir du point A, la M' partie de la ligne ré" sultante.

Si l'on suppose que le point A change de position dans l'espace , les forces représentées par les lignes qui vont des corps à ce point changeront de grandeurs et de directions; mais les résultantes de ces diveis groupes de forces concourantes ne cesseront pas de passer par le même point G : et il est évident que la même chose aurait lieu si, le point A restant fixe, on faisait varier d'une manière quelconque la position du système.

I, Donc ce point G, qui dans les corps pesans est le centre des forces égales et parallèles que l'on suppose venir de la gravité, est aussi le centre de forces qui seraient convergentes y ers un point quelconque A de l'espace, et proportionnelles aux distances des molécules à ce point.

Si donc le centre de gravité d'un corps est fixe, le corps soumis à de telles forces convergentes sera en équilibre dans toutes les situa'

er- J

ua- J

■n4 ËLËMEAS

la résultante Mr. On aura donc

Mx= mx -H Tn'x'-\- m"x"-J-etc. , I» ■ MY = mr + m'r'+ m'y" -f- etc. , Y Mz = mz -H m s + ra 5 + etc.

Faisant les carrés , ajoutant , et observant qu'on <a x*-f-ï" + z*=R",

on trouvera

M'B'=m'r'4-'«''r''4-'n'V'' + etc.

+ aï«m'(xx' 4-/^' + zs') -f- etc.

+ am j?'(a:x"-j-;;^"H-zz" j -|-etc .