etc

Au lieu du terme 2mm'{xx'-\-)'j''-^zz' ), on pourrait mettre, comme on l'a vu n° 1 13, le terme amr.mV. cos^;^étant rinclinaîsoo rnutuelle des deux ligues r et r' : et ainsi des autres; d'où l'on tire en passant ce théorème connu:

Le carré de la résultante de tant de forces qu'on voudra appliquées sur un point est égale à la somme des carrés de ces forces , et dfs doubles produits qu'on peut faire en lès multi- )iiant, deux à deux , l'une par l'autre et par le cosinus de leur inclinaison mutuelle.

■ On peut encore transformer chaque terme

DE STATIQUE. aiS

3mm'(jrx'+^'-f-ss')d'une autre manière. Car si l'on désigne par cela distance de ma m , on a

«.•=Cx-V)--(r-y)-+(2-/)',

et par conséquent,

2{jcx-'-\-xy +zz') = i-*-\-r'* — ce; on a de même, en nommant j3 la distance de m à m",

2(xx'' +jj" -{- zz") = r* + r"' — j3* , et ainsi des autres. En substituant ces valeurs, on aura celle nouvelle expression de la résultante Mn ,

M*a* = m'r* + m'*/* + m"*r"' -f- etc.

-h ««/(r'-f- r" — a") + etc.

■+- mm"(}- + H'- — /S") H- etc.

H- etc.

Or, dans le second membre de cette équation, r* est multiplié par nt' -j- mm' -f- mm" + etc. i=m(/n-f-»i'+'«"+ etc.) = mM; le carrer*' est multiplié de même par m'M, etc. ; donc enfin, en réduisant, on aura cette équation remarquable ;

Mb' =M/(mr') — /(amm"),

oùlft signe / (mr') indique la somme des pro-

duîtsdes masses par les carrés des distances de

leurscentres au point A ; et ie signe /(miw' «')

DE STATIQUE. la.

Quant à cette valeur minimum de f(mr*), on voit, par l'équation ci-dessus où l'on fait R = o, qu'elle est égale à la somme des produits qu'on peut faire en prenant les masses deux à deux, les multipliant l'une par l'autre et par le carré de leur distance mutuelle, et divisant le tout par la masse entière du système j ce qui donne un second théorème qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Si le point A, en variant de position, reste toujours sur une sphère décrite autour dn centre de gravilé du système, a est constante, et par conséquent f (mr') ne change polat, quoiqueles distances individuelles r,/, r", etc., varient par ce déplacement du point A : et il en serait de même si le point A restant fixe, le système toiiinait d'une manière queicoaque autour de son centre G.

Xe centre de gravité d'un sjstème jouit donc encore de cette propriété , qi^ si l'on fait tourwer comme on voudra le système autour de ce centre , la somme des produits des masses par Zes carres de leurs distances à un pointJiœÉ quelconque reste toujours la même. ' '

Si l'on suppose, comme nous l'avions fah cl'abord, que toutes les masses m , m' , m', etc., soient égales entre elles e* à l'unité, M *en marque le nombre, et l'équation précédente i5..

devient

formule plus simple, et qu'on appliqua e'galeraent à tous les systèmes possibles, e# imaginant que les difTérens corps y soient tod^ divisés eu parties égales.

Dans le cas de r =o , on a Mf(r*) ^ /«') d'où l'on tire ce théorème de Géométrie :

La somme des carrés des distances mutuelles de M points égaux , est égale à MJois la somme des carrés de leurs distances à leur commun centre de gravité.

On voit par là que la somme des carrés dessix arêtes d'une pyramide triangulaire est égale à quatre fois la somme des carrés des distances des sommets au centre de gravité de la. pyramide; car ce centre est le même que celui de quatre corps égaux placés à ces sommets; etc., etc.

Dansce qui précède, on n'a considéré qu'un système invariable de figure, c'est-à-dire dont les points sont liés de manière qu'aucune de leurs distances mutuelles ne puisse changer.

Mais on voit encore ici que , si la figure du sjrstème était variable suivant cette condition que la somme des carrés des distances mu^ ' ?iles des differens points fût constante , la

DE STATIQUE. aag

somme des carrés de leurs distances au centre de gravité demeurerait aussi constante , et ré- •ciproçuement.

- Mais je passe à d'autres proprielés des centros ■de graTÎté.

167. Soit une courbe plane quelconque ABC (ilg. 44)» <i"' tourne autour d'un axe PZ situé Fig. 44daos son plau, de manière que tous les points de la courbe demeurent toujours aux mêmes distances de cet axe ; cette courbe engendreune surface que l'on nomme surface de révolution.

Pour en déterminer l'aire, on peut remarquer que chaque élément ds de la courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont l'aire est égale au côté ds multiplié par la circonférence du cercle que décrit son milieu, ou son centre de gravité/', autour de l'axe PZ.

Donc, sil'ousuppose tous ces élémeos égaux, la surface entière sera égale à leur somme multipliée par la circonférence moyenne entre celles que décrivent tous leurs centres de gravité.

Mais cette moyeune circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points à l'axe de révolution , ou bien { 1 40) la distance

H3û ËrÉMENS

du ceotre de gravite de la courbe au même axe;

donc on peut dire :

Que l'aire d'u?te surface de révolution est égale à la longueur de la génératrice , mult^ pliée par la circonjérence que décrit son centn de gravité autour del'ojoede révolution.

On voit de la même manière que si plusieurs .Cdurbes situées dans le même plan tournent I ,autour d'un axe situé dans ce plan , la somm0 des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de leur système.

Mais il faut observer que, lorsque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d'un même côté de l'axe, l'expressiott précédente ne donne plus que la somme de»

aires engendrées par les parties qui sont d'o^ ■côté de cet axe, moins la somme des airti; engendrées par les parties qui sont de l'antre

côtrf. ' •

■ On peut appliquer aussi la tbéoriedesccntrw de gvaVitéà la cubature des solides de révolution. Et il n'est pas diflioile de voir que lev^ lume d'un solide de révolution est égal à l'aiit ' de ta section génératrice , multipliée par la cif' conférence que décrit son centre de gravité «tf* tour de l'axe fixe.

DE STATIQUE. aJi

En efi'et, si l'on cousidère ua rectaugle bcde (fjg. 45J qui tourne autour de l'axe PZ parM- iie lèle à l'un de^es côtés Ae, il est clair que lesolide engendré par ce rectangle est égal à la di flerence de doux cjlindresdemônie hauteurct^, et dont l'uu a pour rajoa la distance ca do côté cd, à l'axe fixe; et l'autre^ la distance ba du côté be , au même axe. Ce solide est donc

exprimé par (■zyac — 'Brah)cd, eu nommant isle rappott de la drconference au diamètre. ,Sî l'on met ca — c6 , h la place de ab , l'expression

précédente devient «y (2(ic X bc — bc)cd, ou

bc X C(/ X wiUac j, c'est-à-dire égaleau

rectangle bcde, multiplié par la circonférence décrite d'un rayon moyen entre les rayons ca et ba, ou bien égale à la distance du centre de gravité du parallélo^amroe à l'axe de révolution.

Donc, si l'on conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de petits regtancles égaux, on pOurra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à l'aire de la section ZMN , multipliée par la circonférence moyenne entrt toutes celles que décrivent leurs centres de gravité autour de l'axe. Mais celte moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance

pables de se faire équilibre suruncorps entièrement libre, peuvent néannioios se faire équilibre sur une machine, il faut donc en cooclure que les corps qui forment les machines ne soûl pas entièrement libres, mais sont gênés par des obstacles qui les empêchent d'obéir au mouvement que les forces tendent à leur impiimer, el leur imprimeraient t-éellement, s'ils étaient libres. Ainsi l'on est conduit naturellement à cette définition générale des machines, savoir, que les machines ne sont autre chose que des corps ou systèmes gênés dans leurs mouvemens par des obstacles quelconques,

11 n'est pas diilicile de comprendre, d'après cela, comment des forces de grandeurs quelconques peuvent se faire équilibre sur de te» corps; car il n'est plus nécessaire que les forces résultantes soient nulles d'elles-mêmes , mais il suflit qu'elles se dirigent vers les obstacles q(rf les détruisent par leurs résistances. Ainsi, l'aide d'un corps solide qui s'appuierait, paf exemple, contre un point Hxe, une force m**-' diocre ferait équilibre à une très grande force, si elle était disposée à l'égard de celle-ci d*. nianièi« que leur résultante commune fût dw.

rigée vers le point fixe : d'oii l'on voit que l* plus petite force seule ne fait pas équilibre *■ la plus grande, ce qui serait impossible, mai*

qu'elle ne sert , en quelquesorte , qu'à détourner l'efforl de la plus grande, et à le faire passer avec le sien propre combiné, vers un obstacle invincible.

Au fond , lorsqu'on fait équilibre à une puissance quelconque, à l'aide d'une machine, On emploie réellement plus de fbi-ce qu'en appliquant directement une force égale et contraire à celle qu'on veut détruire, si l'on compte la résistance de l'obslacle pour une force. Mais comme ces résistances qui jiroviennentdes obstacles sont par elles-mêmes incapables de produire du mouvement, et ne peuvent servir qu'à le détruire, nous n'en tenons pas compte, parce que nous ne dépensons réellement que la force appliquée. Au reste, dans la théorie de l'équilibre des machines, rien n'empêche de considérer les obstacles comme tenant lieu de forces égales et contraires à celles qu'ils dL'truisent actuellement; et si l'on conçoit qu'on ait ainsi substitué à la place de ces obstacles des forces ijui représentent leurs résistances actuelles, ce n'est plus entre les seules forces appliquées qu'il y a équilibre, mais cuire les forces appliquées et les résistances; de manière que les lois de l'équilibre des machines deviennent les mêmes que celles de l'équilibre des corps faîtement libres.

rps par- J

a36 ÉLÉMENS

C'est d'après celle considération que nous avons tixJuvé à la fin du second chapitre les lois de l'équilibre de corps assujettis à diverses conditions particulières. Ceux qui auront lu cet article verront que nous aurions peu de cTiose à y ajouter ici, et qu'il renferme de la manière la plus générale la théorie de l'équilibre des trois machines simples auxquelles oa peut aisément ramener toutes les autres; mais, en faveur de ceux qui veulent étudier les machines d'une manière plus élémentaire, noas allons entrer dans les détails convenables.

i6g. Nous réduirons les macluDes simples à trois principales , que l'on peut considérer , si l'on veut, dans l'ordre suivant, eu égard à la Dature de l'obstacle qui gène le mouvement du corps : le levier , le tour^ et le plan incliné.

Dans la première machine , l'obstacle est un, point Jixe autour duquel le corps a la liberté de tourner en tous sens.

Dans la seconde, l'obstacle est une droiiejîxtt autourde laquelle tous les pointsdu corpsn'oD^ que la liberté de tourner dans des plans paral-<, lèles entre eux.

Dans la troisième , l'obstacle est un plan iné*^ hranlable contre lequel le corps s'appuie sur lequel il a la liberté de glisser.

Gimme on n'a d'abord considéré cette dernière machine que par rapport aux corps pesans qu'on retient en équilibre sur des plans inclinés à l'horizon , on lui a donné et elle a gardé le nom de plaii incliné.

Nous parlerons successivement de ces trois machines, et de quelques-unes qui s'y rapportent , dont l'usage est le plus fréquent. Noua ferons abstraction des diverses circonstances physiques qui peuvent influer sur l'équilibre, telles que le frottement des corps les uns sur les autres, et la raideur des cordes au moyen desquelles les forces transmettent leur action aux divers points de la machine. Ainsi l'on supposera que l'action de chaque force se transmet suivant l'axe de la corde à laquelle elle est appliquée, de raanièreque l'on pourra considérer les cordes comme des fils parfaitement flexibles et inextensibles. On verra facilement dans quels cas et comment on doit avoir égard aux diamètres des cordes. Au reste, nous parlerons pins loin de ces sortes d'înstrumens qu'on a mis au rang des machines , et qu'on nomme machines funiculaires. Ce que uous en avons dit ici suflit pour notre objet.

a^o ÉLÉMENS

on peat substituer la proportion P:Q:: FI:FH,

qui exprime que les forces P et Q doivent être

en raison réciproque de leurs distances au point

d'appui.

De la charge du point d'appui.

171. Dans le cas de l'équilibre, l'appui n'est pressé que par les deux forces F' et Q' qui y sont immédiatemerit appliquées ; car les deux couples (F, — P), (Q — Q) étant en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dire même en supposant que le levier ne soit pas soutenu , il est clair qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe.

Ainsi , la pression qu'éprouve le point d'appui est absolument la mêrne que si les deux forces V ei Qsy transportaient parallèlement à elles-mêmes^ sans changer de grandeur ni déserts.

172. Si l'on achève sur les côtés FF*, FQ' qui représentent les forces F' et Q', le parallélogramme FQ'RF', la diagonale FR représentera donc la charge R de l'appui; el par conséquent , si la résistance de cet appui n'est pas indéfîaie , on pourra juger de quelle résistance il doit être capable, pour n'être pas entraîné par l'action des forces F et Q qui sollicitent le levier.

DE STATIQUE, ^i

Comme les forces P' et Q' sont parfaitement égales et parallèles aux forces respectives P et Q, et de même sens, les trois côtes et les trois angles du triangle FRQ', ou du triangle FRP', représentent les six choses que l'on peut considérer dans le levier, savoir : les deux forces P et Q, la charge R de l'appui , et les inclinaisons mutuelles des directions de ces trois forces.

Donc, si l'on connaît trois quelconques de ces six choses, pourvu qu'il y entre la grandeur de l'une des forces P, Q, R, on pourra trouver les trois autres, de la même manière que l'on résoudrait le triangle FRQ'.

173. Observons que tout ce que nous avons dit a lieu , quelles que soient ta figure du levier et les dispositions mutuelles des forces P et Q, et du point d'appui.

Si les forces P et Q (lig. 4?) sont parallèles, on peut mener du [wint fixe une perpendiculaire commune Kl sur leurs directions, et ces deux forces devront êlre en raison réciproque des parties Fil et FI , comprises entre leurs dil'ections et l'appui.

La charge de ce point sera égale à la somme des forces P-f-Q, ou a leur différence P — Q, selon qu'elles seront toutes deux de même

a4a ËLEMENS

sens ( fig. 46 ), ou àe sens contraires (fig. 47 ). Lorsque le levier est droit, les parties HF' et FI sont proportionnelles aux parties AF et* BF, qui sont les distances des points d'appii-J cation des forces au point d'appui , distances comptées sur le levier lui-même, et que l'on nomme proprement les bras de levier; efpar conséquent , dans l'équilibre du levier droit, les forces sont réciproques à leurs bra»' de levier.

174' Si l'on veut considérer l'une des deur forces Pet Q, la force P, par exemple, commtf celle qui tend à donner le mouvement à I4 machine, et que l'on nommera \^ puissancBi et l'autre force Q, comme l'efTort qu'il faut vaincre, et que l'on nommera la résistance, on pourra distinguer plusieurs espèces de le* viers, suivant la place qu'occupe le point d'appui F , relativement à ces deux forces.

Si l'appui tombe entre la puissance et la résistance, on aura le levier de la première espèce' Fiq. 4;. (fig. 4?) ) où la puissance a d'autant plus d'avantage, que son bras de levier AF est plus longi

Si l'appui laisse la résistance Q entre lui et' \§t puissance P, on aura le levier de la seconde Pig. 48. espèce (fig, /\i\), où la puissance a toujours de ■Btage.

DE STATIQUE. a43

Eafiti, si la puissance tombe entre le point d'appui et la résistance, on aura le levier de la troisième espèce (fig. 49) > o^ 1* puissance ^ a toujours du désavantage.

Mais ces dlfférens leviers reviennent tous au même sous le rapport de l'équilibre. De quelque manière que la puissance et la résistance soient disposées entre elles et à l'égard du point d'appui , si on les transporte toutes deux parallèlement à elies-mémes en ce point, il faut toujours que les deux couples qui epi naissent soient équivalens et contraires: ainsi les distinctions précédentes sont inutiles dans la théorie, et ne peuvent servir que dans le discours.

175. Supposons actuellement que le levier soit sollicité par un nombre quelconque de puissances?, QjR-j etc. (lîg. 5o), toutes situées dans un même plan avec le point d'appui F. En abaissant de ce point des perpendiculaires FH, FI, FK, etc., sur leurs directions, et considérant chaque force P comme transformée en une autre égale, parallèle et de même sens, appliquée en F , et en un couple (P , — P) qui a pour bras de levier la distance FH de cette force au point fixe , on verra , comme ci-dessus que la résultante de toutes les forces transpor-

!i44 ÉLÉMEHS

tées sur le point fixe est toujours détruite par sa résistance; mais que le couple résultant doit être nul de lui-même pour l'équilibre, comme sî la verge était parfaitement libre:

d'où l'on conclura que la somme des niomeos PxFH, QxFI, RxFK, elc, doit être égale à zéro, en comptant comme positifs tous les momens des forces qui tendent à faire tourner dans un sens, et comme négatifs, les momens qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

On trouvera aussi que la charge du point d'appui est absolument la même que si toutes les forces s'étaient transportées parallèlement^ elles-mêmes en ce point , sans clianger degrandeur ni de sens.

176. Si les forces P, Q, R, etc., agissaient dans des plaus difTérens, on verrait de la même manière qu'en transportant toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point fixe, tous les couples qui en proviennent dtn* vent donner un couple résultant nul de luimême, ou doivent être en équilibre entre eux,

Mais pour exprimer cette condition, il faut'

ici trois équations qui expriment que la somme

momeus des forces, estimés par rapport il

i qui se croisent dans l'espace au point

DE STATIQUE. a45

d'appui, soit nulle d'elle-même à l'égard de chacun de ces axes (65).

Sur quoi l'on peut observer que les trois axes peuvent être meoés d'uae manière quelcouque par le poiut fixe, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan ; car les trois équations précédentes n'assureraient pas alors l'équilibre du corps.

Puisque les couples qui naissent des foi'ces transportées au point fixe doivent être en équilibre d'eux-mêmes, il s'ensuit que les forces appliquées aux divers points du levier doivent se réduire aux mêmes forces, maïs réunies parallèlement à elles-mêmes au point d'appui; et par conséquent on peut exprimer la loi générale de l'équilibre du levier, en disant que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le point fixe : proposition qui paraît assez évidente d'elle-même, et dont on part ordinairement comme d'un axiome, pour arriver aux conditions précédentes (i i6 — i iS).

177. Jusqu'ici nous avons fait abstraction de la pesanteur du levier. Sî l'on veut y avoir égard , îl faudra considérer le poids de la verge comme une nouvelle force appliquée eu son centre de gravité, suivant «ne direction verti-

a46 ËLËMËHS

cale; et l'on combinera cette force avec 1»

autres, d'après ce que nous avons dit ci-des-t sus, comme si le levier était sans pesanteur. Ainsi l'on voit que, daus le cas, par exemple, où toutes les forces et la direction du poids du levier se trouvent dans ua même plan avec l'appui, c'est la somme de tous les momens, en y comprenant celui du poids, qui doit être égale à zéro pour l'équilibre.

Donc, si l'oo veut employer un levier dont le poids n'entre pour rien dans l'équilibre dea ibrces , ou n'aura qu'à le placer de telle sorte, que la verticale abaissée de sou centre de grar^ vite tombe au point d'appui: alors le mome(4 du poids étant nul de lui-même , on n'aurq plus à considérer que les momeus des forces appliquées.

178. On a supposé que te point F du leviei; Qtait arrêté dans tous les sens, de manière qu4 le levier ne pût avoir aucun mouvement àe, rotation autour de lui: pour se procurer ua ' tel point au-dedans d'un corps, on le traverse 'ordinairement par un essieu ou cj'lîndre inflexible, d'un diamètre quelconque; et lorsque, le corps tourne autour de ce cylindre, il est. absolument dans le même casque s'il tournait m axe considéré comme une ligue

DE STATIQUE. i^'j

fixe ; et tous les points d'uue même section plane qui est faite perpendiculairement à Taxe, et dont il résulte un cercle dans le cylindre, soit dans le même cas que s'ils tournaient autour du centre de ce cercle.

A la vérité^ dans la disposition précédente, le levier n'a point la liberté de pirouetter en tous sens autour du poïut fixe ; mais lorsque les forces qu'on y suppose appliquées sont toutes dans un plau perpendiculaire à l'axe autour duquel il peut tourner, les lois de l'équilibre y sont parfaitement les mêmes. Au reste on pourrait pénétrer la verge par une sphère fixe qui la touchât au moins en quatre points, de manière que ces quatre points fussent comme les points de contact d'une pyramide circonscrite à sa surface; le levier alors en tournant autour de cette sphère pourrait être considéré comme s'il tournait autour de son centre.

Mais le plus souvent, le levier ne fait que poser surl'appui fixe, comme on le voit fig. 46, 47» 4^' Alors les conditions données plus haut ne suffisent plus pour l'équilibre, abstraction faite du frottement. Il faut, non-seulement que les forces appliquées aient une résultante unique qui passe au point d'appui, mais encore que la direction de cette résultante soit normale à la surface de contact du levier avec l'appui :

a48 ÊLÉMENS

car si elle tombe obliquement sur 1

genl à cette surfnce, on pourra la ilccomposer-

en deux autres, l'une perpendiculaire, et l'autre

parallèle à ce plan. La première sera détruite;

mais la seconde obtiendra son efTet, et fera

glisser le levier sur l'appui , comme on le verra

à l'article du plan incline. '

De la Balance '

17g. La balance ordinaire est nn levier da premier genre , aux extrémités duquel sont suspendus par des cordons deux bassins destioei à recevoir les corps dontoti veut comparer le» poids. On dispose ordinairement celle macliioe de manière que son centre de gravité passe paf îi. la verticale menée par le point d'appui F (Kg. 5 1) et que les bras du levier FA et FB soient par* ' failement égaux : alors on est sur que deuZ, corps graves qui se font équilibre dans les bassins ont des poids parfaitement éf^aux , et paf conséquent renferment des quantités égales dé matière. Ainsi , en prenant le poids d'un cor|iC pour unité, on évaluera les masses respectivel des dîfiërezîs corp'; en cherchant à combiettd'unités de poids ils font équilibre. i-i*'

Four qu'une balance soit juste, il fautdonCy rt' premier lieu, que son centre de gravira

DE STATIQUE. n^g

tombe dans la verticnle menée par le point d'appui.

C'est ce que l'on vérifie sur-le-champ, en examinant si la balance est en équilibre d'ellemême, c'esl-à-dire lorsque les bassins sont vides; et si cela n'a pas lieu, on rectifie iiisémeat la balance à cet égard, en attachant a l'un des bassins ou des bras de levier un poids convenable qui rétablisse l'équilibre.

Il faut , en second lieu , que le poiut d'appui divise le levier ou \ejléaii en deux parties parfaitement égales; et cette seconde condition est la plus importante.

Pour voir si elle a lieu, on n'a qu'à mettre deux corps en équilibre dans les bassins, et les changer ensuite de place. Si les bras de levier sont égaux, l'équilibre doit subsister encore; car les poids qui se sont fait équilibre sont égaux aussi , et il doit être indifférent de les changer de bassins.

Mais si les bras de levier sont inégaux, l'équilibre sera détruit; car les poids qui se sont fait équilibre sont en raison inverse de ces bras de levier: or , en les changeant de place, le plus grand poids agira à l'extrémité du bras de levier le plus long, et par cette double raison entraînera nécessairement l'autre.

La balance alors sera fausse, et Tonne

ne pou ^^^^1

aSb ÉLÉMENS

la rectifier qu'en changeant le point d'appaî on

le point de suspension dt: l'un des bassios.

On pourra néanmoins s'en servir, et connaitre par deux épreuves le poids véritable dn corps.

Car , soient P le poids inconnu du corps, X et ^ les deux bras de la balance ; et supposons que le poids P, placé dans le bassin qui répond au premier bras de levier j^, fasse équilibre à un poids connu A placé dans l'aulre bassin , on aura

Px = Ar.

Mettons actuellement le poids P dans le bassin qui répond au bras de levier j-, et supposons qu'il fasse équilibre à un poids connu B placé dans l'autre, on aura

Multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

P'~AB, d'oiiP = v'AB^

c'est-à-dire que ie poids du corps est moyen proportionnel géométrique entre les deux poids xquels il fait alternalîveraent équilibre dans IX bassins de la balance.

DE STATIQUE. aSi

De la Romaine.

180. La balance romaiae estaassi 11a levier droit du premier genre , mais dont les bras FA, FB ( fig. Sa ) sont inégaux.

A rextrémité A du bras le plus court , on suspend le corps dont on veut trouver le poids Qj on l'attache par un crochet, ou bien on le pose dans un bassin qui est suspendu librement an point A, comme dans la balance ordinaire.

Sur l'autre bras FB de la romaine est un poids connu ^, mobile au moyen d'un anneau le long de ce bras; de sorte qu'en le faisant glisser à nue distance convenable FI de l'appui F, il fait équilibre au poids du corps qui agit de l'autre côté.

Si donc, à chaque pointi du bras FB, on marquait en nombres le rapport des deux forces Q et p qui se font équilibre, on aurait ua instrument fort commode pour peser les différens corps, a. l'aide d'un mêmepoids^ qui servirait d'unité. Il suffirait, dans chaque cas , de chercher le point I oii il faut amener le poids mobile p pour contrc-balancer le poids Q, et l'on trouverait marqué en ce point le rapport de Q a p, ce qui est précisément le poids cherché du corps.

3&I ËLËMKMS

Lorsque la roniaiue t-sl tellenieut construite, que le centre de gravité de toute la machine, c'est-à-dire du fléau et du bassin , tombe précisément sur le point d'appui F', la loi de l'équilibre entre les deux forces appliquées est la même que si le levier AC élaitsans pesanteur; ainsi le rapport de Q à p est égal a celui des deux bras FI et FA, et dans ce cas il est bien facile de construire une romaine, c'est-à-dire d'en marquer les diflerentes divisions.

Mais si le centre de gravité de la machiae tombeà droite ou à gauche de l'appui, le rapport de Q à p n'est plus celui des bras de levier IF et AF; il doit être augmenté ou diminué d'une certaine quantité qui dépend du poids

V de la machine, et de la distance de ce poids

V à l'appui: ainsi les divisions de la romaine doivent être changées. Mais on sent, par ce que je viens de dire, que ces divisions seront encore distribuées de la même manière; seulement le point de départ , c'esl-à-dire le poiot 1 où l'on doit compter zéro pour le poids Q, sera plus en F sur l'appui, maïs il devra étrfti

Fig, 53. avancé ou reculé en 0(fig. 55 ), d'une cer-.J laine quantité FO, qu'il est bien facile de dé^l terminer.

l8i. Mais sans connaître ni le poids

DE STATIQUE. aS3

centre de gravité de la romaine, on peut ea marquer exactement les divisions de la manière suivante , que la théorie des couples rend la plus naturelle et la plus facile à retenir.

Je suppose d'abord le bassin vide, on le poids Q nul , et je fais avancer le poids mobile ^jusqu'en un point 0, qui se peut trouver à gauche ou à droite de l'appui, mais qui est tel , que le fléau AB devienne horizontal. Dans cet état, le centre de gravité de tout le système, en y comprenant le poids mobile p, passe au point F, et le poids de toute la machine est détruit. C'est donc au point qu'il faudra marquer zéro , puisque alors le poids Q est tout-à-faît nul.

Actuellement, je suppose que, dans le bassin vide on miïtte un poids p'=p; il est clair que l'équilibre sera rompu, mais que si l'on éloigne le poids mobile d'une quantité convenable l'équilibre sera rétabli. Ainsi, quand d'unc6té on ajoute au poids, de l'autrt: côté il faut chercher ce qu'on doit ajouter au bras de levier pour maintenir l'équilibre. Or, qu'on imagine la force p transportée parallèlement à ellemême du point A au point d'appui F, elle y sera détruite, et il ne restera qu'un couple {p', — p') appliqué sur FA^r, et dont le moment est p'r. Aîosî le poids p' qu'on

354 ÉLÉMEHS

dans le bassin vide ajoute de ce côté de la po-^ maioe un couple ou raoïnent pr l il faut donc ajouter de l'autre c6té un couple égal et coni^ traire ( — Pt'i-p) 1^^ ^i* un même I>r3n de levier r. Or, qu'on place ce couple, ce qui est permis, sur la ligne OH = r: alors la force — p détruit son égale et contraire /j, et il ne reste que -hp, qui n'est en quelque sorte que le poids mobile p qu'on aurait éloigné de la quantité OH=r. On voit donc que pour chaqu^ poidsp qu'on ajouterait dans le bassin, il faudrait éloigner le poids mobile de la longueur constante r du petit bras de la romaine; etâ l'on ajoutait une fraction quelconque dep, il est évident, par la même démonstration, qu'il faudrait éloigner le poids mobile d'une même fraction de r.

Donc, à partir du point déterminé ô^ dessus, il faudra porter des parties égales à r, ^^fc^^ et marquer en ces poiuts de division, o, i, ^^^^1 a, 5, 4> ^f ^^*^' ^^ ^' ^'^'^ ^'^"'^ marquer des ^^^^^ fractions internie'diaircs, des dixièmes, desceti- V tièmes,par exemple, on aura uu instrument

H qui pourra servir pour évaluer le poids de?

H corps à ces décimales près du poids connu p.

^b On voit que la balance romaine peut être

^K ytile 2n beaucoup de rencontres où la

ordinaire ne serait d'aucun usage, puisque

DE STATIQUE. aSS

celle-ci exige diffe'rens poids pour peser les différens corps , tandis que la romaine n'en exige qu'un seul.

Elle a encore cet avantage , que le point d'appui ou de suspension y est moins fatigué par la charge ou la pression des corps que l'on pèse; car, dans la balance ordinaire, cette pression est double du poids du corps, ou sQ; au lieu que dans I3 romaine elle est simplement Q + p, ou seulement Q, c'est-à-dire la moitié de la précédente, si l'on veut regarder le poids p comme faisant lui-même partie du poids total de ta machine.

On peut varier celte balance de différentes manières , en rendant mobile , au lieu du poids p, le poids Q du corps qu'il s'agit de peser, ou bien le point de suspension du fléau AB, ce qui donnerait lieu à différentes consUiictïons^mais le principe en est toujours le même, et il est inutile de s'y arrêter.

Du Peson.

I Sa. On peut encore, pour évaluer les poids, employer un levier coudé ACB (fîg. 54}, mo- i'b. sébile autourdu point fixe C, et dont les bras CA, CB font entre euxun angle droit ACB; et c'est cette espèce de balance qu'on appelle le

I ; et c esi j

le peson. M

àflS ËLËMENS

Je suppose, pour plus de simpHcîtë , qneB bras CB , au bout duquel le corps est suspeni soit continué de l'aulre côté de l'appui d' longueur égale CB'; de manière que le de gravité de celle branche BB' tombe pi sèment au point C qui en esl le milieu. Alors] poids du bras CB se trouve détruit dans toul les positions du levier coudé autour du poinl fixe, et l'on peut se dispenser d'y avoir égarJ. Mais pour l'autre bras CA, son propre poids contribuera , avec celui qu'on pourrait y alla-' cher d'ailleurs, à contre-balancer le poids du corps. Le plus souvent même, ce bras ou cette ''aiguille est d'une matière assez pesante pour que la force p qui en résulte en son centre de gravité G fasse toute seule l'ollice du contrepoids. Au reste, je supposerai que/j représenlc le poids total de l'aiguille et des corps qiù pourraient}' être atlacbés, et que le commun centre de gravité soit en G, à la distance CG de l'appui.

Cela posé, le peson étant libre, l'aiguille CA tombant dans la verticale CO, et le bras CB étant borizon'al, je suspends en B un corps dont le poids est Q : le bras CB a* baisse vers la verticale, et l'autre CA s'éleva ainsi la distance BH de la force Q à l'ap] diminue, et la distance GI de l'autre forcé^

DE STATIQUE. î5i

an même point, nugmcnte^ de sorte que le levier coudé, pour se mettre en équilibre, doit prendre une position où les momens Q X BH et ^ X GI soient égaux de part et d'autre.

Or, soient (p t'augle AGO que fait l'aiguille avec la verticale, R la distance CG de son centre de gravité à l'appui , "et r la longueur du bras CB où le corps est suspendu. Comme on a GI^R sin <p, et BH = r cos 9 , l'équation de l'équilibre deviisnt p. R sin (p= Q. r cos ^ ; ce qui donne

d'où il résulte (puisque les trois quantités^, R et r demeurent invariables) que la tangente de rînclinalson 9 de l'aiguille croît précisément en proporlion du poids Q du corps,

Si doue on adapte au peson un quart de cercle COAM, qui représente le secteur que l'aiguille peut parcourir depuis la verticale CO jusqu'à l'horizontale CM, il est bien facile de marquer aux dififérens points de cet are les nombres qui répondent aux différens poids.

En effet, qu'on mène la tangente indéfinie OT , et qu'on suspende d'abord en B le poids que l'on veut prendre pour l'unité, ce poids

aS8 ÉLÉMENS

fera monter TaiguîHe d'un certain arcOA; et la direction de cette aiguille étant prolongée jusqu'à sa rencontre en a, avec la ligne OT, la ftarlîe Oa repi'ésentera la tangente île cet arc qui répond à l'unité de poids. Ainsi , il n'y aura qu'à porler sur la ligne OT , à partir du point 0, des parties égales à Ofl, et par les points de division, tirant des lignes au centre C, on aura sur le quart de cercle les points correspondans où il faudra marquer les nombres O, t , 2,5,4) ^'<^- ^t ^< ^'"^ veut subdiviser chaque partie de OT en fractions , on aura par la même construction lus points de l'arc où il faut marquer les mêmes fractions du poids que l'on a pris pour l'unité.

i83. Quelque petit que soit le poids p de l'aigaîlle; on voit par la proportion Q:/) " R tang tp'.r, que ce poids p suffit toujours pour contre- balancer un poids Q aussi grand qu'on le voudra : car la tangente de (p peut devenir plus grande que toute quantité donnée. Ainsi , le peson est d'un usage bien plus étendu que la romaine, et sous un petit appareil, cette mucbine peut servir à peser les corps les plus considérables.

Mi^is si la tangente de l'arc (p augmente par degrés égaux avec le poids Q du corps, l'arcl

DE STATIQUE. aSg

ïui-méme n'augmente que par degrés inégaux qui diminuent sans cesse ; et lt:s divisions supérieures du peson deviennent de moins eu moins sensibles pour les mêmes accroissemens de poids. Par conséquent , si l'on veut que la machine marque plus nettement ces différences, il ne faut pas que le poids de l'aiguille soit trop petit. Aussi, pour peser de lourds fardeaux, on charge l'aiguille d'un certain poids, ce qui lui permet de rester dans la partie moyenne du quart de cercle, où les inégalités de poids sont marquées d'une manière plus sensible.

De la Poulie.

184. L'équilibre de la poulie se rapporte naturellement à celui du levier.

La poulie est une roue circulaire ABK (4ig. 55), mobile dans une chape CN, autour Fi) d'un axe C. Une partie AB de sa circonférence est enveloppée par une corde PABQ dont les deux extrémités sont tirées par deux forces P et Q. Si l'on mène les deux rayons CA et CB aux deux points extrêmes de contact, on peut regarder les deux forces P et Q comme appliquées aux extrémités d'un levier coudé ACB, dont les deux bras sont parfaitement

a6o ÉLIÏMEHS

égaux ; et par conséquent il faut,

libre , que les deux forces P et Q soient parfai%

tement égales. i

Pour la charge du centre C de la pouliej' elle est la même (171) que si les deux forcM' P et Q s'y transportaient parallèlement à leurs directions, en P' et Q'. Ainsi, eu aciievant sur les deux lignes CP' et CQ', qui représen-i lenl leurs grandeurs, le losange F'CQ'R, la.

diagonale CR représentera la charge R da point C.

Mais si l'on joint AB , on formera un triangle îsoscèle ACB , semblable au triangle P'CR, et par conséquent Ton aura