P' OU P:R:: AC:AB

C'est-à-dire que Fune des deux forces P et

Q appliquées à la corde , est à la charge que

supporte l'axe de la poulie comme le rajon

,. de la poulie est à la sous-tendaiite de l'are

embrassé par la corde.

18Ô. Supposons que l'axe, au lieu d'ètrff Jixe, soit retenu par une force égale et con-' traire à la pression qu'il éprouve , et que l'ex- ;. 56. trémité du cordon AF (fig. 56), au lieud'êlre tirée par la force P, soit invariablement attachée à un point fixe F; l'équilibre de l>

DE STATIQUE, a6i

poulie ne sera point troublé, et le cordon demeurera toujours tendu de la même manière.

La puissance Q sera donc à la force qui retient le centre de la poulie, dans le même rapport que ci-dessus.

Ainsi, en considérant un poids P attaclié à la chape CN par un cordon dirigé vers le centre de la poulie , on aurait : la puissance Qj qui tend à faire monter le poids , esta ce poids comme le rajon de la poulie est à la sous-tendante de l'arc embrassé par la corde.

Lorsque l'arc est égal au tiers de la demicircotfférence, la sous -tendante AB est égale au rayon, et la puissance est égale à la résistance.

Lorsque les deux parties de la corde sont parallèles , la sous-tendante AB (fig. 5^) est fig. 57. double du rayon , et la puissance n'est que la moitié de la résistance. C'est Je cas le plus favorable à la puissance , puisque le diamètre est la plus grande corde du cercle.

i86. Le tour en général est, comme nous l'avons dit, un corps solide de figure quelconque, qui n'a que la liberté de tourner autour d'un axe fixe.

Mais ce que l'on nomme tour ou treidl dasf 1 les arts est un cylindre aux bases duquel oa adapte ordioairenientdeux autres cylindres de même axe, mais d'un diamètre plus petit , et que l'on nomme tourillons. Ces tourillons rei. posent sur deux appuis fixes F et H (fig, 58), et le cylindre, eu tournant sur ces tourillons, est absolument dans le même cas que s'il tournait autour de son axe considère comme une ligne fixe.

La résistance que l'on se propose de vaincre, ou le poids Q que l'on veut élever, est appliquée à une corde qui s'enroule autour du cylindre, tandis qu'une puissance P le fait tourner, soit en agissant par une corde CP tangentiellement à une roue (CB) perpendiculaire à l'axe de ce cylindre et solidement liée avec lui, soit en agissant à l'extrémité d'une barre qui traverse le cylindre à angle droit, soit au moyen d'une manivelle , etc. , etc.

Les dénominations du tour varient suivant l'objet auquel on le destine et suivant sa position. On le nomme ordinairement tour ou treuil lorsque l'axe du cylindre est horizontal, et cabestan lorsque l'axe est vertical et qu'oa se sert de barres pour y appliquer la puissance. Mais quels que soient l'objet et la position de L cette machine, et de quelque manière qu'oa

DE STATIQUE. a63

lui commuDique le mouvement, les conditions de l'équilibre y sont toujours les mêmes. Ainsi nous la consiilérerons , pour plus de simplicité, sous le premier aspect. Nous supposei-ons que l'axe AB du cylindre soit horizontal , et par conséquent , le plan de la roue vertical; que la puissance P agisse suivant une direction tangente en un point donné C à la circonférence de la roue, et que la résistance Q agisse dans un plan parallèle à celui de la roue, suivant une direction verticale tangente à la surface du cylindre, ou plutôt à la circonférence de la section circulaire DIO faîte dans ce cylindre au point D de contact.

Il s'agit de déterminer d'abord le rapport de la puissance à la résistance dans le cas de l'équilibre, et en second lieu les pressions qu'éprouvent les appuis F et H qui soutiennent les tourillons.

Soit B le centre de la roue, A celui de la section DIO. Menez les rayons CB et DA qui seront perpendiculaires aux forces respectives Pet Q.

Je transporte la foite Q parallèlement à elle-même du point D au point A. Il en naît une force Q' égale, parallèle à Q et de même sens, appliquée en A, et un couple (Q, — Q) qui a pour bras de levier le rayon DA du «"w-

sQ4 ËLCMEIÏS

lîodre. Je Irausporte de même la paîssance F de C ea B ; il ea naît une force f égale, parallèle et de même sens, appliquée en B, et un couple (P, — P) qni a ponr bras de IcTiec le rayon CB de la roue. .

Les deok forces P' et Q', étant appliquées'!

aux deux points A et B qui appartiennent à l'axe fixe du c}-liadre, sont évidemment truites par sa résistance.

Mais les deux couples (P, — P) et (Q , — doivent se faire équilibre d'eux-mêmes; car| si l'on transporte, pour plus de clarté, lecom pie (Q , — (j) daus le plan du couple (P , — T^i ce qui est permis , on voit que ces deux covi pies se composent en un seul qui ne peut ia-* mais être eu équilibre autour du centre B dtt La roue. Le couple résultant doit donc ètii nul de lui-même, et par conséquent les deaS couples contrjiires (P, — P) et (Q, — QJ doivent être équivalens. Ainsi, leurs momem PxCBet QxDA doivent être égaux, et l'on P:Q::DA:CB.

C'est-à-dire que, pour l'équilibre du toui\ il faut que la puissance soit à la résistancà comme le rayon du cylindre est au rayon la roue.

Des pressions exercées sur les appuis.

187. Les deux couples (P, — P) et (Q — Q) étant en équilibre d'eux-mêmes, il n'y a que les deux forces P' el Q' qui puissent charger l'axe fixe, et par conséquent les appuis: d'où l'on voit d'abord que la pression exercée par les forces P e/ Q appliquées au treuil est absolioment la même (jue si ces forces étaient transportées sur l'axe, parallèlement à elles-mêmes , dans leurs plans perpendiculaires à cet axe.

Pour obtenir les pressions individuelles des appuis F et H, on décomposera la Ibrce Q' en deux autres parallèles q et q' , appliquées aux points respectifs F et H; el de même la force P' en deux autres parallèles petp', appliquées aux mêmes points. La résultante des deux forces p etq exprimera en grandeur et en direction la pression de l'appui F, et la résultante des deux forces/)' et q' celle de l'appui H.

Nous avons fait abstraction de la pesanteur du trenii. Oi"dinai rement le corps de cette macbine est symétrique par rapport à l'axe fixe, et son centre de gravité tombe sur l'un des points de l'axe lui-même. Alors le poids du treuil ne trouble point la proportion établie ci-dessus entre la puissance et la résistance , mais il change

■^06 ËLËMEHS

les pressions exercées sur les appuis. Pour con- Daitre les valeurs réelles de ces pressions, on considérera tout le poids du treuil comme une force verticale V applîque'e en son centre de gravité G; et si l'on décompose cette force en deux autres parallèles g el g' , appliquées am points F et H, la résultante des trois forces p, ç et g- exprimera la charge réelle de l'appui F, et la résultante des trois forces p', <f' et g' , celle de l'appui H ; de sorte que l'on saura de quelles résistances les deux points d'appui doivent être au moins capables, pour n'être pas entraînés par les efforts combîaés des deux forces P et Q, et du poids V de la machine.

i88. On a supposé que les cordes DQ, CP étaient infiniment déliées; mais les cordes soat ordinairementd'undiamèlrefini, ce qui change sensiblement le rapport que nous avons établi entre la puissance et la résistance. En effet , les forces P et Q , que l'on peut regarder comme agissant suivant les axes des cordons, ont leurs bras de levier respectifs augmentés des demidiamètres de ces cordons. On n'a donc pas alors : la puissance est à la résistance comme le ra^on du cylindre est au rajon de la roue ; mais bien , la puissance F est à la résistance Q comme le rajon du cjrllndre augmenté du rayon

de la corde DQ , est au rajon de la roue augmenté du rayon de la corde CP.

Si les rayons des cordes DQ et CP sont proportionnels aux rayons du cylindre et de la roue, cette proportion revient à la première, comme si les cordes éfaient des fils infiuïment petits , appliqués tangentîellement à la roue et au cylindre.

189, Si l'on veut considérer actuellement un tour sollicité par tant de forces que l'on voudra, situées dans des plans perpendiculaires à l'axe , on verra , comme ci-dessus , qu'en transformant chaque force en une autre égale, parallèle et de même sens, appliquée sur l'axe, et en un couple qui aura pour bras de levier la distance de la force à l'axe, toutes les forces transportées sur l'axe seront toujours détruites par sa résistance, mais que tous les couples devront se réduire à un couple nul de lui-même pour l'équilibre. Or , tous ces couples étant dans des pians parallèles, le couple résultant sera égal à leur somme, et par conséquent il faudra, pour l'équilibre, que la somme des momens des forces par rapport à l'axe soît égale à zéro, en prenant avec des signes contraires les momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraires.

ident à j

5i66 ÉLÊMENS

Pour les pressions exercées sur l'axe fixe, elles seront évidemment les mêmes quesiloates les forces appliquées s'y étaient traosportées parallèlement à elles-mêmes, sans sortir de leurs plans perpendiculaires à cette ligne.

Lorsque les forces appliquées au treuil sont dirigées dans des plans quelconques, on peut décomposer cLacune d'elles en deux autres; l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la direction de l'axe fixe. Mais les forces parallèles étant transportées dans l'axe, leur résultante est détruite par la résistance longitudinale dé cet axe , et leur couj)le résultant , qui passe pa^ le même axe, est détruit par sa résistance trans-' rersale. Il ne reste donc à considérer, pouf l'équilibre du treuil, que le groupe des forces qui sontsituées dans des plans perpendiculaire* à l'axe fixej ce qui revient au cas précédent!

Ainsi, en nommant P, P', P", etc., les force* appliquées; a, iù\ a>" , etc., leurs inclinaisons sur l'axe, etp, p', p" , etc., leurs plus courtes distances à cette droite , on aura , pour l'équilibre, l'équation

P^sin w-|-P'/)'sin &>'-f-P"/)''sin ûi"

ce qui est la condition exprimée au n" isi

Quant à l'axe du treuil , il sera pressé , les composantes Psin ce, P'sin6i>',P"siafi>'

DE STATIQUE. 26g

transportées sur cet axe; 2". par la résultante des fortes parallèles P ces m , P* cos «', P" cos (^' , etc. , qui tend à entrainer le treuil dans le sens de sa longueur^ et 5". enfin, par le couple résultant de ces dernières composantes, ce qui revient à deux forces égales perpendiculaires à l'axe, et qui le poussent en sens contraires.

DU PLAiN ISCLINB.

igo. Lorsqu'un point est pressé contre un plan inébranlable et inflexible, par une force normale a ce plao , il est clair que ce point doit rester en équilibre; car il n'y a pas de raison pour qu'il se meuve dans le plan , d'un côté plutôt que de l'autre, puisque toutes les directions qu'il pourrait prendre font un même angle droit avec la direction de la force; et d'ailleurs il ne peut se mouvoir à travers le plan qui est supposé parfaitement inflexible.

Réciproquement, le point dont il s'agit ne pourra être en équilibre, à moins que la force qui le presse ne soit normale au plan d'appui ; car, si elle y était inclinée, cette force pourrait se décomposer en deux autres, l'une perpendiculaire au plan et l'autre située dans ce plan. La première serait détruite ; mais la seconde obtiendrait son effet, car il est visible

a^o ÉLËMEflS

qu'elle ne pourrait élre altérée parla présence du plan le long duquel elle tend à s'exercer. Ainsi il n'y aurait pas équilibre.

. On peut dire la même chose d'un point qui s'appuie sur une surface courbe, et le considérer comme s'il reposait sur le plan tangent mené à la surface par ce point même. Il laut donc, pour l'équilibre, que la direction de U force qui le presse soit normale à ce plan , au point de contact; et voilà pourquoi dans l'équi* libre du levier qui ne fait que poser sur l'appui , il faut non-seulement que la résultanle des forces y passe, mais encore qu'elle soit perpendiculaire à l'élément de contact du levier et de cet appui.

191. Oa voit donc, d'après ce que l'on vieBl; de dire, que lorsqu'un corps est tenu en éq^* libre contre un plan inébranlable, ce plan peut détruire que des forces dont les direction! lui sont normales aux différens points de contact, et que par conséquent sa résistance peut faire naître que de telles forces en s contraires.

Donc, si uncorps de figure quelconque , sdb licite par des forces quelconques P , Q , R %. (fig- 59), ne s'appuie contre un plan que un seul point 0, il ue pourra demeurer

ilan que pif smeurer «n

équilibre, à moins que toutes les forces P, Q, R, etc. , qui lui sont appliquées, ne soient en équilibre avec une force unique N, qui serait normale à ce plan au point 0, et qui représenterait sa résistance actuelle. Donc, pour Véquilibre (Tim corps qui s'appuie par un seul point contre unplan, ilj'aut, \°. que toutes les forces appliquées aient une résultante unique ; 3°. que la direction de cette résultante soit normale au plan; 3'. qu'elle passe au point de - contact.

On voit que ces trois conditions reviennent à celles qu'on a données plus haut pour l'équilibre du levier qui ne fait que poser sur l'appui. Nous aurions pu les trouver par le même raisonnement et les exprimer de la même manière, en disant que tontes les forces appliquées, étant transportées parallèlement à elle&mènies au point de contact, doivent y donner une résultante normale au plan , et que tous les couples engendrés doivent donner un conpie résultant nul de lui-même.

iga. Lorsque le corps touche le plan par plusieurs points A, B, C, D, etc. (fig. 60), cha- fi cun des points de contact fait naître une résistance normale au plan en ce point; mais toutes ces re'sistances , étant parallèles et de même

372 ELÉMEHS

sens, se composent loujours en une seule dont la direction tombe nécessairement dans l'intérieur du polygone formé par tous lesaiypuis A, B, C, D, etc. Les forces appliquées di vent donc être en équilibre avec cette force unique, et par conséquent, lorsqu'un corpi ■s'appuie contre un plan par plusieurs points, U faut, pou: l'équilibre^ que les forces appliquée» puissentse réduire à une seule, normale au plan, et dont la direction tombe dans l'intérieur du polygone formé par tous les points de contacti On voit par là que si le corps repose par une surface finie, la résultante doit rencontrer le plan eu l'un quelconque des points de cette surface.

De la pression exercée sur le plan.

iqS. IiOrsque le corps ne repose que par seul point, il est clair, d'après ce que nooS venons de dire , que la pression exercée par les forces est égale à leur résultante.

Si le corps repose par deux points A et B I- (fig. 61), la résultante N dont la directioa tombe nécessairement entre A et B, sur la droite quii Joint ces deux points d'appui, se dé* compose en deux forces parallèles^ et q, qot expriment leurs pressions respectives.

I Soit le point ou la résultante N va ren-*'

contrer la ligne AB; on aura poui' ta pression p du point A , N : p : : AB ; BO ; et pour la pressiou q du point B, I\:ç::AB:AOj d'où l'on voit que la résultante ou la pression totale N étant représentée par la distance AB des deux appuis, les deux pressions individuelles de ces points sont représentées réciproquement par leurs distances à la pression totale.

Si le corps repose par trois points A, B, C (Gg. 63) , la résultante N des forces appliquées ^'%- ^■ doit passer en quelque point O dans l'intérieur du triangle ABC (192). Si de l'un des angles, de l'angle A, par exemple, on mène la ligne AO, et qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en I avec le côlé opposé BC , la force N se décomposera en deux autres parallèles p et n appliquées aux points A et I. Ensuite, la force n se décomposera en deux autres parallèles ç et r appliquées en B et C; de sorte que les trois forces^, q, rexprimeront les pressions respectives des trois appuis, A, B, C.

Formons autour du point 0, comme sommet, et sur les trois côtés respectifs BC, AC, AB comme bases, les trois triangles BOC, AOC, AOB. Si l'on représente la pression totale exercée en O par l'aire du triangle ABC, les pressions exercées aux trois angles A, B, C seront représentées par les aires respectives des

S74 iJ.LJU>â

iriingles BOC , AOC . AOB foRDës sor les côlB

opposés.

Car U force >', appliquée en O, cstàUfans p, applîqoée en A , comme AI est à 01 : tam les irûftgles BAC, BOC, avant même BC, soat entre eux comme lems kxntenrSf M comme les lignes Al et 01 égalcineni iadi sur la hase; oa a dooc N :^ :: ABC : BOC Haïs no même raisonnemenl pcxwTerait qa'w a N : ç ;: ABC : AOC; et \ : r :: ABC : AO»j