Q :P ;: BC: AC

c'esl-à-dire que , si la puissance est horizontale f elle est a i poids du corps (qu'elle tient eu équilibre sur h plan incliné, comme la hauteur du plan est à sa base.

2o3. Le cas où la puissance est la plus grande à l'égard du poids, est le cas où l'angle QFN devient nul. La puissance Q est aloi-s perpendiculaire au plan incliné, et la proportion Q : P ;: siuBAC : sin QFIM donne pour sa va-

, ^ PxsbBAC leur, y= =Qo .

D n'y a donc pas, à proprement parler, de maximum pour la puissance; mais ce résultai nous apprend qu'aucune force, quelq

e résultai 1

ue grande I

qu'elle Suit, ne peut empêcher un corps pe^ sant de glisser le long d'un plan incliné, en lepres.sant perpendiculairement contre ce plan. Si nous voyons tous les jours arriver le contraire, c'est que les surfaces des corps, même les mieux polis , sont hérissées d'une infinité d'espérités qui s'engagent entre elles dans le contact de ces surfaces, et les empêchent de glisser librement les unes sur les autres. Or, nous avons fait abstraction de cette propriété des Corps, et de la résistance particulière qw en résulte, et que l'on nomme la ^rce du frottement.

204. Lorsqu'un corps pesant s'appuie à h fois sur plusieurs plans inclinés, en considérant son poids comme une force verticale qui passtf par son centre de gravité, on trouvera les conditions de l'équilibre d'après ce qui a été .ditCigS) , et les pressions respectives que souffrent les points de contact, lorsque ces pressions seront déterminées.

Si nous considérons simplement le cas où \e i. corps est soutenu aux deux points letO (fig. 68)| pardeux plans inclinés Hï, HO, il faudra(ii que les deux normales lA , OA, à ces plans «. aillent concourir en un même point A de ht verticale GP qui passe au -centre de gravité G

du corps, et qui représente la direction de son poids. De plus, comme le poids P de ce corps doit pouvoir se décomposer suivant ces normales, il faudra qu'elles soient toutes deux dans un même plan avec la direclion GP, et par conséquent, dans un plan vertical.

Ces conditions suffisent pour l'équilibre, et si l'on prend, sur la direction du poids, une partie quelconque AD , qui représente sa quantité, et qu'on achève sur AD comme diagonale, et suivant les directions AI et AO, !e parallélogramme ABCD, la force P se décomposera en deux autres, représentées par les côtés AB et AC de ce parallélogramme.

Ces deux forces seront respectivement détruites par les deux plans mclmés, et donneront en même temps les valeurs de leurs pressions individuelles.

Observons que le plan des deux normales lA, OA, étant à la fois perpendicnlaire aux deux plans inclinés, est perpendiculaire à leur commune intersection; mais ce plan est en même temps vertical, puisqu'il passe par la verticale GP; donc la commune intersection des deux plans inclinés doit être perpendiculaire à un plan vertical; donc elle est horizontale. Ainsi un corps pesant ne peut rester en équilibre entre deux plans inclinés.

b86 ÉI.ÉMKNS

à moins que leur intersection ne soit faori'

zoQtale, i:e qui paraissait d'ailleurs assez évl-

dent.

^H De la vis.

2o5. La vis est une machine qui se rapporte à la fois au levier et au plan incliné. On y considère en général l'équilibre d'un corps qui se trouve en même temps assujetti à tourner autour d'un axe fixe, et à descendre uniformément le long de cet axe, en s'ap* puyant sur une surface inclinée.

Mais pour expliquer cbircment la construction de cette machine, considérons d'abord nn Fig. 69. c^-lindre droit ABCD (fig. 69} que l'on développe sur un plan. Le développement est un rectangle BEMC dont la bnse BE est égale en lonj^ueiir à la circonférence du cylindre, et peut s'exprimer par aiîsrn, en nommant rie rayon du cylindre, et iw le rapport de la circonférence au diamètre.

Divisons le côté BC en parties égales BA, RQ, QP, etc.; et, après avoir pris sur EM la partie EG=:BR, menons BG, et les parallèles RH,QK,etc.

Si l'on replie le rectangle BEMC sur le cylindre, la suite des droites BG, RH , etc., tracera sur sa surface une courbe continue que

DE SI ATIQUE. 28-

l'on nomme hélice, la pi-emière droile BG, formant une portion de l'hélice, qui commencera en B, et ahontira en B, où elle sera continuée par la seconde droite RH, et ainsi de suite. Chacune de ces portions de l'hélice, dont les deux extrémités viennent aboutir sur la même génératnce, et qui fait ainsi le tour entier du cylindre, se nomme spire; et l'intervalle compris entre deux spires consécutives , mesuré le long de la généralrlce , et qui est partout le même , se nomme le pas de l'hélice.

Puisque , dans le développement duc^'lindrc, l'hélice est une suite de lignes droites parallèles, il est clair que la propriété caractéris ■ tique de l'hélice est d'être partout également inclinée aux dïvei-ses génératrices qu'elle va rencontrer sur la surface cylindrique. Lorsque le cylindre est vertical, elle est donc partout également inclinée à l'horizon, et uq point a, qui repose sur cette hélice, et qui peut être regardé comme situé sur la tangente en ce point, est dans le même cas que s'il reposait en a' sur un plan incliné QHK, dont la base est QH ^ :iiffr^ et dont la hauteur HK est égale au pas de l'hélice , et sera désignée sim plenient par h.

ao6. Si l'on suppose donc que le point a soit preBsésiirrhélïcepaiMiiie force verticaleyi, et soit retenu en même temps par une force horizontaley, qui, appliquée tangentiellemenl au cylindre, empèclie ce point de glisser sur l'hélice, on aura (302)

/:;,:: HK:QH, OU J : p :i h '. i<arr.

Menons parle pointa l'hanzontale oo, qui rencontre en o l'axe FI du cylindre, que je suppose fixe. Prolongeons indéfiniment cette droite, et considérons-la comme un levier iaflexible, mobile autour du point fixe o.

Au lieu d'appliquer immédiatement an point a une force horizontale/, pour retenir ce poiot sur l'hélice, on pourrait appliquer une autre force parallèle q en un point quelconque du levier io; et cette forceç ferait sentir au pointa la même impression que la force/, si elle était à celle-ci dans la raison réciproque des deux hras de levier ho et ao, c'est-à-dire (en faisant ho^=-^j et observant que ao est le rayonr du cylindre) , si l'on avait

mais on a trouvé ci-dessus

J : p i: h : aiar.

DE STATIQUE. 28g

Donc, en multipliant par ordre, on aura

q '. p :: h: a-wR; c'est-à-dire que la puissance horizontale q sera à la force verticale p qui presse le point a sur l'hélice, comme le pas de l'hélice est à la circonférence qui tend à décrire la puissance q autour de l'axe du cylindre.

Observons que le rayon r du cylindre, ou la distance de l'hélice à l'axe, n'entre plus dans celte proportion. Ainsi, l'on aura toujours le même rapport entre la puissance (/ et la force ^, quel que soit le cylindre sur lequel l'hélice esl tracée , pourvu que le pas de cette hélice soit le même.

On ne doit pas perdre de vue d'ailleurs que l'on n'a supposé le cylindre vertical que pour mieux fixer les idées et simplifier le discours ; mais que tout ce qu'on a dit de la force verticale p et de ta puissance horizontale q, doit s'entendre en général d'une force parallèle à l'axe du cylindre, et d'une puissance qui agirait dans un plan perpendiculaire au même axe, à la distance R de cette ligne.

207. Actuellement il n'est pas difficile de définir la vis et de trouver les conditions de son équilibre.

La vis est un cylindre droit revêtu '9

d'un M

ago ÉLÉMENS

fiktsaillaot engendré par le plan d'un triangle, ou d'un parallélogramme, ou d'une figure quelconque qui, s'appuyant par sa base suc une génératrice , tourne autour de l'axe du cylindre, en descendant le long d'une hélice tracée sur sa surface. Tous les points qui composent le filet de la vis peuvent donc être regardés comme appartenant à des hélices décrites sur des cylindres de même axe, mais de rayons diffcrens. Or, toutes ces hélices ont évidemment le même pas, et c'est ce que l'on DOinme le pas de la vis.

La génération de Yécrou est la même. Concevons une pièce M, de figure quelconque, pénétrée par le cylindre : le triangle ou le parallélograrame qui produit sur le cylindre le filet de la vis, produira dans l'intérieur de cette pièce un sillon ou creux parfaitement égal au filet , et que celui-ci remplira exactement; et cette suconde pièce , qui peut être regardée comme le moule de la première , forme Vécrou de la vis.

Maintenant, si l'une de ces deux pièces est fixe, il est clair que l'autre lui est tellemeul assujettie, qu'elle n'a plus que la liberté de tourner autour de l'axe du cylindre, et de descendre en même temps sur la seconde , comme sur une surface inclinée. Il y a donc, entre

DE STATIQUE. agt

les forces qui se feraient équilibre sur la pièce mobile, des relations particuHèrea qui dépeodeul de son assujetlissemeot à la seconde'; et ce sont ces relations qui constituent les conditions de l'équilibre dans la vis.

On ne considère ordinairement que deux forces appliquées à la pièce mobile : l'une P parallèle à l'axe , et qui tend à la faire descendre en tournant autour de cet axe ; l'autre Q située dans un plan perpendiculaire à l'axe , et qui , au moyen d'un levier, tend à la faire remonter en sens contraire. Pour fixer les idées, nous supposerons ici que l'écrou soit mobile (fig. 70) Fig. 70. et que la vis soit fixe : le rapport des denx forces P et Q serait absolument le même dans le cas où, l'écrou étant fixe, la vis serait mobile.

D'abord , si l'écrou ne posait que par un seul point sur le filet de la vis, en nommant A le pas de la vis , et R ie bras de levier de la puissance ou la distance à l'axe, on aurait, d'après ce qu'on a vu ,

Q-.P-^.-a-srR.

Mais, en quelque nombre de points que l'écrou s'appuie sur le filet , on peut imaginer que la résistance P est décomptée en autant de forces parallèles p, p' , p''', etC;, qui

m auiani ■

[ui près- I

sga

sent en ces différens points, et que la puissance Q est partagée en autant de forces q , /f, q", etc., dont chacune fait équilibre en particulier à la force qui lui répond parmi les forcesp, p' , p" , etc.; et, comme on a constamment

q : p :: h: a-ar-R ,

q' ip' :: h: a-ia-R,

</''.p" :; h : 2«rR,

etc. ,

on aura

q^q'~\~q"... ouQip+p'-j-p"... ouP;: AlawRi

c'est-à-dire que, dans l'équilibre de la vis, h, puissance qui tend à faire tourner Vécrou à la résistance qui le presse dans le sens de l'axe, comme le pas de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.

Ainsi la puissance a d'autant plus d'avantage pour contre-balancer la résistance, m pour comprimer dans le sens de l'axe de la visi que cette puissance agit à une plus grande distance de l'axe, et que le pas de la vis est moindre.

Dn Coin.

aoS. Le coin est un prisme triangulaire AK

Fig. 73. (fig. 73}, que l'on introduit par l'une de sa!

arèles EF entre deux obstacles, pour exercer latéralement deux efforts qui tendeat à Ie$ écarter.

L'arèle EF, par laquelle le coin tend à s'enfoncer, se nomme le tranchant du coin; les deux faces adjacentes ADF£, BCFE, se nomment les côtés; et la face opposée ABCD, la tête.

C'est sur cette face qu'on applique le coup, au moyen d'un marteau ou d'un corps quelconque. Quelle que soit la direction du choc, on peut toujours concevoir son action comme décomposée en deux autres, Tune perpendiculaire à la tête du coin, et qui obtient tout son effet sur lui; l'autre parallèle, et qui ne lui imprime aucun mouvement, parce qu'elle ne peut tendre qu'à faire glisser le marteau sur ce coin.

Nous supposerons donc sur-le-cbarap que la puissance soit appliquée perpendiculairement à la tête du coin, et nous cbercherons simplement les efforts qui en résultent contre les deux obstacles perpendiculairement aux deux côtés. ,

Par la direction de la puissance P, et perpendiculairement aux arêtes du coin, faisons passer une section MNO (fig. 73); la ligne MN Hg. 7Î. pourra représenter la tète du coin, et les deux

lignes MO et ^0 les deux côtés. D'un point AH pris sur la direction de la puissance, abaissoni- ' deux perpendiculaiies AB, AC sur les côtés MO, NO ; prenons la partie AD qui représcnle la quantité et la direction de la puissance P, et achevons le parallélogrnmme ABCD.

La puissanceP, représeolée par AD, se décomposera en deux autres Q et R, représentées par AB et AC, et qui exprimeront les efforts exercés perpendiculairement aux côtés MpyiSO. - Onfluradoiic,P;Q:R, comme AD; AB:AC; ou j en mettant BD au lieu de AC , comme AD : AB : BD, c'est-à-dire, comn;ie les trois côtés dn triangle ABD.

Mais ce triangle est seml)IaWc an triangle MNO, parce que les côtés AD, Ali, BD soDt respectivement perpendiculaires aux trois côtés MN , MO, NO.

On aura donc

P:Q:R.::MN:MO:NOj

c'est-à-dire que, la puissance étant représentée par la tête du coin , les deux farces qui en resultent perpendiculairement aux côtés seront représentées par ces côtés eux-mêmes.

Si le triangle MîVO est isocèle, les deux 'forces Q et R sont égales, et la puissance P est à l'une d'elles comme la tète du coin est à l'un

DE STATIQUE. agS

des côtés, qu'on peut oommer dans ce cas la longueur du coin.

Oa voit, par ce que nous venons de d!re, qu'à puissances égales, l'efforl exercé par le coin est d'autant plus grand, que la tête en est plus petite par rapport à la longueur.

De quelques Machines composées.

3og. Jusqu'à présent nous n'avons considéré qu'un seul corps solide, gêné dans ses aiouveiïiens par différens obstacles; et c'est ce qui forme les diverses machines simples. Nous allons considérer actuellement un assemblage de machines simples qui réagissent les unes sur les autres en vertu de leur liaison mutuelle; et c'est ce que l'on nomme une machine composée.

Si l'on ne suppose que deux forces appliquées à la machine composée, on voit que la machine simple, qui reçoit immédiatement l'action de l'une d'elles, transmet cette action d'après les lois de son équilibre , à la machine simple avec laquelle elle est liée ; que celleci la transmet de même à la machine suivante ; et ainsi de suite , jusqu'à la dernière qui communique l'action à la seconde force, ou à là résistance qu'il faut vaincre. Ainsi il est tou-

jours facile de déterminer le rapport de la puissance à la résistance, par une suite de proportions données par les lois de l'équilibre des machines intermédiaires ; et c'est ce qu'on ya vérifier tout à l'heure sur quelques exemples très simples.

Mais nous devons feiire observer que les questions suivantes se rapportent naturel lenieat au problème le plus général de la Statique, c'est-à-dire font partie de cette théorie étendue où l'on recherche les lois de l'équilibre dans les s ystèmes dont la figure est variable suivant des conditions quelconques données. Les deuï axiomes qui servent de base à cette théorie sont:

i". Que si un système quelconque de points est en équilibre, chaque point doit être en équilibre de lui-même , tant en vertu des forces qui lui sont immédiatemeTit appliquées , qu'en vertu des résistances ou réactions qu'il éprowe de la part des autres points du système ;

2°. Que deux points ne peuvent agir ïun sur l'autre que dans la direction de la droite qui les joint, et que Vaction est toujours égal^ et contraire à la réaction.

Au moyen de ces deux axiomes et des conditions connues de l'équilibre d'un corps libre» on peut trouver les conditions de l'équilibre

d'un système qoelconque de corps, pourvu qu'on sache évaluer les résistances qui naissent de leur liaison mutuelle : car ces résistances étant une fois évaluées, il ne s'agit plus que de les combiner avec les forces donuées immédiatement par la question , et d'exprimer les conditions de l'équilibre de chaque corps, comme s'il était parlàitement libre dans l'espace.

Quoique nous ne puissions, sans passer les bornes de cet Ouvrage, traiter ici ce sujet avec toute la généralité dont il est susceptible, nous donnerons néanmoins les conditions de l'équilibre de quelques systèmes variables qu'on emploie souvent dans les arts, et que l'on a coutume de considérer dans les élémens de Statique, parce que les réactions des différens corps les uns sur les autres y sont très faciles à évaluer, et ne supposent guère que la composition des forces et les deux axiomes précédens.

Des Cordes.

aïo. Considérons premièrement un polygone funiculaire , c'est-à-dire un assemblage de points liés entre eux par des cordons parfaitement flexibles et inextensibles.

On sait d'abord que si trois forces P, Q, R

Fis- 74- (fig. 74) dirigées suivant les axes de trois corw dons AP, AQ, AR, sont en éqailîbrc autoar d'un même point A, chacune de ces força doit être égale et directement opposée à U résultante des deux autres.

I! faut donc, 1°. que les axes des trois cor» dons soient dans un même plan; a", que les rapports des forces soient tels, que cbacane d'elles puisse être représentée par le sinus de l'angle formé parles directions des deux autres. Ainsi l'on a , pour l'équilibre, cette suite de rapports :

P : Q : R :: sîn QAR : sin PAR : sin PAQ.

- ail. Si l'on suppose que les exirémilés des cordons AQ, AK, soient (ixes, les valeurs de Q et R, données par les rapports ci-dessus, expiimeront les eflbrls que supportent ces points fixes en vertu delà force P, ou les tensions des deux cordons AQ, AR.

On voit que ces tensions seront d'autant plus grandes que l'angle QAR sera plus obtus, et qu'elles deviendront infinies, si cet angle devient égal à deux angles droits.

Une corde tendue en ligne droite à deu»

points lixes sera donc nécessairement rompue

tpar la plus pelile foi-ce qui lui serait appliquée

DE STATIQUE. agg

transversalement, si cette corde, n'étant pas susceptible de s'étendre , n'a pas d'ailleurs une résistance longitudinale inlînie.

2 1 2. Les coadïtîons précédentes pour l'équilibre des trois forces P, Q, R, supposent que le poini A soit invariablement attaché à chacun des cordons, on que le nœud qui les rassemble soit fixe : mais si le point A pouvait couler le long du cordon RAQ (fig. jS), comme ferait fi un anneau infiniment petit, enfilé dans ce cordon , alors il ne suffirait plus que les forces P, Q, R eussent les relations données ci-dessus, il faudrait encore que la direction de la force P divisât en deux également l'angle formé par les deux parties de la corde QAR.

En effet, si l'on suppose que l'équilibre ait Heu, e1 qu'on fixe invariablement deux points F et F' pris où l'on voudra sur ces cordons, il est clair que le point A est dans le même cas que s'!l avait la liberté de se mouvoir dans une ellipse dont F et F' sont les deux foyers, et AF, AF', les rayons vecteurs. Or, pour qu'il soit en équilibre sur cette courbe en vertu de la force P, il faut que cette force soit perpendiculaire à la tangente à l'ellipse en ce point (igo), et par conséquent divise en deux parties égales l'angle FAF' formé parles rayons vecteurs.

3oo ÉLÉMRNS

Ainsi, darK le cas d'un noeud coulant, les deux parties de la corde le long de latjuelle le nœud peut glisser doivent être également ten-i dues.

31 5. On voit en même temps que, si l'oa suppose le point ou l'anneau A fixe, les deux forces Q et R, appliquées au cordon QAR qui passe sur cet anneau , doivent être égales entre' elles pour l'équilibre, et que la pression eser-i cée par les deux forces sur le point fixe Aest^ dirigée suivant la ligue qui divise en deux parties égales l'angle formé par les deux parties; du cordon. I

Quant au rapport de cette pression P àlj\| tension Q du cordon, on aura, en nommant* la moitié de l'angle QAR, P : Q :: sin a9[ ', sin a; ou bien, P t Q :: 2 cosœ : 1. |

D'où l'on voit que la pression exercée sur l^ point A est égale à la teusion de la corde mol' tipliée par le double cosinus de la moitié dej l'angle QAR.

ai4- Actuellement soient plusieurs poin^