X : Q :: sin QBC : sin ABC, Q : Y :: sin ABC : sin QBA
303 ËLÉHËNS
L'équilibre du point C donaera de même
Y : R :: sinRCD : sin BCD.
R : Z :: sîn BCD : sin BCR.
Od aura de même pour le point D deux proportions, etc. j et ainsi de suite, s'il y avait an plus grand nombre de points,
En multipliant par ordre uQ nombre couvenable de ces proportions, on trouvera le rapport de l'une quelconque des forces, à (elle autre foi-ce ou tensiou que l'on voudra. Si l'on multiplie les trois premières, par exemple, ou aura le rapport de N à Q. Si l'on multiplie les quatre premières, on aura celui de N à la tension Y ; etc.
ai5. Si les directions prolongées des forces P, Q, jR, S divisent en deux parties égales les angles respectifs, NAB, ABC, BCD, CDT du polygone funiculaire, les cordons AN, AB, BC, CD, DT seront tous également tendus; car ou aura, par les rapports précédeos,
De plus, en nommant la-, 2/3, 2.y , 2/ les angles du polygone, on aura, par les mêmes proportions, P ; Q : R : S :: cosa : cos^ : cosy : cosj ;
DE STATIQUE. 3o3
c'esl-à-dire que les forces appliquées aux divers angles du polygone seront proportîoniielles aux cosinus des moitiés de ces angles. Donc, si, au lieu des forces P, Q, R, S, on substitue des points fixes A , B, C, D par-dessus lesquels passe la corde NABCDT; d'abord , les deux forces N et T qui tirent les extrémités de celte corde seront égales entre elles, et la corde sera partout également tendue ; et en second lieu , la corde pressera sur chaque point en raison du cosinus de la moitié de l'angle formé en ce point; car chacun des points fixes A , B, C , D , tient lieu d'une forcée qui divise en deux également l'angle formé par les deux parties de la corde qui y passe (2 \ 3),
316. Supposons que les deux côtés contigus AB, BC soient égaux : le cosinus de la moitié de l'angle compris est marqué par le rapport de l'un des côtés au diamètre du cercle qui passerait par les trois points A, B, C. Donc, si tous les côtés du polygone funiculaire sont égaux entre eux, on peut dire que les forces P, Q, R, S sont réciproques aux diamètres de ces différens cercles dont chacun passe par trois angles consécutifs du polygone.
Or, en considérant une courbe comme nn polygone d'une infinité de côtés égaux, chacun
3o4 ËLËMENS
des cercles dont il s'agit devient, en chaque
point de la courbe, ce qu'on nomme le cercle
osculateur , c'esl-a-àire le cercle qai a la même
courljure.
Donc , lorsqu'une courbe funiculaire , rentrante sur elle-même, ou dont les deux boul^ sont fixes, est tirée en tousses points equidistans par une infinité de forces normales qui se font équilibre, la corde est partout également tendue, et chaque force normale à la courbe est réciproque au rayon de la courbure dans le point oii cette force est appliquée.
On a un exemple très simple de cet équilibre dans une corde tendue par deux forces sur le contour d'une courbe fixe {melconqucj car chaque point de la courbe fixe tient lieu d'une force qui serait dirigée suivant la normale à cette courbe. Ainsi dans l'équilibre de la corde, la tension est partout la iT)énie,el chaque point de la courbe fixe est pressé suivant la normale en raison inverse du rayon de courbure.
217. Le polygone funiculaire NABCDTélaDi eu équilibre en vertu des forces N, P, Q, R, S, T, concevops que sa figure devienne pîu^ faîtement invariable, de manière que les points A, B, C,D ne puissent plus cbanger leurs
DE STATIQUE. 3o5
distances muluelles; il est clair que l'équilibre subsistera toujours. Mais alors les forces N, P, Q , R , S , T étant en équilibre sur uu système invariable, l'une d'elles est égale et directenaent opposée à la résultante de toutes les autres ^ ainsi ces autres forces ont une résultante. Or, comme cette résultante est exactement la même qae si toutes les composantes s'étaient réunies parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de sa direction, il s'ensuit que chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite , comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces qu'on y transporterait parallèlement à elles-mêmes.
ai8. Lorsque les cordons extrêmes aN, DT sont dans un même plan , les deux forces N et Tout une résultante; et, d'après ce qu'on vient de dire, cette force doit être égale et directement opposée à la résultante V des autres forces P, Q, R , S , comme si le polygone était invariable de ligure. La résultante des forces P, Q, R, S appliquées aux angles du poljgone, doit donc passer par le point oit vont concourir les deux cordons extrêmes; et par conséquent si les deux extrémités N et T de ces cordons sont fixes, on aura sur-le-champ \es deux eftbrts que supportent ces points fixes,
3o6 ËLËMENS
ou les tensions des cordons AN, BT , un dëcomposaot, au point ^ la résultante V en deu forces IV et T dirigées suivant ces cordons.
On trouverait de même les teusions de deui cardons quelconques situés dans un même plan , en prenant la résultante des forces appliquées sur les nœuds iutemiédiaires, et h décomposant suivant ces deux cordons au point où ils concourent ; car si un pol^goat funiculaire est en équilibre, une partie quelconque de ce polygone est aussi en équilibre d'elle-même, en vertu des forces appliquées sur cette partie , et des tensions des deux derniers cordons que l'on y considère.
219, Lorsque les directions des forcesP,Q, Fig.;7. R, s, sont toutes parallèles (Hg. 77), on a toujours pour les forces et les tensions les mêmes proportions que ci-dessus (a 14); niais îl faut une condition de plus pour l'équilibre ; c'est que toutes les forces P, Q, R, S et les côtés du polygone soient dans un même plan.
Car, autour de chaque nœud , les cordons doivent être dans un même plan (210) : mais, si le cordon BQ est parallèle au cordon AP, le plan PAR des trois premiers cordons est le même que le plan ARQ des trois suivans, et ainsi de suite.
Dans cette hypothèse de puissances parallèles, comme on a
sinPAB=sinQBA, sio QBC=smRCB, etc.,
on trouvera par les proportions (314) lue les tensions successives N, X , Y, Z, T, sont réciproques aux sinus des inclinaisons des cMés sur la direction des puissances parallèles P, Q, H, S, et qu'ainsi chacune des tensions est représentée par la sécante de son inclinaison sur une perpendiculaire à ces puissances.
Cela pourrait se voir aussi, comme au n" 2 1 8, en comparant immédiatement les tensions de deux côtés quelconques, qui seront toujours ici situés dans un uièrae plan.
Mais, pouravoirdes expressions plus simples et plus commodes, regardons toutes les forces appliquées au polygone comme étant verticales, et supposons qu'un des côtés de ce polygone soit horizontal.
Si l'on voulait comparer la tension t d'un côté quelconque à la tension a do côté horizontal d'où l'on part, on imaginerait ces deux côtés prolongés jusqu'à leur rencontre, et l'on supposerait en ce point une force verticale V égale à la somme des puissances appliquées sur les nœuds intermédiaires, et qui ferait équilibre aux deux (casions a et t.
ac
3*8 ELÉMENS
On aurait donc, en nommant qt l'inclioaison de la tension t sur la tension horizontale a,
: cos ^ ,
out=^a séc 9 : d'oii l'on voit que , dans té' quilibre d'un polygone, funiculaire tiré par des puissances verticales;, la tension de chaque côté est proportionnelle à la sécante de l'an^k que fait ce côté avec l'horizon.
On aurait ensuite
ce qui doune la teaniou d'un c6té quelconque exprimée par son inclinaison sur le côté horizontal, et par la somme des puissances parallèles qui agissent entre ces deux côtés.
On aurait enfin (ce qui, d'ailleurs, est une suite des deux proportions précédentes)
y la '.'. sin^ ; cos q) ,
ou V = « tang 9; d'où l'on tire ce théorème relatif à la figure que prend le polygone en vertu des forces appliquées : la tangente de ^inclinaison de chaque côté sur l'horizon est proportionnelle à la somme des puissances verticales appliquées sur le contour, depuis le côté h plus bas Jusqu'à celui que l'on co/istdére.
De la Chaînette.
320. On peut considérer une corde pesante comme ua fil chargé d'une infinité :de petits poids distribués sur toute sa longueur, on comme un fil sollicité en tous ses points par de petites forces verticales, et par consér[uent parallèles. On voit donc que si coite corde est attachée à deux points fixes S et T (fig. t8), F elle ne peut demeurer en équilibre, à moins qu'elle ne soit tout entière dans un plan vertical. Elle forme alors un polygone funiculaire d'une infinité de cotés, ou plutôt une ligne courbe que l'on nomme la chaînette.
Pour trouver les efforts que la coi-de exerce sur les deux points S et T qui la soutiennent, on mènera à la courbe en ces points deux tangentes SOj TO, qui seront comme les prolongemens des derniers côtés du polygone funiculaire; appliquant ensuite au point une force égale à la resnltante de tontes les forces qui la sollicitent , c'est-à-dire égale au poids total de la corde , on décomposera cette force en deux autres dirigées suivant les tangentes OS, OT, et qui exprimeront les charges respectives des deux points de suspension(2i8).
On trouverait de même la tension de la
3i« ËLËMEHS
corde en un point quelconque, en imaginant que ce point est fixe , et en cherchant, comme ci-dessus, la charge qu'il éprouve par le poids du reï^te de la corde qui demeure en équilibre au-dessous.
Au reste, si l'on nomme t la tension en m point quelconque M de la chaînette, a celle quia lieu au point B le plus bas, V le poids de l'arc s compris entre ces deux points, et ç l'angle formé avec la ligne horizontale par la taugeate à l'uxtréniitc de l'arc s, on aura entre ces quatre quantités les mêmes équations qu'au n'aig.
On voit donc, par la première équaticm t=:asécip, que, daits une corde pesante en équilibre, la tension en chaque point varie comme la sécante de l'inclinaison de la courbe sur la ligne horizontale.
Par la seconde équation Y = t sÎd (p , oq voit que la tension à l'extrémité d'un arc quelr Conque de la corde est égale au poids de cet arc divisé par le sinus de l'inclinaison de lu corde en ce point.
Et l'on doit remarquer que ces équations OQt lieu, quelle que soit l'inégalité de la corde ou chaîne pesante que l'on considère.
Si la chaîne est uniforme, on peut représenter le poids V de l'arc s par la longueur de cet arc lui-même, el la troisième équatioa
DE STATIQUE. 5i i
devient s^a tang (p : équation très simple de la chaînette entre les coordonuées s et <p.
Ainsi la chaînette est une courbe telle , que la tangente de son inclinaison sur un axe horizontal augmente comme la longueur de tare à partir du point le plus bas.
Cette courbe est donc la même à gauche et à droite de l'axe vertical qui passe par le sommet B ; et , comme la parabole , elle a deux branches égales qui s'étendent à l'infini.
Il est même aisé de voir que le rayon R delà courbure y est exprimé parR=a: cos *(p, et qu'ainsi il est réciproque au carré du cosinus de l'iDcHnaison de la courbe sur son axe horizoDtal.
Car , en considérant une courbe comme un polygone d'une infinité de côtés égaux c, on a pour le rayon R du cercle décrit sur deux côtés consécutifs comme cordes , R = <: : 2 sïn e , en nommant 2s l'angle extérieur du polygone (216).
Or (p étant l'inclinaison du premier côté, et par conséquent <p-\-2ê celle du second, on a ici par les équations s^= a tangip et .f + c = n lang ( (p+ 2e), c^a (tang (jp H~ as) — tang 9) , expression qu'on peut ramener à celle-ci:
COS,*. COS C* + 2l),
,. On a. donc
d'où l'on tire, en faisant TaD^le extérieur ii égal à zéro (afin de passer du polygone à la courbe même ) ,
ce qu'il fallait démontrer.
221. Ce qu'on vient de dire d'une corde pesante, ou d'un assemblage de petits corps pesans unis ensemble par un fil inextensible, pourrait s'appliquera plusieurs globules ap' puyés les uns contre les autres , et qui se soutiendraient nmtucll'niicnt eu voûte. Ils doivent jiCFecter alors la forme d'une chaînette renversée. Car, si tous ces globules, à causede leur impénétrabilité mutuelle, sont en équilibre en vertu de leur poids, ou des forces verticales qui les sollicitent, IL est clair qu'ils demeureraient encore en équilibre si ces forees venaient toutes à agiren sens contraire, pourvu qu'alors on supposât tous ces globules liés deux à deux par un fil inextensible; mais alors ce fil formerait une chiilnette ren-
■ DE STATIQUE. 3i3
versée : donc îl a actuellement celle figure. C'esl encore la figure que prendrait une , voile verticale enflée par le vent. Car, consi- I dérez dnns celte voile une section quelconque horizontale i que nous regarderons comme un polygone d'une infinité de côtés ég.iux. Il est visihle que le nombre des molécules d'air qui viennent rencontrer un de ces côfés, est proportionnel , non pas à la longueur c de ce côté , mais à sa projection c. cos ^ sur une perpendicolaireà la direction du vent. Ainsi , la force qui vient surchaqnc élément de la courbe s est proportionnelle au cosinus de son inclinaison (P à la perpendiculaire dont il s'agit. Mais cette force n'agit pas tout entière sur la voile: car, à la rencontre du côté c, la vitesse v de chaque molécule d'air se décompose en deux : l'une v sin (p parallèle à c , et qui ne tend qu'à faire glisser cette molécule sur la voile sans y produire aucun effet ; l'autre v cos <p perpendiculaire au côté c, et qui seule agit pour tendre cette voile. La force normale qui presse chaque élément de la courbe s est donc proportionnelle à cos'ip.
Mais une courbe étant tenue en équilibre par des forces normales appliquées en tous SCS points équidistans, chacune d'elles (316J est réciproque au rayon de la roni-bure
DE STATIQUE. 3i5
poulie est eu e'quïlibre d'elle-même, en verlu des forces ou des tensions qui agissent sur elle.
Ainsi, nommant r, /, r" les rayons respectifs des poulies; c, c', e", les sous-tendantes des arcs embrassés par les cordons j X la tension du premier cordon; Y celle du suivant; on aura pour l'équilibre delà poulie A (i85),
On aura de même pour l'équilibre de la poulie A',
Y : X :: 7^ : c'; et pour la troisième À",
Q : Y :; 7^' : c" ; êl multipliant par ordre, il viendra Q:P :: n^t" : cc'c",
c'est-à-dire, la puissance esta la résistance comme le produit des rayons des poulies est au produit des sous-tendantes des arcs embrasses par les cordons.
223. Si tous les cordons deviennent parallèles (fig, 8o), les sous-Iendantes c, c' , c",de- f'G- i viennent égales aux diamètres ar, sr', ar", et l'on a, en divisant les deux termes du dernier rapport par le produit rr'r",
Q : P :: i : a.a.a, c'est-à-dire qu'en général la puissance est au poids comme l'unité est au nombre 3 élevé à une puissance marquée par le nombre des poulies.
C'est le cas ie plus favorable à la pnissaDce; car le produit des sous- tendantes c, e' , (/est le plus gTiind possible, lorsqu'elles sont égales aux diamètres.
Si, dans chaque poulie, l'arc embrassé par la corde était le tiers de la demi-circonférence, les sous-tendantcs de ces arcs seraient égales aux rayons respectifs des poulies, et la puissance serait égale au poids.
924. Une moi^e es! un système de poulies assemblées dans une même chape , ou sur des 1, axes particuliers (Bg. 81 et 83) ou sur le même ■ axe(fîg. 85;,
Considérons deux moufles, l'une fixe et l'autre mobile , et supposons que foutes lei poulies soient embrassées par une même corde attachée par une extrémité à la chape de l'une des moufles , et tirée à l'autre exlréniité par une puissance Q, qui fait équilibre à un poids P suspendu à \,\ ninufle mobile.
Si l'on suppose, ce qui a presque touiouiS lieu d'une manière sensible, que les diverses
parties de la corde soient parallèles, il est visible qu'on aura, Ut puissance Q est à la résistance P, comme l'unité est au nombre des cordons qui soutiennent la moufle mobile,- car toutes les poulies étant embrassées par la même corde, et devant être en équilibre, cliaciine en particulier, les cordons sont également tendus. On peutdonc considérer le poids P comme soutenu par autant de forces égales et parallèles qu'il j a de cordons qui vont directement d'une moufle à l'autre, et par conséquent l<i tension de l'un de ces cordons, ou - la puissance Q est au poids P , comme l'unité est au nombre de ces cordons.
Ainsi dans le cas de la figure 81 , la puissauce est le sixième de la résistance; et dans le cas de la figure 82, elle n'en est que le cinquième, parce qu'il y a un cordon de moins pour soutenir la moufle mobile.
3 25. Considérons enfin un système de tours, A, A', A" qui réagissent les uns sur les autres, comme on le voit dans la figure 84. Soient r, r', t" les rayons respectifs de leurs cylindres ; H., R', R" ceux de leurs roues. La corde appliquée taogentiellement au premier cylindre porte un poids P, et la corde appliquée à roue, au lieu d'être tirée immédiatement p
3i8 ËLËHENS
une paissaoce, est attachée aa cj^Uadre da second tour A'. La roue de celnî-ci est de même tirée par nue corde qui passe sur k cylindre da troisième tour A" et ainsi de suite JQsqn'aa dernier, dont la roue est tirée par II puissance Q.
Si le système est en équilibre , chaque tou est en équilibre de lai-même en vertu dtf tenions des cordons qui sollicitent le cytiodn et la rone. Ainsi, en nommant X la tensiW' du cordon qui va du premier toor au second, ou aura (t86)
en nommant Y celle da cordon suîvsnf, on aura
Y:X :: r" :R', et de même pour le dernier tour,
Q : Y :: /' : R'; el multipliant par ordre,
Q: P:: r//':RR'R',
c'est-à-dire, la puissance est à la résistance \ comme le produit des rayons des cylindres ut | au produit des rajotis des roues.
DE STATfQUE. 3i()
Des Roues dentées.
226. Si l'on rapproche tous ces tours, de manière que la roue du premier devienne tangente au cylindre du second , et que la roue de celui-ci soit tangente au cyliodre du troisième, et ainsi de suite; et si l'on suppose que chaque roue s'engage au cylindre contîgu, de telle sorte qu'elle ne puisse tourner sans faire tourner ce cylindre, et réciproquement, on pourra supprimer les cordes qui lient tous ces tours, et l'on aura toujours le même rapport que ci-dessus entre la puissance et la résistance.
Pour engager solidement chaque roue avec le cylindre du tour suivant (Hg, 85), on pra- Fii;. 85. tique à leurs circonférences des dents également espacées, qui engrènent les unes daos les autres, de manière que chaque roue, qu'on nomme alors roue dentée , ne peut tourner sur son axe, sans que le cylindre, qu'on nomme alors pignon, ne tourne en même temps sur le sien.
On a donc, pour l'équilibre de deux forces qui réagissent l'une sur l'autre au moyen des roues dentées: la puissance est à la résistance comme le produit des rajons des pignons est au produit des rajons des roues.
Du Cric.
337. On considère, dans le cr/c simple, un pignon que l'on fait tourner sur son axe an Fig. 86. moyen d'une manivelle (fîg. 86 } ; ce pignoQ engrène avec une barre inflexible dentée, de manière qu'en tournant sur son axe, il oWîge la barre à se mouvoir dans le sens de sa lon-
■gueur. En supposant donc une résistance qui s'oppose directement au mouvement de cette barre, résistance que l'on peut considérer comme une force perpendiculaire à l'extreraité du rayon du pignon, il est visible que Ton aut'a : la puissance appliquée à la mam-
' veUe est à la résistance, dans le sens de la barre , comme le rayon du pignon est au rayon de la manivelle.
D'où l'on voit que l'effort exercé par le cric sera d'autant plus considérable que le rayon du pignon sera plus petit par rapport à celui ^e la manivelle.
Lorsqu'on veut augmenter encore la foret du cric, sans augmenter le bras du levier dt; la rpanivelle et sans diminuer le rayon du pignon, au lieu de faire agir immédiatemenl
. ce pignon sur la barre dentée, on le fait agir
Waxir une roue dentée intermédiaire , et c'est le
DE STATIQUE. 3ai
ptgDon de celte roue qtii engrène avec la barre. Alors on a pour l'équilibre: la puissance appliquée à la manivelle est à la résistance, dans le sens de la barre, comme le produit des ra/ons des deux pignons est au produit du rayon de la loue par le rayon de la manivelle.
De la P^is sansjin.
258. On peut encore considérer une vis mobile autour de son axe, cl dotit le fîletmèneles dents successives d'une rûue à laquelle il se présente toujours d'une manière uniforme; et c'est ce qui compose la vis, sans fin.
Par l'équilibre de la vis, on voit (Hg, 87 ) que la puissance Q, appliquée à la maDiveile dont le rajou est R , est à l'efiForty, a,vçc lequel le filet presse la dent de la roue , comme le pas h de la vis est à la circonférence 2'SrR, quetendà décrîrela puissance; et Von 3:. <
Q;/:: ft-'a^a^R. ''
Actuellement si celte roue dentée/ d't(ii rayon A, fait tourner un cylindre de mèn^e axe, et monter un poids P, suspendu ay IjOyl d'une corde qui s'enroule sur ce cylindre, fln aura par l'équilibre du treuil, en nommant a le rayon du cylindre ,
Lbranche OA autour du point
linsi le point O de l'axe fixe
. genou tend à s'ouvrir, et le
i s'éloigner de A en glissant
lure AC. Donc, si l'on applique
ibrce convenable en sens contraire,
►" . équilibre à ia puissance; et c'est dans
jjport de ces deux forces que consiste la de cette macbine, qui dépend, comme on oit, de la théorie du levier et du plan incliné. Au lieu d'appliquer immédiatement la puis- ^ sance P à la branche OA, on l'applique ordinairement à une barre mn solidement liée avec elle; et c'est à l'aide de cette barre mn, qu'on agit sur le genou, pour exercer en B, le long de la rainure j l'effort Q ou la pression qu'on veut produire.
Supposons donc que la puissance F agisse au point n, perpendiculairement à la distance An, ce qui est la position la plus favorable à l'action de cette puissance; et réduisons toute la figure aux lignes droites OA , OB, AC , An, qui sont toutes dans un même plan avec les directions des forces appliquées.
Si l'on considère d'abord cette puissance P qui tend à faire tourner le levier AO autour du point A , et qu'on cherche avec quelle force X elle pousse le point 0> et par conséc
9a4 ËLËMEIfS
!• point B , dans le sens OB , on verra , par la loi du levier , que ces deux forces P et X sont entre elles comme leurs bras de levier S.h et A/i , de sorte qu'on aura P : X : : AA : An ; on si l'on fait, pour abréger, le bras An = r, le cttlé A0=«', et par conséquent AA=: a sinO; en désignant par l'angle du genou, on aura plus simplement
P:X ::asinO:r.
Actuellement, cette force X qui pousse B vers le plan incliné AC, est à la force Q, qui retient ce poiut le long du même plan, comme le rayon est au cosinus de l'inclinaison OBA; de sorte qu'en nommant B cet angle , on a
