X:Q::i:cosB

jOS qui redonne, en multipliant par ordre, la .même proportion trouvée ci-dessus, d'où l'on tire

■pour l'expression de l'elTorl Q exercé par liu puissance.

Remarque i

a5i. A mesure que l'angle B diminue, l'angle Ô du genou augmente; le facteur cos B '■■ '' donc sans cesse vers l'unité , et le facteoi

326 ËLËMENS

diminue vers zéro , de manière qu'ils peuvent approcher de ces limites d'aussi près qu'on voudra. Or , la résistance Q étant proportionnelle à cosB et réciproque à siaO, on voit par cette double ratsOD , que la force Q augmente à mesure que les deux côtés du geuOB s'approchent d'être en ligne droite, et qu'à celle limite, elle serait inlînie : ce qui veut dire qu'elle augmente sans bornes, et qu'ainsi la pression exercée par le genou , dans le sens de la rainure , peut devenir plus grande que toute pression donnée.

On voit encore que la puissance a d'autant plus d'avantage , que le côté ÂO = a est plus court, et que le bras de levier An=ir est plus considérable. Par cette dernière raison , il y aura de l'avantage , pOur une même longueur de la barre mn , à implanter cette barre sur le côté le plus près qu'on pourra de l'angle du genou. Si la puissance P, au lieu d'agir perpendiculairement sur la ligne An, agissait sous on autre angle quelconque dans le même plan , il faudrait prendre, pour le bras de levier r, la distance de cetle force au point fixe.

S'il y avait plusieurs forces pour faire tourner le levier AO, il faudrait mettre dans l'équation ente, au lieu du moment Pr, la somme î raomens de toutes ces forces.

Du Genou isocèle.

252. Supposons qne le triangle AOB soit isocèle, et qu'ainsi les angles À et B soient égaux j l'angle devient le supplément de aB, et l'on a siq = 2 sin B ces B. La proportion donnée plus haut pour l'équilibre devient donc

P:Q :; aasinBtr, ou bien, si l'on aime mieux inti-oduire dans la proportion l'angle des deiix côtés du geQou> comme l'angle B est complément de ~ , on aura sin B = cos — , ou simplement sin B = cos <p ^ eu faisant, pour simplifier, - = <p, et la proportion sera

P : Q :: zacosç '.r,

ce qui donne une expression très simple de la loi de l'équilibre.

Mais on peut encore , au lieu des sinus ou cosinus, n'employer que des lignes tirées de la construction de la machine ; car il est évident que le terme aasin B, ou 2a cos <p, vaut deux fois la flèche 01=/ d'un arc de cercle qui serait conduit par AOB ; donc, si l'on voulait nommer simplement cette ligne 01 \& flèche du genou, la loi de l'équilibre pourrait s'en' de la manière suivante :

SbS.' élëmens

Dans Féquiïihre du genou dont les côtéi sont égaux , la puissance qui tend à J'aire tourner le premier côté autour de son extrémité fixe, est à la résistance que F extrémité mobile du second côté éprouve dans le sens de la rainure ^ comme le double de lafièchedugenouest au bras du levier par lequel agit la puissance.

233. J'ai fait abstraction du poids des partics de la machine, mais ilest bien aisé d'y avoir égard. El d'abord , l'axe ou la rainure AC élant supposée (ixe , son poid^ G ue change en rien la proportioo trouvée pour l'équilibre; il ne fait qu'ajouter à la pi-ession de cette barre sur ses appuis. Mais le poids de la première branche AO, que je représeutc par 20 , favorise l'action de la puissance ; et si l'on suppose , par exemple^ que l'axe AC soit vertical, et la branche AO d'une grosseur uniforme, de manière que son centre de gravité tombe au milieu de AO, il est évident que le poids 2^ ajoute au moment Yr de la puissance , le moment pf. Enân le poids 2p de la seconde branche BO, que jfi' suppose égal et appliqué de même au milieu de BO, peut se décomposer en deux force»

égales, l'une/» appliquée en 0, l'autre ^ ap-, plîquée en B en sens opposé de Q. Or la première foi-ce /) à la distance y du point fixe, ajoule encore au moment de la puissance le:

momeut pf, et la secoude appliquée en B, diminue la force Q de ^.

Aiosi l'équation de l'équilibre, qui était

P.r=Q.=/, devient, quand on a égard au poids de la ma^ chine,

ce qui donne

d'où l'on voit que le poids de la machine , dans la situation que je lui ai donnée, augmente l'effort Q d'une quantité 2p égale à la moitié du poids des deux branches mobiles du genou,

Des pressions exercées sur les appuis.

234- Quant aux pressions que souiFre l'axe fixe AC, tant en vertu des forces appliquées que du poids de la machine, voici comment on peut les calculer.

Premièrement , cet axe est pressé au point B par une force perpendiculaire V, résultante de X et de Q — p, et dont la valeur est exprimée par(Q — p)col p.

En second lieu, le point fixe A est pressé pa le poids G de la barre AC et par la n' de toutes les forces qui agissent sur la AO, et qu'on transporterait parallèleme

pressé par ^^^^M résultante ^^^^^| la brar ^^^^^H

33o ËLÉMENS

elles-mêmes au point A. Or, qu'on décompose d'abord chacune de ces pressions en deux autres, l'une dîrige'e dans l'axe AC, l'autre perpendiculaire au ménie axe, ou aura, pour les deux composantes de P , P cos s» et P sin a, cù étant rinclioaison de P sur AC ; pour les deux composantes de X , on aura (Q — p) et V ; enfin pour les deux poids 2p et p transportés en A, on aura la force "Sp dirigée suivant l'axe AC. Donc , en réduisant, le point A souffrira, dans le sens de l'axe AC, une pression a égale à, G-|-Pcos6) — Q-J-4p; et dans une direction perpendiculaire , une pression /3 égale i Psin!iiH-(Q — p) cot <p. De sorte que la pression totale du point fixe sera exprimée en grandeur par V'a-'-+-iS', et sera inclinée sur l'axe AC d'un angle dont la tangente sera -.

Ainsi l'on saura avec quelle force l'axe dn genou doit être retenu et en A et en B , pour n'être pas entrainé par l'action combinée des forces appliquées et du poids de la machine.

a55. J'ai cru devoir expliquer cette tnachinfi nouvelle avec assez de détail, parce qu'elle mV paru ingénieuse, et qu'elle n'est encore démontrée nulle part. Elle est à peu près du même genre que la vis, mais dune construction beau- Dup plus simple : on peut s'en servir de U

DE STATIQUE. 33i

mèitie manière, pour exercer, à l'aide d'une puissance médiocre, des pressions très considérables , ou pour former , sur certains corps , de fortes et vives empreintes.

Sur un ancien paradoxe de Statique relatif à la théorie des t

236. La loi du levier , comme on l'a vu plus haut, et comme on le sait depuis long-temps, est que les deux forces appliquées soient réci" proques à leurs distances au point d'appui, et qu'ainsi les momens de ces forces soient égaux entre eux pour l'équilibre.

Or il y a une machine singulière , dont l'idée est due à Roberval^ et qui présente une espèce de levier où deux poids égaux se font toujours équilibre , quoiqu'on les suspenJe à des bras de levier quelconques inégaux; et de là résulte, dans la théorie des momens , une espèce de paradoxe , qu'on a tâché de résoudre par une certaine décomposition de forces , mais dont il me semble qu'on n'a point encore donné la véritable explication, {f^ojez l'article de d'jilembert, au mot Levier, dans l'Encyclopédie.)

Cependant on pouvait reconnaître d'abord que ce cas d'équilibre n'a rien de contraire à la loi généraledu levier; caria machine deRobe val n'est point un véritable levier, c'est~à-di

33i ËLËMENS

un corps ou une verge raide mobile aatour d'uo seul point fixe : c'est un assemblage ou système de figure "variable, clans lequel il y a deux points Jïjces , et où il n'est pas du tout surprenant que la condition de l'equillbie soit loul autre que dans le levier simple. Ainsi , par cette seule distinction que nous avons établie enire une machine simple et une mach ine composée, le paradoxe s'évanouit. Mais on n'avait point encore une définition bien précise des machines, ni surtout une idée nette des moment, kcTorts d'un certain genre que les couples seuls ont mis en évidence, et pour ainsi dire rendiil sensibles dans toute la Mécanique. Et eu effet, par cette théorie des couples, la machine de Hoberval n'offre pas même de dilliculté : car, à l'aide des deux points fixes qui existent dans le système, il peut très bien arriver que cbscoa des couples qui viennent des deux forces appU* quées se trouve séparément détruit par la ré< si s tan ce de ces points, et que, dans une pai^ reille machine, le rapport des raoraeos sok lout-à~fait arbitraire. C'est en efl'et ce qui ■ lieu, comme on va le voir tout à l'heure : et w; cas singulier d'équilibre , loin d'offrir un par»doxe, n'est qu'une nouvelle confirmation dft nos principes; et je ne m'y arrête un instaat que pour en donner, par les couples, la dér>

monstration la plus claire , et peut-être la seule çxacle qu'on en ait encore présentée jusqu'ici.

De la Balance de Roberval.

257. Imaginez quatre règles deux à deuK 1 égales et parallèles, et formant un parallélogramme ABfli ((îg. gu et gi), dont les côtés F;^soient mobiles autour des angles A, B, a, b, comme sur des charnières. Supposez que les milieux F et /^des deux côtés AB, ab, soient fixes, et, pour plus de clarté, que ces deux points tombent dans ia même verticale F/"; vous aurez une machine formée par la réunion de deux balances égales et parallèles , qui se répondent dans un même plan vertical , et dont tous les niouvemens aulour de leurs appuis se sui- ■vent sans se nuire en aucune manière. Car si l'une d'elles, AB par exemple, tourne aulour de son appui tîxe F, l'autre ah tourne en même temps sur le sien dans le même sens et d'une même quantité angulaire ; et le parallélogramme AB«A prend toutes les figures qu'il peut affecter, eu changeant ses angles, sans changer la longueur de ses côtés.

Si donc, à l'un de ces leviers tel que AB, et en des points quelconques de ce levier, ou même de son prolongement, étaient appliquées deux forces qui se fissent équilibre, il faudrait

334 tLÏMEBS

néccKairemenl qoecesdem Ibnres fiasEcnt»

cïproqaes à lenn distances m poînl d*appaiF, comme si le lerîer AB était seul et paHailtmeat libre ; car ce levier est libre en eflel, paîttfue l'antre ab ne £>it quesairre , et , ponr amà dire, répéter ses monremeniS , sans y porter la moindre altération. Ainsi les momeiË dt> Traient être éganx de part et d*aDtre autoordi point fixe F , et il a y attrait là rien qui ne M entièrement d'accord avec la théorie- Mais si an lien d'appliquer les forces oa les denx poids P et Q à l'an de ces leviers, on la applique, le premier P, à nne barre Kl invariablement fixée à angle droit sur le côté Bi qui uni>t les deux balances, le second Q à nue barre GII, fixée de même sur le côté Aa, n trouve que cesdeux poids , pourvu qu'ils soient ^gaux, se font toujours équilibre, quelles que soient les longueurs des bras EK et GH oùill sont suspendus; et c'est ce qu'il fuut montrer ici comme une conséquence toute naturelle^»

notre tfiéorie des momens.

Pour cela, qu'on transporte la force P parafa lèlement à elle-même de I en K dans la droite BA, et l'on a un couple (P, — P) dont le bras de levier est IK. Mais ce couple est détruit par les deux points fixes; car il peut d'abord être changé en un autre équivalent d'un bras ^al

à la distance inn des deux balances AB et ab, ensuite, comme le bras Kl est invariablement attaché au côté Bb, par l'hypothèse même, ce couple transformé (P', — P'), peut être tourné dans son plan, et appliqué exactement sur le côté Bb. Dans cette position, l'une des forces P'se dirige vers le point F qui est fixe, l'autre — P' se dirige vers l'autre point fixe/, et le couple est détruit, quel que soit son moment P' X mn ou P X IK. Ainsi il ne reste, de ce côté de la machine, que la force P transportée au point K.

Pareillement, la force Q peut être transportée parallèlement à elle-même de G en H, et le couple (Q, — Q) qu'elle produit, pouvant èlre changé en un autre (F', — Q') appliqué sur le côté Aa, se trouve de'truit, comme le précédent , parla résistance des deux points fixes.

Il ne reste donc que les deux forces P et Q, mais appliquées maintenant aux points K et H, ou si l'on veut en B et A , et qui , par l'équilibre de la balance AB, doivent être parfaitement égales entre elles. Ainsi , dans la balance de Roberval, la condition tmique pour l'équilibre est l'égalité des deux poids, quelles que soient leurs dislances aux points d'appui.

Celte machine est en quelque sorte , pour les simples forces ^ ce que le levier ordioei

pour les couples ou momens. Dans l'éqoihDr du levier, les deux forces peuveut être dans un' rapport quelconque , il sudit que les monjera soient égaux : mais, dans la balance de Roberval , il faut que les forces soient égales , et c'est le rapport des momens qui est arbitraire.

258. Au reste, ceci n'est qu'un cas particulier d'une proposition plus générale, car, ao lieu de deux balances ABetni, on pourrait considérer deux leviers égaux et parallèles, dont les appuis F et/ue soient plus au milien de leurs longueurs , mais divisent ces lignes dans un même rapport quelconque. De plus, ou pourrait supposer que les forces P et Q, qui agissent sur les barres 1K,GH, ne soîeat point parallèles, mais dirigées comme on vondradans le même plau. On démontrerait exac tement de la même manière que les denx forces P et Q ét;mt transportées parallèlement à elles-mêmes aux deux, bouts B et A de l'un des deux leviers AB de la machine, les deux couples qui naissent de cette translation sout séparément détruits par les points fixes; que, par conséquent, la condition unique pour l'équilibre, est que les deux forces appliquées soient entre elles dans un rapport constant, qui ne dépend point de leurs dislances au point F, maïs uniquement des distances de ce point aux

deux parallèles à ces forces, menées par les deux bouts du levier. Aiosi , quand deux: forces sont une fois en équilibre sur cette macbîne, on peut les transporter où l'on veut parallèlement à elles-mêmes, sans que l'e'quilibre soit troublé. Elles réagissent toujours l'une sur l'autre de la même manière. La seule cbose qui cbange est la grandeur des couples détruits, et par conséquent, la pression que souffrent en sens contraires les deux points fixes dans la direction desdeux leviers.

Par exemple , dans le cas de P et Q parallèles, le point F, outre la pression verticale P+Q qu'il supporte, comme dans le levier ordinaire , éprouve encore , dans le sens du levier,

une pression P' — i^, égale a — — — ^ -j

et l'autre point fîxeyéprouve une pression égale et parallèle, et de sens contraire : de sorte qu'il y a, sur l'axe ly qui joindrait les points fixes, un couple dont le moment est P X Kl — Qx GH, c'est-à-dire égal à la difl'érence des momens des' forces appliquées, et qui tend à renverser la macbine.

23r|. Il faut remarquer que , dans la démonstration précédente, il n'est pas nécessaire de supposer les barres Kl et GH implantées à an

33S ÉI.ÉMEN5

droit, et sur le milieu des eûtes Bi, Ad; elles peuvent y être fixées oii l'on voudra et sous des augles quelconques ; il suffit que la liaison avei. ces côtés soit invariable.

2/\0. On pourrait encore, au lieu d(? deui leviers AB eiab , imaginer deux tours égaux et parallèles, dont je suppose les deux axes projetés en F eif. Si les rayons correspondans des deux roues et des deux cylindres sont unis de même par des côtés parallèles B£ , A « mobiles sur des charnières B, h. A, a, on aura encore une m;ichine du même genre que la balance de Roberval, et oii deux poids P et Q élanl une fois en équilibre, y resteront toujours, à quelque distance qu'on les suspende sur les tirai Kl et GH.

34> • Si l'on im:4gine enfin que les axes fiies de ces tours soient les axes de deux vis égales, qu'une puissance P tende à faire avancer dans leurs écrous , on verra de même que l'efTorl de cette puissance, pour faire avancer la vis, ne change point , quelle que soit la longueur do bras Kl par lequel elle agît, et qu'il est toujours le même que si la force agissait simplement an pointB, dans une direction parallèle.

343. Nous pourrions étudier encore d'aatres machines ; mais comme elles n'offriraient rien de nouveau qui méritât de trouver place dans les Ëlémens, nous n'éti^udrons pas plus loin ces applications. Notre objet principal, dans ces deux derniers chapitres, était de fixer, par quelques exemples très simples, les principes que nuusavioos établis et développés dans les deux chapitres précédens. Nous avons cru devoir indiquer en même temps la marche que l'on peut suivre pour trouver les conditious de l'équilibre dans quelque machine que ce soit^ et c'est ce qui ne présentera aucune difficulté, d'après ce qu'on a dit aux n"" 209 et suivans, surtout lorsque l'on ne considérera que deux forces appliquées à la machine.

MÉMOIR