ET DES AIRES DANS LA MÉCANIQUE

Des Couples-

Dans ma Statique , j'ai nommé couple l'ensemble de deux forces parraitement égales , parallèles et de sens oppose's. On sa!t que ces deux forces n'ont pas de résultante, c'est-à-dire ne peuvent être tenues en équilibre par aucune simple force dirit;ée comme on voudra dans l'espace. A la veritd , le calcul , qui donrre , pour cette re'sultante , une force nulle appliquée à une distance ioSnie des composantes , ne nons apprend plus rien alors, puisqu'il donne la même expression pour deux autres forces quelconques égales , parallèles et de Gens opposés, dont l'effet pourtant n'est pas le même que celui des deux premières ; mais il est éfident à priori que de telles forces ne peuvent avoir de résut— tante unique : car si l'on pouvait assigner la postlion ■

de cette résultante à l'égard de l'une des forces du , I

couple , on lui en trouverait sur-le-champ une autre *

parhitement symétrique et de sens contraire à l'i m

de la seconde ; et elle aurait à !a fois deux pori<

difléientes ; ce qui est absurde.

L'effort d'un couple ne peut être contre-balancé que par celui d'un autre couple. J'ai fait voir que cet effort a pour mesure le produit de l'une des i'orces par ladijtance qui les sépare ; de sorte qu'eu nommant ce produit le moment du couple , deux couples contraires» font équilibre , quand leurs oiomgns sont égaux.

Compas

i des couples, analogue des forces .

. la compotititi

J'ai d'ailleurs établi sur les couples tous les théorèmes qui correspondent k la composition des farcet; et même cette proposition ( dont on fait si sou'nil usage ) , qu'une force peut être transportée en lin poinl quelconque de sa direction , trouve ici son analogue^ qui consiste eu ce qu'un couple peut être trctnspom partout où Von voudra dans son plan, ou dans loti autre plan parallèle , et tourné comme on voudra dant^ ce plan j sans quesonejfct en soit changé.

Ainsi des couples situt-s arbitrairement dans le ment plan ou dans des plans parallèles sont des couples d^ métne directipii; d'où l'on voit combien est illusoiN l'expression que donne le calculpour la résultante d'im couple, puisque, d'après cette propriété, il u'y aunit pas de lieu de l'espace oii l'on ne pût la supposer a^ pliquee ; ce qui n'a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est priacipaleinem utile dans la composition des couples , où elle pemui de les rapproclier et de les disposer entre eux de u tnapîère la plus favorable à la démonstration , et conduit par une voie très simple rux tliéorèmcs suit

, Deux couples situés dune manière quelconque

dans le même plan o composent en un seii différence, selon qut

dans deux plans parallèles , égal à leur somme , ou à leur ces deux couples sont de même

a*". Deux couples stiu/s d'une manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux côtés <tun parallélogramme, et représentés en grandeur par ces côtés , se composent en un seul situé dans unplan perpendiculaire à la diagonale , et représenté en grandeur par cette diagonale.

D'où l'on peul conclure que trois couples perpendiculaires aux trois arcies conliguës d un parallélépipède quelconque, et représentés , pour leurs momens , par les longueurs de ces arêtes, se com^posent en un seul , perpendiculaire à la diagonale, et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale.

Ces théorèmes, comme nous le verrons tout à l'h(;nre , rt^afernient la thcorie des tnoniens , consîde'rée de la manière la plus générale, et la théorie des aires, qui ne sont autre choHe , dans le mouvement des corps que les momena dea forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité que le parallélogramme des forces, et fout descendre ainsi dans les Éléiuens les proposition Mécanique.

Qu'on me permette ici d'en l'usa^^e dans la Statique, et, l'objet de ce Mémoire , de nos idées.

Vtage det couples dans la Statique,

Une force étant appliquée en un point d'un corp» ou système quelconque solide, si l'on prend u autre point quelconque dans ce corps , ou au dehorf, pourvu qu'on l'y suppose invariablement attaché, «l qu'on applique à ce nouveau point deux forces ce traires égales et parall^leg à la première , U est ckk que l'état du corps ne sera pas cliaiigé ; maïs on pour considérer actuellement, au lieu de la simple far proposée, i". une force parfaîtemeut é^jale , parallèle et de même sens , appliquée au nouveau point ; couple formé par les deux forces parallèles reslanles. Si, pour plus de clarté, on transporte ce couple «lleurs, dans un plan quelconque parallèle au sien, ce qui est permis, il ne restera au point dont il s'a^t qu'une force parfaitement éjjale et parallèle à la força primitive, et qui ne serait en quelque sorte que celle même force qu'on y aurait transportée parallèlemeil, h elle-même.

On peut donc dire qu'une force peut être tmfl portée parallèlement à elle-même en im point quA conque, pourvu que l'on considère le couple qu'elG engendre dans celte translation , et qui a pour n le produit de la force pai' le chemin qu'elle a parcoartt,

Cela posé , tant de forces que l'on voudra étant ap

pliquées d'une manière quelconque à un corps , e

les trausporte toutes parallèlement à elles-mêmes e:

, même point quelconque , elles viendront s'y compoti

en une seule que je nommerai la résultante , et lous les couples qu'elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul, que je nommerai le couple résullanl.

Composition générale des forces.

Ainsi, des forces dirigées dune manière quelconque dans l'espace, peuvent toujours se réduire à une seule, et à un couple unique, lesquels sont, en général, situés dans des plans différens. Sur quoi l'on peut observer que la direction, la quantité et le sens de la résultante seront toujours les mêmes en quelque lieu qu'on ait pris V origine , c'est-à-dire le point où l'on a transporté toutes les forces. En variant la position de ce point , lit résultante ne fera que se transporter parallÈlement à elle-même en divers lieux de l'espace , mais le plan et la valeur du couple changeront nécessairement.

Lois de r équilibre.

Mais quelle que soit la position de l'origine, uu - couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace, il résulte de ce que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces , à moins que la résultante et le couple résultant ne soient tous les deux nuls à la fois.

Ainsi toutes les forces appliquées au corps, étant transportées paraWelement à elles-mêmes en un point quelconque, doivent s'jr faire équilibre entre elles, et tous les couples qu'elles produisent en se transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre euxt

Telles sont les proprictés {générales de l'équilibre, c'est-à-dire les conditions qui existent nécessairement dans l'ëqiiibbre de tout systèoit: libre. Elles fouroisunt les six équations connues, entre les forces décoiii{»sées suivant iroia axes quelconques dans l'espace , et entre les couples décomposés suivant trois plans différens qu'on peut supposer conduits par ces axes.

A quoi se réduUeni les conditions précédentes , quani iljr a un point fixe dans le système.

Ces trois dernières équations suffisent, lorsqu'il y i

un pt

nt fixe dans le

upposani quonai

pris ce point pour l'origine ; car la résultante, se vant détruite par sa résistance , peut avoir telle valev qu'on voudra , et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par là que la pression exercée sur le point fixe est identiquetnetit la même que si toutes les forces du système y étaient tranfr portées parallèlement à leurs directions : car eli«j iont actuellement transportées; et pour les couplet qu'elles ont produits, comme ils doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c*est-,\-dire quand bien même le corps ne serait pas soutenu, il est évident qu'iltne peuvent nullement charger le point fixe.

Propriété nouvelle de l'équilibre d'un corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibre autour d'oB système quelconque invariable de forme, on sait qu'elles peuvent toutes varier proportionDellemenli feUTS grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Msi*

on Toit ici qu'elles peuvent eucore s'approcher ou s'tloigneL' louLes d'un même point quelconque, proponionneilemenl à leurs dislances à ce point, sans que cet équilibre soit troublé : car si chaque force se meut ainsi parallèlement à elle-mênie , dans le plan formé par sa direction et le point dont il s'agit, elle augmente ou diminue le couple qu'elle donne à son égard, dans le même rapport que sa distance à ce point, et par conséquent tous les couples du système conservent leurs positions , et demeurent proportionnels. Ainsi la re'sultante et le couple résultant étant une fois nuls, le seront toujours , et l'équilibre subsistera.

Condition nécessaire pour qu'un système quelconque de forces ail une résultante unique.

Les forces appliquées au système étant ramenées , comme nous venons de le voir, à une seule force et à un seul couple, si la force se trouve parallèle au plan du couple, on pourra amener ce couple dans un même plan avec elle, et les réduire tous deux à une force unique : et réciproquement, comme on a démontré qu'une force et un couple ne peuvent se réduire à une force unique sans être dans le même plan ou dans des plans parallèles, ce qui est ici la même chose , il s'ensuit que des forces dirigées dune manière quelconque dans ^espace ne peuvent jamais te réduire à une seule , à moins que la résultante de toutes ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant.

C'est par là qu'on peut voir comment

dirigées dans des plans différens , peavent ae compotffen une seule , sans qu'il y ait aucune reacoatrc entré leurs directions ; et comment une force peut se déçois poser suivant trois directions qui ne rencontrent pu la sienne et qui ne se rencontrent pas entre eUes.

Expression analytique des propriétés précédentes.

Pour soumettre les propositions précédentes au calcul, concevons à l'origine où l'on transporte toatei les forces, trois axes quelconques, que nous prendroof rectangulaires entre eux , pour plus de simplicité dui les expressions.

Soit R la résultante générale ; X , T, Z ses trois composantes suivant les axes des x,^, z; soientM. ^^i' les trois angles respectifs que sa direction fonnt avec eux.

On aura , par le parallélépipède des forces ,

Or, X, Y, Z sont respectivement égales aux somme» des forces décomposées parallèlement aux trois aies Ae&x , y, s. On trouvera donc facilement par ces équations la valeur et la direction de la résultante générale. La première condition de l'équilibre, qui veut que cette résultante soit nulle, donnera ce qa'oa> I comme les trois équations de l'équilibre de translo' ] lion, qui reviennent à ce que la somme des forces e^ timées suivant trois axes quelconques soit nulle d'elle^ même par rapport à chacun de ces axes.

Soit G le moment du couple résultant ; L , M , N les moineus respectifs des trois couples dans lesquels il se décompose perpendiculairement aujc trois axes des x,y, 2 ; soient a , ^ , t les trois angles que forme avec ces axes la perpendiculaire au plan de ce couple , et que nous avons nommée l'axe du couple. On aura, parle paralléle'pipède des couples,

Or, on voil(n°' 102 et io3 de la Stat.) que les couples L , M , N sont respectivement égaux aux sommes des momeas pris dans l'acception ordinaire par rapport aux trois axes x,j, z, c'est-à-dire aux sommes des produits qui resullent des forces projclées sur chacun des plans coordonnés , multipliées pav leurs distances à l'axe qui lui est perpendiculaire : on trouvera donc facilement par les équations ci-dessus la valeur et la position du couple résultant.

La seconde condition générale de l'équilibre, qui veut que ce couple soit nul, donnera ce qu'on appelle les équations de Téquilibra de rotation , qui consistent en ce que la somme des raomens de toutes les forces, par rapport aux trois axes coordonnés , soit nulle d'ellemême relativement à chacun de ces axes.

Que ces sortes de produits qu'an appelle momens, n'étaient aufofid que la mesure de certaines fbrcei cachée» que les couplet ont mises en évidence.

On voit ici, par l'identité des couples avec les m'

JW MÉMOIRE.

IMMW ut* qn'on lei onsulère ordinûrement a Stalltpw, <|iiel cAle joucut c«t BOrtt» de produiu dam U eoinpotition générale du foicei et dans le& lois de leur 4(]iiilibrR. A la vérilif , dans l'tfquilihre d'un corpt u- ■lijittll 11 tourner autour d'un axe fixe, les lois coiinaci «lu Invicr noua niorilraient bien ces produits comme Ici ull'ort* des puiisanccs pour faire tourner le cotft autour du cet axe, puisque l'on trouvait que la somiiK dus niuiuonii des forces qui tendent à faire tourner dsni un sons doit fllre i^gale à la somme des momeos de colle» qui iciidtnt A faire tourner dans le sens cob- Iratrtt. Mais, lorstju'il n'y avait aucun point d'appiû, flt i]ue le Sysihne était parfaitement libre dans l'w pnoc, les momeni ne repaient plus dans les condiliesi dt IVi)Hilil>re que comme de simples eupresMonadt calcul, (it pt-rdaîenl celte espèce de signiGcatiou ipt leur do»nti la présence d'un axe fixe, et qai les iTsil Ikil iiomuier momens par les auciens (^mètrek Or, uar U théorie dos couples, iU reparaissent dans Yétfoi-

îttwv dca corp lil>r« . comnte dans l'équilibre d» ciM{w igtan |)«r <its ubsucle^ Estimés par rapfwn i lllt noiul ii<tclc«uiqtir dn corps, îk mesurent cmsiM «i^tH* pa(ti(uli<TS qiK Tun peut coaccrotr coouae (•■ ^Mtbltk }f».r Va pùssancet qni « tniupatlCBi psiè- I. IMtuMiisl i iMt^mitvxrB em ce point, et qm, tmim

qu'on y avait jointes. Mais , en Géométrie comme en Algèbre, la plupart des idées difTérentes ne sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fécondts sont pour nous celles qui font le mieux image , et que l'esprit combine avec le plu» de facilild dans le discours et dans le calcul : or , les couples ont émineinment cet avantage sur les niomens ; et, si l'on considère que la théorie des momens se présente d'ellemême dans la réduction générale des forces et dans les conditions de leur équilibre ; que , d'un autre côté, ilaus la Dynamique, la composition des niouveinens de rotation est aussi nécessaire que celle des mouvemens àc translation , pour l'analyse complète du mouvement d*uo corps de grandeur sensible, on verra que la composition des couples exposée ci-dessus, tant par la symétrie des tliéorèmea que par la simplicité des démonstrations, vient se ranger naturellement â col^ Je la composilion des forces, et forme ainsi la seconde partie essentielle desÉlémens.

Équation de condition pour qu'un sjrslhme de forces ait une résuUanle unique.

Nous avons vu tout à l'iieure que si des forces quelconques sont réductibles à une seule, la résultante générale sera parallèle au plan du couple résultaut. Pour exprimer celte condition dans le calcul , il n'y a donc qu'à exprimer que l'axe du couple est perpeudi- GuLaire à la direction de la résultante, ou que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. Mais, d'après les dénominations précédentes, le cosinus de cet angle est

^Sn MEMOIRE .

eupression qui étant égalée à zéro, après y avoir substitue* à la place des cosinus leurs valeurs , donne surle-champ l'équation

Xr. + YM+ZN = o,

qui établit la relation cherchcc entre leâ forces el leun moincns estimés par rapport aux trois axes.

Équations de condition pour qu'il y ail une résuliann unique qui passe en un point donné.

Mais si l'on voulait exprimer que les forces sont réductibles à une seule qui passe eu un point clonoé, eu transporterait l'origiae en ce poîat, et l'on expriintrait que le couple résultant y est nul. Ainsi a, b,> étant les coordonnées de la nouvelle origiue , il suffirait, dans les expressions L, M, N, de mettre j;—ii, ^ — b , a — c, à la place de x,jr, z; ce qui donneraii les nouveaux mouvemens L', M', H', et l'on auraillp trois équations

I.' = o, M =0, N'=o, qui nous font voir que la somme des momens doit être nulle par rapport à trois axes qui se croisent au poinl donné.

Si le point n'est pas donné , el qu'on cherche au contraire s'il y a dans l'espace quelque point où les fore» peuvent donner un couple nul , on aura les trois mêmes équations, mais où a, é, c seront alorsles inconnues. Or, en les éliminant , on trouvera d'abord , entre les force) proposées, l'équation de condition XL+YM-J-ZN=m, sans laquelle les trois premières ne peuvent subsisin, et qui nous redonne ainsi la condition d'uuc résulbuite unique, comme cela doit être.

Des Couples ou momens rapportés à différens axes.

Le couple résultant G décomposé perpendiculairement à un axe qui forme avec te sien un angle i , étant ^al à G cos 8 ; si l'on nomme a', (^ ^ ,', les trois angles que cet axe forme avec ceux des coordonnées, comme on a par la Géométrie

Il trouvei'a

I ' -t- cos (i cos ^' -f C09 >

isV + iy

)9^' + Nc09 >',

formule trèssiinplequ'£u/er a donnéedansle lom. VIT des Nouveaux Actes de Pétersbourg, mais à laquelle il n'était parvenu que par de longii circuits d'analyse. Cette équation nous apprend que si l'on connaît les sommes L , M , N , des momens par rapport à trois axes rectangulaires, on trouvera sur-le-charnp la somme des momens par rapport à un axe quelconque , en multipliant ces trais sommes respectives par les cosinus des cingles que les trois axes font avec le nouvel axe donné. C'est ainsi qu'en Géométrie , pour projeter une ligne sur un axe quelconque, on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires ; projeter ensuite ces trois projections sur l'axe donné, et ajouter ensemble -ces projections de projections.

Du

nmum entre les différens axes qui passent par

rapportés i

^ momens, par rappoi

axe qui fait, avec celui du couple résultant , uatuglef,

esl G cos i , i\ s'ensuit :

1°. Que lie tous les axes qui passent par Poriginc, l'axe du couple résultant esl celui par rapport auqiaî la somme des momens esl la plus grande ;

a*. Que la somrne des momens est la rnêmeparrofporl à tous les axes quijbm un rnérne angle avec cela du plus grand moment, ou qui forment une surface conique décrite autour de lui sous cet angle;

3°. Que la somme des momens est nulle par rapport à tous ceux qui font cet angle droit, ou quiformentss plan perpendiculaire à sa direction.

L'axe et la valeur du moment maximum ne sonl autre cliose que l'axe el la valeur du couple résultant, et se détennioeat parles mêmes équaiious. D'où l'oo voit que le carré du moment maximum esl égala la somme des carrés des momens par rapport à trois axei rectangulaires , el que son axe esl la diagonale à parallélépipède construit sur les trois lignes qui rv présenteraient sur ces axes les grandeurs respectii'ei des trois mom.ens précédens.

Ce soat les résultats que Laplace avait déjà lires de l'Ânalyst;; ils formaient de beaux théorèmes de Mécanique, et ils ne sont plus ici que des corollairei éi'idetis de la composition des couples.

Mais voici de nouvelles conséquences, entièrement dues à nos principes , et qui aclièvent toute la tlicorie des momens.

Du Moment mininiuiii fnlre l'injinité des momens niaxiina relatifs à tous le< points de l'espace.

Observons que tout ce que nous venons de dire est relatif à l'origine que l'on a choisie pour y transporter toutes les forces En prenant cette origine ailleurs, la quantité, le sens de la résultante générale , ne chon- <(ent pas , et sa direction demeure toujours parallèle à elle-même ; mais le moment maximum varie de grandeur, et son axe s'incline sur sa première position. Pour chacun des points de l'espace , considères successivement comme origines , il y a donc un axe autour duquel la somme des momens est un maximum relativement à tous les axes qui se croisent au même poiut. On pourrait donc deuiander en quel lieu il faudrait prendre l'origine ou le centre des momens, pour que le moment maximum y fût plus petit que partout ailleurs , et par conséquent fût le minimum, des momens maxima relativement â tous les points de l'espace-

Pour trouver facilement la position de ce point , regardons toutes les forces coiiime réduites à une seule et à un couple , par rapport à un point quelconque connu, et suivons les variations qu'éprouve ce couple par le déplacement de l'origine.

D'abord il est visible qu'en déplaçant l'origine dans la direction même de la résultante {jénérale, le couple résultant ne change pas ; car le couple que fournit la résultante en se transportant eu un autre point de sa propre direction est nul de lui-même, et le couplé primitif n'est pas altéré. Nous voyons donc que /ft i sont consians pour toutes U

ne tes mor ^

•s origm H

prises le long d'une même droite parallèle à la dinclion de la rêsiiUante générale , et que leurs axes sont parallèles entre eux. Ainsi, tout ce que dous avoui dit plus haut des nioinens par rapport aux axes qui se croisent ea un même point subsiste de la même manière et avec les mêmes valeurs , pour tous les pointi de la résultante qui y passe.

Supposons donc que l'origine s'écarte de cette direction, et soit tellement placée dans l'esipace, que le couple résultant soit perpendiculaire à la direction Je la résultante ; je dis qu'alors ce couple est dans la position du minimum; car si l'on déplace actuellement l'origine d'une manière quelconque, il ne poiirm qu'augmenter. En ell'el, la résultanle, en cLanyeani de position , produira un couple perpendiculaire sur k premier ; et puisque ces deux couples sont rectangulaires , ils donneron t par leur composition le nouveau couple re'sullanl plus grand que l'un ou l'autre J'entre eux : donc le premier couple résultant aura augmente^ donc il se trouvait dans la position du minimum loiv qu'il était perpendiculaire à la direction de la résultante (générale , ou lorsque son ajie coïncidait avec dk.

Comment on détermine l'axe du couple minimum.

Soit donc G une ligne qui représente i la fois l'.ue et la valeur du couple résultant par rapport à un point connu ; R, une autre ligne qui représente la valeur el la direction de la résultante en ce point ; ip l'anfjle qne forment ces deux droites.

Poutavoir l'origine du couple résultant minimum, 'andra transporter la résultante R parallèlement .i

elle-même, de telle sorte et d'une telle quantité/', que le couple Kp qu'elle produira , étant composé avec le couple primitif G, forme an couple résultant dont

L'axe du couple Rp doit donc Êtie dans le plan de» deux lignes R et G qui font un angle çi; d'ailleurs îl I est nécessairement perpendiculaire à la direction R ; donc on aura , par le parallélogramme des couples,

Rp = Gaiaç, et , pour la valeur K du coaple miniTmtm ,

K = G cos ç.

Ainsi, enélevantau sommet de l'anijleç, et sur le plan de cet angle , une perpendiculaire p = — 5 — , et menant par l'extrémité de cette perpendiculaire une parallèle & k direction de laresultante générale , on aura l'axe du mi/H/nom des momens maxima, et l'origine pourra être prise partout où l'on voudra sur cet axe.

Si l'on veut tout rapporter aux troix axes coordonnésj soient *, ,3, y les inclinaisons de A sur ces axes , et A , /< , v celles de G sur les mêmes lignes ; on aura , pour l'inclinaison mutuelle f) de ft et G,

cos ç = cos a cos A -(- cos jS C08 fi -(- cos ;>- cos i ;

ou bien , en mettant , an lieu des cosinus , leurs valeurs.

données précédemment ,

X L+YM + ZN cosp ^^^

d'où l'on tire

XL 4 YM + ZN

3j^ MÉMOIRE.

expression très simple de la valeur du couple minimum K.

Aclaellement , soient a, b, c les trois coordoDoéts de l'extrëmitë de la perpendiculaire p ; on aura d'aborda'-|- A'-t-c''^=/j', qui donne, en luettaot pour/) •a valeur,

Ensuite , comme p est à la fois perpendiculaire à R et à G , il est clair qu'on aura

flX + *Y + cZ = o, al + èM -(- cH =0 i

ce qui UM trois équations au moyen desquelles ou pourra détermioer a ,b, c , et par conséquent la position de l'axe du couple minimum dans l'espace-

De l'axe central des momens.

Cet ase remarquable , où la somme des moment eil à la fois un maximum relativement aux axes qui tt croisent au même point que lui , et un minimum rtla* tivcinent à ceux qui donnent les momens Tnaxima ani divers points de l'espRce , pourrait se nommer l'aie central des momens ; et celte dénomination , déjà m tivée en ce qu'il jouit d'une propriété exclusive pil I rapport h tous les autres, se trouve pleinement just^^J fiée , si l'on observe qu'aux méineH distances autour i lui , les momens maxima nont les mêmes , et que les axes ont , à son égard , des positions semblables.

En effet , le même raisonnement qui nous a fait

MÉMOIRE, ser tout à l'heure du couple resultaut G au couple n mum K , nous ramèoe , daos l'ordre inverse, de celui-ci au premier , et par les niêmes équations,

Bj,=

a ç, et K = G cos p.

Mais ici , de quelque côte' qu'on transporte la résultante R, pourvu que ce soit 1) une même distance /> de sa position actuelle ou de l'axe central, ou trouvera toujours un couple résultante de même valeur, et une Hiême inclinaison ç entre son axe et la résultante ; et, déplus, le plan de ces deux droites sera toujours

perpei

vaît pas lieu

tante dans 1'

même couple

Les

« à la ligne p : puisque , si tout cela n'ai-dessus , eu ramenant la rtisulral, ou ne retrouverait plus le 1 K , ce qui ne peut pas être.

s maxima sont donc consians , non-seulement pour toutes les origines prises le long d'une parallèle à la résultante, comme nous l'avions déjà remarqué, mais encore pour toutes les origines prises sur le cylindre que décrirait cette droite autour de l'axe central qui lui est parallèle.

Pour les axes de ces mojnenx , tant que l'origine ne sort pas d!une même génératrice de ce tylindre , ils demeurent parallèles entre eux etjbrmenl un plan; mais si l'origine passe d'une génératrice à l'autre parla circonférence dun cercle, ils forment un hyperboloide de révolution autour de l'axe central.

Les momens maxima G ne varient donc qu'avec le* distances^ de leurs origines à l'axe central , et les deux, équations précédentes nous donnent

36o jrÈMOIRE.

équation qui nous fait voir que ces

pour les origioes prises à ditréren tes distances de l'aie

central , comme les ordonnées d'une hyperbole dont

ces distances seraient les abscisses ; ainsi leurs valeiut

augmentent sans bornes, et il n'y a pas de montïal

était d'ailleurs a

tanj; q> := -^, ce qui donne les mdi-

maximum t

évident de soi-même.

Ou a de pli

naisons des axes des niomens ma vima sur l'axe central, et nous montre que leurs tangentes varient dans le rapport des distances de leurs origines à cet axe.

Remarquons encore que , dans le cas où la rêaultauU générale est nulle, oo a, par la première équalioDt G =1 K, quelle que soit la valeur de^.

Lors donc que les forces appliquées sont telle), qu'étant transportées en un même point, ellessefoal équilibre entre elles, les moinens maxima sontlei luêmcs pour tous les lieux de l'espace , et leurs aies sont tous parallËles.

Si les forces appliquées ont une résultante unique, comme on a pour cette condition cos ip ^ o , l'équation K=: G cos ç donne K^o; c'est-à-dire que le moment /ninimum maximorum est nul , comme ilesi clair que cela doit être , puisque l'ori^iinc tombe alon sur la direction même de tu seule force à laquelle se re'duisent toutes celles du système.

Classification de tous les axes de l'espace auxqtteU on voudrait rapporter les momens d'unsjsti-me deforeei.

Telle est donc la théorie générale exposée ci-dessm Lijue tous les axes de rea[iace auxquels on pculmp-

MÉMOIRE. 36i

porter les moinetis d'un syst^Aie quelcon([ue de forces , peuvent ètie distingués et classés entre eux de la ma-

D'abord, si, pour simplifier les choses, nous ne considérons que les axes qui se croiseraient aux divers ' points qu'on peut prendre sur un même plan perpendiculaire à la direction de la résultante ; nous observons : 1°. Que , parmi tous les axes qui se croisent en un même point, il y en a un seul distingué de tous tes autres, en ce que la somme des momens y est un

Les autres se classent autour de lui en diverses surfaces coniques circulaires dont il serait l'axe commun. Pour tous ceux qui forment la même surface , les lâomens sont égaux, et ils varient d'un cône à l'autre en raison des cosinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits.

2". Parmi tous les axes qui donnent les momens jnaxima relativement aux divers points du plan, il y en a un seul distingué de tous les autres, en ce qu'il donne le plus petit de ces maxiina, ou le minimum maximorum des momens.

Les autres axes des jnaxima se classent autour de lai en diverses surfaces d'hyperboloides de révolution dont il serait l'axe commun. Pour tous ceux qui forment la surface d'un même hyperboloïde , les momens Tnoxima ont la même valeur, et ils varient d'un liyperbolo'ide à l'autre , suivant les lois que nous avons données ci-dessus.

Actuellement, tout ce que nous venons de dire relativement aux diverses origines prises dans un même plan perpt;ndiculairc à la lésultaiile

3fo MÉMOIRE.

même manière, et avec lesniêmesvaleurs, pour toiulet lieux qu'occuperaient successivement tous ces pouls ' en transportant le plan parallèlement à lui-même. Le* momens maxima restent les mêmes autour des méma axes qui deviennent parallèles; et comme il n'y a, parmi eux , que l'axe du momeut minimum maximO' rum qui soit perpeadiculaire au plau mobile , qu'il est le seul qui n'ait absolument qu'une même position dans l'espace; que, lie plus, tous les a ont à son e;jatd des positions semblables, douuent le» mêmes momeas; et c'est ce qui nous a fait nouuuEt cet axe unique, Vaxe central des momens.

Au reste, les résultats précédeus, tirés des raisoonemens les plus simples, pourraient aussi se déduite du calcul par la métbode ordiuaiie de maximis et minitnis ; et l'on trouve aisément, pour l'axe du moment minimum maximorum , les équations suivantes ;

(N+Tx-Xr) Y — CM+Xz — Z:r)Z=o, (L + 2J--Y*) Z — (JS + Yx--Sj-)X=o, (M-f-Xz— Zx) X— (L+. Z7- — Ys) Y=o,

où X, j^, z sont les coordonnées de cette ligne par ra{H port à trois axes autour desquels les sommes respectives des momens sont L, M, N, tandis queX, Y, Z, sont les sommes des forces décomposées parallèlement aux mêmes axes.

L'une quelconque de ces équations est une suite né^ cessaire des deux autres, et par conséquent elles ne représentent qu'une seule et même ligne di-oite , Is:quelle est manifestement parallèle à la direction dels résultante générale des forces.

On trouve encore , pour le lieu de tous les points ren

lativemeat auxqueb les luomens maxima sont égaux et représentés ^ar H , l'équation suivante :

{l—Yz+Zj-y+ca—Zx+Xx)*

qui appai'tictit à une surface cylindrique ii buse circulaire décrite autour de la preinière druile, ce qui est conforme à ce que nous avons vu précédeninient.

Mais nous ne nous arrêterons pas à ces détails, et nous passerons sur-le-champ aux applications de Ut itiéorie des momens à la DyiLaiiiique.

Application de la ihéorie précédente à la Dynamique.

Soient tant de corps libres qu'on voudra qui se meuvent, sans aucune dépendance mutuelle, avec des vitesses uniformes suivant des droites quelconques, dans

Puisque chaque corps se meut unifonnétnent en ligne droite , la force qui l'anime demeure constante et de même direction.

Donc la résultante générale de toutes les forces qui animent les corps du système , et leur moment résultant par rapport à un point fixe quelconque , demeurent constamment les mêmes dans tout le cours du mouvement.

Conseï vt

i conservation des momens

Actuellement , si l'on suppose que tous ces corps qi étaient libres viennent tout— à-coup à se li d'une manière quelconque , et à réagir encore les uns

S6f MÉMOIRE.

«tir les autres en vertu de nouvelles forces qnekonqaet, mais réciproques, c'est-à-dire telles, qu'entre deux torpi ■ action soit toujours parfaitement égale et contraire L la réaction, ce qui comprend toutes les forces del« nature j les mouvemeas individuels des différeDs corpt seront changés , et les forces qui les animent Tarieronl de grandeurs et de directions , et continueront de varier à chaque instant du mouvement. Mais ce qui eit bien remarquable, et forme un des plus beaux principes delà Dynamique, c'est que la résultante générale de toutes cds forces, et leur moment résultant parrapport au point fixe, demeureront toujours les mèma qu'auparavant, et seraient encore conservés, si toni les corps redevenaient libres , et que chacun d'eux s'échappât en ligne droite avec la nouvelle vitesse dont il est actuellement animé.

Démonstraiion tris simple de ces deux lois gdnérah.

Ce principe, qui se déduit des équations différen' liellesdu mouvement, peut aussi se démontrer par on raisonnement si simple, que je ne crois pas devoii l'omettre ici.

Il est clair, en effet, que si chaque corps, à cause de sa liaison avec les autres , ne peut plus obe'ir pleinement à l'impulsion qu'il a reçue , sa force ae dëcoiupose en deux autres , l'une qui est détruite , et l'autre qui subsiste actuellemenl. Tout se passe comme àb rencontre d'un obstacle invincible; excepte que la composante, qui serait anéantie par l'obstacle, vase reporter sur les autres corps qui la détruisent par leur action. La force de chaque corps étant ainsi remplacée par deux semblables composantes, la résultante de

louLes ces nouvelles forces et leur moment résultant sont toujours les mêmes qu'avant cette substitution. Mais les composantes, qui se font équilibre entre elles, donneut leur résultante et leur moment résultant nuls, tomme nous l'avons vu dans les lois géne'rales de l'équilibre : donc la première résultante et le premier moment résultant sont conservés, et n'ont souffert aucune altération par l'action mutuelle des difl'érens corps du système. Quant aux autres forces qui pourraient exister entre ces corps , comme elles sont réciproques, c'est-à-dire deux .i deux égales et contraires, elles ne changent rien non plus aux valeurs précédentes, car leur résultante et leur moment résultaut sont évidemuient nuls d'eux-même;.

On voit donc que, dans un sj-sthme de corps qui ont reçu des impulsions primitives, et qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres, la somme de toutes les farces qui les animent, estimées suivant une même droite, et la somme de leurs momens estimés autour iun même axe fixe quelconque , demeurent constamment les mêmes , malgré les variations qu'éprouvent les mouvemens individuels des corps, -et soit que ces mouvemens changent par des nuances insensibles, soit qu'il survienne entre eux des cfiangcmeris brusques par l'action réciproque des corps, ou par toute autre liaison nouvelle qu'on voudrait établir subitement entre ces corps.

Ces deux propriétés générales du mouvement correspondent , en quelque sorte , aux deux propriétés générales de l'équilibre; les mêmes sommes qui doivent êtrenulles dans l'état d'équilibre demeurent constantes dans l'état de mouvement ; et la conservation des forces

et des raomens, présentée de cette manière, subi également pour toutes les lois possibles entre la et la vitesse du corps

A quoi répondent les lois précédentes dans la nature. — Conservation du mouvement du centre de gravité} conservation des aires.

Dans la nature, la force d'un corps en mouvement se mesure par le produit de la masse et de la vitesseet le premier principe répond à la conservation du mouvement du centre de gravité, qui consiste ente qae ce centre se meut toujours uniformément en ligne droite , et de la même manière que si tous les corps du système y étaient réunis, et que les foi-ces qui le: animent s'y fussent transportées parallèlement â e!l«mêmes.

En effet, puisque la somme des forces estimées sui- Vant une même droite est constante, on peut dire que la somme des vitesses de tomes les molécules égales da système, et par conséquent, lenr moyenne vitesse, pour s'éloigner d'un plan perpendiculaire à celte droite, e quantité constante. Or, à cliaque instant, les vitesses des molécules sont mesurées par les petits accroissemens , positifs ou né|;atlfs, de leurs distances au plan que je considère : ainsi la moyenne vitesse n'est autre chose que le moyen accroissement , ou l'accroissement de la moyenne de toutes ces distances , et par conséquent, c'est la vitesse même du point qui est le centre de [;ravité de tout le système. Donc la vitesse de ^ee point, estimée suivant une droite quelconque dara ice , est toujours la même ; et , comme elle repré-

sente la moyenne vitesse de toutes les molécules , elle s'exprime pav la somme de toutes les vitesses , divise'e par leur nombre, ou par la somme de toutes les forces divisée par la masse entière du système.

Si l'on prend , pour cette droite à laquelle on rapporte les forces, la direction même de la re'snltante générale, on voit que le centre de gravité se meut précisément dans cette direction; car si l'on cherchait actuellement la vitesse de ce centre , pour s'éloigner d'un plan quelconque mené suivant cette droite, on trouverait cette vitesse uulle, puisque la somme des forces, estimées dans un sens quelconque perpendiculaire à la résultante générale , est toujours nulle.

Ainsi le centre de gravité du syslbme se meui uniformément , en ligne droite , dans la direction même de la résultante générale, et sa vitesse est exprimée par cette résultante divisée par la masse entière du sjstl-me. Si CÈtte vésultanle générale est nulle, et qu'ainsi toutes les forces appliquées soient réductibles à un couple, le centre de gravité du système reste donc en repos dans l'espace, quels que soient les mouvemens particuliers des dîfférens corps qui le composent.

Si tous ces corps sont liés entre eux de manière k former un système invariable de figure , le système ne peut donc avoir qu'un mouvement de rotation autour du centre de gravité ; d'où l'on voit que l'effet d'un couple sur un corps ou système .lolide, est de le faire tourner autour d'un point déterminé , qui ne dépend ni de la grandeur ni de la direction du couple appliqué , mais uniquement de la figure du corps , ou plutôt de la. disposition mutuelle des dilférentes particules qui le composent. Ainsi le centre de gravité des corps

aKpréaeate à'a

il ae fiiut pas, a' fteuleiiient coiuoie i

MÉMOIRE inière aussi aaUinJle< t que dans celle de 1' : quelques geoiaétrea.

L point qu'il esi préféraUe Ai, choisir, pance que ceruiaes expressions anaWû^M qu'on y raf^rte se simpUfietit, oo que certainai^ l£grales s'y évanouis»eat , tuais bien comme un poM dont ta considéraiioa s'offre d'elle— même dutt b ■■■ ture, étaient, pour nous, de celte loi qui iaiisJiDfl» meut U force proportionnelle à la vitesse. Oa doittUn la même chose deces trois ojrei pn'nct^oua; de roUti<Mt autour desquels un corps peut touraer libremcDl, parce que les forces centrifuges s'y contre- bal ancnl C'est en vertu de cette même loi dont je Tiens depi> ler , qn'il y a de tels axes dans toits les coi^ eu a trois, qu'ils passeni au centre de gravité et aa% sont rectangulaires entre eux.

MaÎBje passe au second principe de la conserva tion des momens. Si l'on prend un point fixe quelconque ci que, de ce point fixe oa/ojer, on mène à tous )ci -corps du système des rayons vecteurs, en projelaul toutes ces droites sur un plan quelconque, on vens ifacilenieot que le moment de chaque force par ra|)pori ■À un axe perpendiculaire an plan de projection, et I ipassant par le foyer, est proportionnel au produit de tJa masse du corps par l'aire que trace sur ce pliob 1 :;pfajection de son rayon vecteur.

' Ainsi , dans la loi de la nature , la conservation dtt momens revient à la

aires, qui coniiiie etice que la iommc des produits des corps par les airtt respectives que tracent le.r projections de leurs rajom vm:ieurs surunplan fixe quelconque mené par lefcrrer.

'^à-dire est toujours l tout le mouvement

i étaient égales

f est proportionnelle au temps , c'es.

i'ia même, en temps égal, pendan

, dusj-sthme.

Si toutes lea masses du systèm elles, on n'aurait pas besoin de considérer leurs produj respectifs par les aires précédentes , mais simplement ces aires elles-mèiDes; et le théorème reviendrait à ce que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs autour du foyer est toujours égale en temps donné. C'est ainsi qu'on peut toujours énoncer le principe des aires; mais eu supposant que les masses du système soient divisées en parties égales , et qu'on ait tiré du foyer des rayons vecteurs à toutes ces parties.

Plan du maximum des aires.

Cela posé, puisque les aires tracées parles rayons vecteurs ne sont autre chose que lesmomens des forces, il s'ensuit qu'on peut appliquer à la composition des aires tout ce que nous avons dit de la composition des

£t d'abord , on voit que , parmi tous les plans menés par le même foyer , et qui reçoivent de la pari des rayons vecteurs des aires différentes , il y en a un seul qui reçoit la plus grande ; et si l'on nomme L , M, N les sommes respectives des aires tracées sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par le foyer, on aura pour la valeur G de l'aire qui est un maximum ,

l'égard du plan qui la reçoit , « , les trois angles respectifs qvi'il forme avec les

voudra sur cette ligne. Pour tous les foyers qui en sciaient aux mêmes distauces dans un plan perpendiculaire, les aires maxima auront les mêmes valeurs, et leurs plans seront perpendiculaires aux diverses génératrices d'un liyperboloïde de révolution décrit autour de cet axe central. D'ailleurs , ces aires maxima et les inclinaisons de leurs plans varieront , en vertu des distances précédentes, d'après les mêmes lois que nous nvons données plus haut ; et l'on trouvera sur les aires tous les théorèmes analogues à ceux qui ont été rapportes sur les n

Usage de ces plans j de ceux qu'il faut choisir pour jr rapporter Us corps du système.

Cette constance des aires décrites sur des plans qui restent immobiles au foyer nous donne d'abord L'idée de les observei sur les plans auxquels nous rapportons les ditFérens corps , afin qu'à toutes les époques du mouvement nous puissions retrouver le position de ces |ilaus, et reconnaître les cbaogemens survenus dans le système. Mais, d'après ce que nous venons de dire, on voit qu'il y a un choix à faire entre ces plans coordonnés ; car si un plan qui reste immobile au foyer reçoit constamment la même aire de la part des rayons vecteurs, un plan qui recevrait constamment une même aire donnée ne serait pas pour cela immobile, et pourrait se mouvoir d'une manière quelconque tangentiellement à un certain cône décrit autour du foyer. Donc si Von avait rapporté, primitivement -tous les corps du système à un certain plan, et qu'on ii« sût rien autre chose de ce plan, sinon qu'il recevait un«

3^a MÉMUiKE.

aire donnée, on ne pourrait plus reconnaître acluelloi ment sa position dans l'espace, parce qu'il e changer, ou, plus exactement, parce qu'il y en i infinité d'autres qui jouissent de la même propriété que liii.

Mais si l'on savait que le plan cherché était , eaW tous ceux qui passent au même foyer , celui qui i vait l'aire la plus î;rande, on le retrouverait aur-le> champ , parce qu'il est unique et jouit d'une propriété' exclusive par rapport à tous les autres.

C'est donc ce plan qu'il faut choisir , de préférei tous ceux qui pansent en un même point, pour y r^ porter les dilFerens corps du système; et, sans coih naître la [jrandeui- de l'aire qui y est décrite , on poarTi: retrouver sa position dans tous les temps, poum qu'on connaisse le point fixe d'où partaient les rayo» vecteurs, ou du moins quelque autre point fixe cpn Boit, avec le premier, dans U direction du mouvement général; car nous avons vu que, pour ce noi^ veau foyer , le plan de l'aire maximum serait parallèle au premier.

Si l'on ne connaissait point la position de ce fojCTi quand bien même on saurait que l'aire maximum décrite sur le plan cherché avait une valeur donaén, on ne pourrait pas encore distinguer ce plan d'une infinité d'autres perpendiculaires aux génératrices d'un eertain hyperboloide de révolution , parce que chacun de ces plans jouirait de la même propriété de recevoir égale, et maximum entre celles des plans qui se croiseraient avec lui au même point.

Mais si Ton ajoutait que l'aire maxitnum dont il s'agit était le minimum des aires maxima relalivesinx

divers foyers de l'espace, ou retrouve lait bu r-le-chanip la position du plan cherché, parce qu'il jouit, nonseulement d'une propriété exclusive par rapport à «:cux qui passeraient au même foyer, mais encore d'une autre propriété exclusive par rapport à tous ceux qu\ auraient la première commune avec lui.

C'est donc ce nouveau plan qu'il faut choisir de prér féience à tous ceux de l'espace; et l'on en pourra reti'ourcr la position à toutes les époques , sans connaître ni la grandeur de l'aire qui y est décrite, ni le point qu'oD a pris pour centre des rayons vecteurs. Mais, pour le déterminer , il faudra toujours avoir quelque point fixe d'où l'on puisse partir actuellement, et connaître en outre la grandeur et la direction de la résultante jiénérale qui emporte le système dans l'espace.

Dans le eau des aires relatives, jue /'aire minimum maximorum est la même que l'aire maximum autour d'un.Jbj'er quelconque.

Lorsqu'on ne connaît aucun point fixe auquel on ]iuisse rapporter les rayons vecteurs , et qu'on partage les mouvemcns des corps eux-inènies que l'on considère , on ne peut plus observer que des aires décrites autour de foyers mobiles dans la directiondu monrenient général. Or, ces aires sont alors les mêmes que si le mouvement général était nul , ou que ie centre de gravité du système fût en repos.

Onapu ïoir, en effet, par l'équation G^r^K'+R"/»', qu'un moment maximum G , relatif à une certaine origine, se compose du moment minimuTn maxi/nonim K, et du moment Rp de la résultante générale par la distance de l'axe central à cette origine; de i

l'aire rna:c<>nufn , par rapport à un foyer fixe, eslbuésnltaute de l'aire minimum maximorum et de l'ûre qui serait décriie par le rajoa vecteur de la masse totière du système , considéiée comme réunie dans l'ut central, et animée, suivant cet ase, de la vitesse commune. Si donc le foyer que l'on considère, aulieo d'être 6xc dans l'espace, se meut avec la vitesse commune parallèlement à l'axe central , cette partie àa aires qui sont décrites en vertu du mouvement génénl dtsparatt d'elle-même ; et les aires observées sont fitfaitement les inènieB que si la résultante {jénerol eUil nulle, ou que le centre de gravité du système fût ei repos dans l'espace.

Mais quand la résultante générale est nulle , les aiict maxima sont égales pour tous lesi'oyors de l'espace, d leurs plans sont tous parallèles ; donc alors le foyer ii l'aire minimum maximorum , peut être pris partout on l'on voudra.

application au système du monde.

Ainsi, dans te systémedumonde, comme onnecouoalt aucun point fixe auquel on puisse rapporter b différens corps célestes , et qu'on ignore d'ailleurs dans quel sens et avuc quelle force ce système esteatraist dans l'espace , on ne peut déterminer ni le plan ni la r ou peut

valeur de l'aire minimum rnaxi) cLoîsir simplement le plan du relativement à un point quelcot ligne droite avec la vitesse peut donc prendre le foyer a jouit de cette propriété* dans ntj et c'est ce qu'a fait l'i

mum des aires

5ui se meuve CD

du système. Od

ntre de gravite, qui

le cours du mouve-

ir de la MécaniqtU

céleste , qui, le premier, a considère ce plan dans notre système planétaire , et qui lui a donné le nom de plan t avariai» le.

Au reste, on peut encore prendre le ioyer au centre de l'un quelconque des corps considéré comme tixe à chaque instant , c'est-à-diie couiine actuellement privé de sa vitesse relative : ce point , n'ayant plus alors que la vitesse commune, sera dans le même cas que le centre de gravite ; ainsi le plan de l'aire maximum relative à ce point sera parallèle au premier , et recevra la raêine aire. ■■'

Si donc, pour considéri^r ép,alemei}t tous les coips du système , on prend successivement les aires élémentaires décrites autour de chaque corps par tous les autres, en multipliant ces diverses sommes par les masses respectives des corps qui ont servi successivement de foyers, on trouvera , en les ajoutant, tous les produits des masses prises deux à deux , multipliées par les aires qu'elles tracent dans le même temps, l'une autour de l'autre considérée comme iinmobile.

Le plan dont nous avons parlé jouit donc encore de cette propriété remarquable , que la somme des produits précedens y est un maximum, aussi bien que sur tous ceux qui lui sont parallèles ; et l'on voit que cette somme n'est autre chose que l'aire maximum relative au centre de gravité , multipliée parla ma^se entière du système. C'est ainsi que Laplace présente eneore la théorie de ce -plao invariable , en ramenant le principe des aires à des relations entre les distances mutuelles des différens corps du système.

Ce plan forme en quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Quels que soient les change-

mens que la suite des siècles amène cutre les corps c^ lestes, il demeurera toujours parallèle à lai-mèmE; et, puisqu'on en peut retrouver la position dans tou les temps , comme on retrouve celle du centre de gravité, eu y rapportant tous les corps du système, on aura toujours le moyen de comparer , d'une manière précise , les observations de l'Astronomie laites aoi époques les plus éloignées.

Nous rappellerons encore ce corollaire remarquable de la théorie précédente, que, dans un système de molécules solides et fluides, aniciiéus primitivemeDl par des forces quelconques et soumises A leur action mutuelle , s'il arrive qu'après un grand nombre d'oscillations, ces molécules se fixent à un état permanenl de rotation , autour d'un axe invariable passant pu leur comniuu centre de gravité (et l'on coajeccan avec assez de vraisemblance que c'est le cas des corps célestes), alors leur équateur, ou le plan perpendiculaire à cet axe , sera parallèle à celui qui recevait, i l'originedu temps, le maximum des aires relativeraenl au centre de gravité.

Mais nous n'étendrons pas plus loin ces- demiires considérations , qui ont été assez approfondies par le géomètre que nous avons cite. Notre objet principal e'taït de fonder une nouvelle théorie des luomeDs et des aires , d'étendre et de siniplifier à la fois toutecelte partie de la Mécanique, et de faire passer ainsi dan» les élémens les plus beaux théorèmes qu'on y eût fg jusqu'ici.

Rer

s par observt

jcllc .

ries a

a loi des aires, que

les plans i

t seront réciproquedes angles sous lesl'on voit que le cône a le cône décrit sous c'est-à-dire le

e sont pas les seules surfaces sur lesquelles is altératiou pendant le ment du système. La même propriété appartient  toute surface conique circulaire dont le sommet est placé au foyer des rayons vecteurs ; mais il faut projeter ces rayons sur le cône par des lignes parallèles à

Les aires décrites sur les surfaces de differens côues de même axe et de même .soir meut proportionnelles aux si.

quels ces cônes sont décrits: d' qui recevra l'aire la plus petiti l'angle droit autour de 1' plan perpendiculaire à cet axe.

Entre tous les cônes semblables de même sommet, mais d'axes dilTéiens, il y en aura un seul sur la surface duquel l'aire tracée par les rayons vecteurs sera un maximum.

Parmi tous ceux qui donneraient de même les aires maxima relativement aux dÎTera foyers de l'espace, il y en aura un seul qui donnera le minimum de ces aires maxima.

Pour les axes de cescâues remarquables, ils ne sont autre chose que les axes des momens ou des aires qui jouissent des proprie'tés analogues, et ils se détermineront absolument de la même manière. Enfin l'on trouvei'a , en considérant les aires tracées sur des cônes quelconques semblables , tous les théorèmes que nous avons donnés par rapport aux aires qui sont tracées sur de simples plans.