IX

Quant à ces aires nouvelles qui doivent entrer dan* la détermination de notre plan invariable , on poumil dire que celles qui viennent des mouvemens parliculien deR satellites , et même de la rotation de quelques pUnètes, sont des quantités assez petites, et que le plut invariable déterminé, en ne négligeant que ces pelitei quantités, différerait peu du véritable. Mais il faut i«marquer que l'aire due à la rotation du soleil est me quantité considérable, et qui ne peut être omise duu aucun cas; car, en supposant d'abord le soleil homogène, je trouve que cette aire vaut plus de 5o fois celle que It terre décrit en vertu de son mouvement dans son orbite annuelle. Si, comme il est vraisemblable, la denailé du soleil n'est pas uniforme, mais qu'elle augmente de la surface au centre en raison de la profondeur, OR bien encore suivant cette loi de densité que M. LapUtt emploie pour la figure de la terre, dans le tome V dt ■a Mécanique céleste, et qui fait la densité propot^ tionnelle à la racine cariée de la pression , je trouve que l'aire décrite a encore les deux tiers de la valent précédente. Et dans l'Iiypothcse même où la deusltï irait en croissant, depuis la surface, oùelle serait null^ jusqu'au centre, oùelledeviendraitinfinie, commeferait l'ordonnée d'une hyperbole équilatère qui s'avancerut parallèlement ;'i elle-même pour se confondre avec l'ïsymptote je trouve que l'aire dont il s'agit Taudnil

encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de l'honiogénéite. De sorte que, dans cetti: hypothèse qui paraît extrême, le plan invariable de M. Laplace, déter mine sans tenir compte de cette quantité, diflire autant du véritable, que si l'on eût oublié dans le calcul au moins a5[;lohes tels que le nôtre, qui auraient circulé comme lui, à la même distance du soleil, et dans un plan incliné d'environ 7° au plao de notre éclîptique. Cette omission altère donc d'une manière très sensible la position du plao invariable : or il est aisé de voir qu'elle change de plusieurs minutes son inclinaison à l'écliplique , et de plusieurs degrés, la longitude de son nœud ascendant. Ainsi il parait aussi nécessaire pour l'applicalion que pour la théorie , d'avoir au moins égard, dans le système du monde, à cette partie des aires qui vient de la rotation connue du soleil.

Il peut paraître surprenant que M. Laplace, qui le premier a eu l'idée de chercher , dans le système du monde, la position d'un plan invariable déterminé par la condition que la somme des aires projetées y soit un maximum, n'ait considéré dans son analyse que les aires décrites par les planètes en vertu de leurs laouvemens de révolution autour du soleil, et qu'il ait oublié, non-seulement les aires dues aux révolutions particulières des satellites , mais encore celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du soleil lui-même sur leurs propres axes. Et , si l'on est surpris que cette omission singulière ait pu avoir lieu, on ne l'est pas moinS qu'elle ait échappé jusqu'ici à ceux qni ont pu étudier ce point important de la Mé-

sux grandeurs et aux inclinaisons mutuelles d«^ rens couples qui le composent. Par celle notion diD»r inique des aires, il suffit donc de jeter les ycox sur système du monde pour voir que l'aire nuiximum. pour mieux dire, que l'aire résultante, doit être c posée , non-seulement de celliis qui viennent du lai vement des planètes dans leurs orbites, mais eocOR de celles qui naissent des mouvemens particuliers da satellites et de la rotation de tous ces trorps but lem propres axes : car bien que ces aires soient décritËsanlour de difFérens centres, comme elles . expression géométrique des couples qui les produiseol, il est évident qu'elles doivent être toutes rapporleetl im seul et même foyer , et se composer ensemble si leurs plans y étaient tous transportés parallèlemeiK àeux-mcmes.

Ainsi la composition des couples, qui a éteniin et «implifié toute la doctrine des aires, aura «ncare servi à nous faire découvrir une erreur qui pouvu! lester lonp-temps caclie'e dans une applicatioD de la Mécanique à l'un des plus grands objets du tème du monde. Cet exemple nous fait sentir I

aux notions primi-

l'importance qu'on doit attache:

tives et aux vrais principes des choses ; car le calcul n'est qu'un instrument, qui ne produit rien par Inimème, et qui ne rend en quelque sorte que les idfei qu'on lui confie. Si nous n'avons que des notions imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question qQc d'un point de vue borné, ni l'analyse ni le calcul ae lui apporteront plus de lumière , et ne donneront 1 nos résultats plus de justesse ou plus d'étendue : an contraire , on peut dire que cet art de réaliser en quel-

ïpie sorte par le calcul de fausses ou de vagues coucepndre l'erreur plus durable dire , une sorte de consis-

tions , n'est propre qu'à r en lui donnant, pour a tance.

Au reste , si l'on veut voir , par le calcul mèine , 1« déiaut des formules de M. Laplace , il n'y a qu'à considérer les trois e'qualions qu'il emploie , et d'où il part, comme d'une expression exacte de la conservation des aires sur les trois plans rectangles des axes coordonnés.

En plaçant l'origine ou.lefojer des rayons vecteurs au commun centre de gravité de tous tes corps m , m' , m°,etc., qui composent le système proposé, et nommant a:, ^, I, les trois coordonnées du centre du corps m ; x' , j^ , /, celles du centre de m' ; etc., et employant, pour abréger , le signe 2 pour indiquer la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit à la suite de ce signe, les trois équations dont il s'agit sont représentées simplement par

Or, je dis que ces foi

constante ,

rmules ne sont vraies qu'autant que les corps du système y sont réellement des points dont les masses respectives seraient m , m' , m" , etc. Que si m, par einemple , est un corps de dimension

finie, le terme m ^ a: -^ — ^ ~t\ 1"' ^'î rapporte -

4^ ÈQUATEDR

centre de ^avile' ii l'axe que l'on cODsidère; tanda que la vraie valeur de ce nioment d'inertie est égalai! produit précédent augmenté do momeot d'inerii: du corps par rapport à l'axe parallèle qm pMse en m centre de gravité.

Mais, indépendamment de ces aires dues aus routions du Roled et des planètes, on avait encore oublie celles qui naissent de» mouvemens particuliers da satellites : car , pour en tenir compte , il ne suJSl pa^, comme on peut le croire, de prendre pour la valeur de m la masse de la planète réunie i celle de ses utilités ; il faut encore ajouter les termes qui eipcimcut les aires dues aus révolutions particulières de aile planète et de ses satellites autour de leur coromoii centre de gravité. Et il faudrait mêiQe ajouter la petites aires qui sont dues aux rotations des satellile-' sur eu!i-mémes , si l'ou voulait être dans toute la rigueur des choses.

Les formules employées par M. Laplace ne peavent donc (même en faisant abstraction des satellites) aprimer exactement les aires décrites que dans le cas où les corps m, m , m° , etc. , seraient dépourvus de tontt rotation sur eux-mêmes, ou bien encore seraient d» points massifs (et dont il faudrait même supposer que la rotation n'est pas infinie) ; car il n'y a que l'une on l'autre de ces hypothèses qui puisse faire disparaîtit les termes qu'il a oubliés dans son analyse. Ces foimules ne donnent doue point, et ne donneront januii les valeurs des aires décrites dans le système des cor(e célestes i car tous ces corps sont de diuteuston &ok,

DU SYSTÈME SOLAIRE. 4o5

et ils tuunieiit actuellement sur leurs axes : et quand Lien même il arriverait, par quelque cause que ce fùl, que chacun d'eux se condensât, et se réduisît ea quelque sorte à sou centre de gravite , les aires actuelles dues à leurs mouvemens de rotation ne s'évanouiraient point. Par le principe mémo des aires, à mesure que cbaque corps se condenserait, il serait, pour ainsi dire , forcé de tourner plus vite , el de manière que l'aire due à sa rotation fût toujours eonservéc : d'où l'on voit que les expressions qui forment les premiers membres des équations de M. Laplace n'en seraient pas moins incomplètes qu'auparavant , et qu'ainsi ces équations ne peuvent jamais dotmer le plan du maximum des aires , le seul qui .soit rigoureuscinentinvariable.

A la vérité , si chaque corps était infiniment petit , et que par conséquent les distances de ses dtfTérentes mole'cules à un centre extérieur d'attraction pussent être regardées comme égales entre elles, on pourrait dire que la rotation de ce corps sur lui-même ne serait point altérée par l'attraction des autres. Et il en serait de même, si chaque corps, au Heu d'être un point massif, était un globe parfait de dimension finie , formé de couches concentriques dont chacune serait d'une densité uniforme dans toute son étendue; car, pour chacun de ces globes , les attractions des autres se réduisant toujours à une force simple qui passerait par le centre de ce globe, il est évident que s ment de rotation n'en serait pas plus troublé que dans le cas pre'ce'deut. Sans l'une ou l'autre de ces d suppositions , on pourrait donc dire que ta projetiii

4o6 EQUATEUR

des aires dues aux rotations des corps serait à pari une quantité constante sur cbacun des plans coordoDon; que par conséqnent les projections des aires dues ani seuls mouvemens de révolution seraient aussi à j^n des quantités constantes sur les mêmes plans, et qu'ainsi le plan déterminé par les équations de M. Liplace, s'il n'est plus, comme je l'ai fait voir, le pbn da maximuTn des aires , est du moins un certain plan qui demeure invariable de position , malgré faction mutnelle des diRerens corps du système.

Quoique les deux hypothèses précédentes n'ùeal point lien dans la nature , et qu'on puisse se dispenser de les examiner, il n'est peut-être pas inutile de loantrer ici tout ce qu'elles ont de faux en elles-nièmes tt de contraire à la question àa pbilosopliie nauirellc dont il s'agit.

Et d'abord ou pourrait remarquer que si chacun îles corps célestes était un globe parfait, tel que je viens de le dire , il serait fort inutile de faire un long calcul (et dépendant même de données assez oial connues), pour trouver un plan qui fût invariable dans le syslème du monde : car il suffirait de prendre comme tel le plan de l'équateur de l'un de ces globes , et , par exemple, celui du soleil, ou, ce qui serait encore plas simple et plus facile, celui de la terre que nousluJùtons. Il est clair que cet équateur resterait tonjoar* parallèle à lui-même dans l'espace, et qu'on y pourrait rapporter avec précision les plans des différent» orbites des corps célestes. Cette supposition, comis^ on voit, ne convient guère k notre système, puisqM

le seul aplatisse ment très petit de notre globe vers ses deux pôles suffit déjà pour déranger à cbaque instant noire équateur , comme on le reconnaît dans le ciel par le phénomène sensible de la pre'cessïon des ego inox es.

Mais, pour en venir à cette hypothèse imaginaire où les planètes seraient des globes parfaits , je dis que , même dans ce cas , il ne serait pas permis de proposer, comme un plan qui doit rester invariable dans toute la suite des siècles, ni l'un des équateurs de ces globes, ni le plan déterminé par les formules de M. Laplacc , où l'on ne lient pas compte des aires dues aux rotations des corps du système. Et en effet, pour afBrmer qu'un tel plan demeurera invariable, il fau~ drait être assuré que la ligure des corps ne sera point changée, soit par quelque rencontre ou cboc mutuel qui pourrait survenir entre eux, soit par quelque forCe intérieure qui viendrait à s'y de'i'elopper, ou même par quelque explosion subite qui ferait éclater le corps en plusieurs fragmens , comme M. Olbers , et après lui quelques géomètres , conjecturent que cela est déjà arrivé à l'une des anciennes planètes de notre système , laquelle, en se brisaat, aurait produit les quatre planètes nouvelles qu'on a nommées P allas , Cérès, Junon et ^ettia. Or la ûgure du corps étaut ainsi changée, soit par une de ces causes , soit par toute autre qui nous est inconnue , l'aire due à la rotation de ce corps sur lui-même commencerait d'être altérée par l'action des autres , et cesserait d'être à part une quantité ci tante. Les aires dues aux mouvemens de révolution cesseraient donc aussi d'être constantes , et ni l'équateur du corps ni le plan dont j'aî parlé ne seraient f

4o8 EQUATEUR

invariables de ppaition dans l'espace. Ainsi l'o que tous ces plans viendraient à changer , tandis qui le nôtre resterait le même, et que la grand.

l'aire qui y lonibe n'aurait pu éprouver la moindre altéraiion , par aucune de ces causes qui auraient ironblé toutes les aires individuelles qui la composent