II

3. Maintenant, sî nous représentons les directions des forces par des lignes droites, et leurs intensités par des longueurs proportionnelles prises sur ces lignes, ou par des nombres, 'il est clair que les forces pourront être soumises an calcul comme toutes les autres grandeurs; et de là résulte ce problème général dont la solution est l'objet de la Mécanique :

'I Un corps ou système fjuflconcjue de corps fêtant sollicité par de certaines forces données , vfnatver le mouvement que ce corps prendrez dans fespfice.

Et réciproquenieiil : Quelles doivent être les ^éfelations des forces qui agissent sur un système , ^pour que ce système prenne dans l'espace un \.ifmouvement danné ; ce qui esl au fond la même ijquestionqne la précédente.

r^ 4- Pouri-ésoudre ce problème général, on |

^commence par résoudre ce cas particulier où ' l'on demanderait quelles doivent élre les rela- ' rrions des forces, pour que lu sj-stème auquel ^ «Iles sont appliquées prenne un mouvement

^al à zéro, c'est-à-dire demeure en équilibre. ^Ce problème une fois résolu, il est 1res facile j

.d'y ramener l'autre; et voilà pourquoi l'on J

4 ËLÉMERS

commence ordinairement l'élude de la Mecani' que par celle de la Statique, qu'on dcflnit la science de l'équilibre desjorces.

L'autre partie de la Mécanique traite ensuite de toutes les questions qui se rapportent au mouvement des corps; elle s'appelle Dynamique, ou science du mouvement. Mais nous ne nous occuperons ici que de la science de l'équilibre.

5. Rffmarquez d'abord que dans la Statique proprement dite , il n'est pas nécessaire de connaître l'effet actuel des forces sur la matière, c'esl-à-dire les divers mouvemens qu'elles sdnt capables de lui imprimer, eu égard à leurs inj .^nsités et à leurs directions; mais qu'il suffit I Àe considérer les forces comme de simples grandeurs homogènes, et par conséquent comparables, et d'assigner les rapports qui doivent exister entre elles pour qu'elles se détruisent [ 'mutuellement. Lorsque l'on passe de la théorie de l'équilibre -î celle du mouvement, il faut de nouveaux principes sur l'évaluation des forces ; car, ne calculant plus alors que leurs effets, il faut savoir les y rapporter : estimer, par exemple, si une force double produit sur le même corps une vitesse double, ou si la même force, appliquée s un corps de masse double , produit

une vitesse deux fois moindre; etc. Mais ici, <]uelle que soit ractiou des forces sur les corps» que les forces soient proportionnelles ou noo à leurs effets sensibles , les vérités que nous allons exposer n'en subsisteront pas moins , parce que ces vérités résultent de la seule présence actuelle de plusieurs forces qui n'obtient fient aucun effet, mais qui se détruiseul avec ^évidence : de sorte que l'état d'équilibre des I. corps reste comme un moment singulier de ^ J!état de mouvement, où la mesure des forces Dar leurs effets, et leurs effets mêmes ont disj^u.

" 6. Rigoureusement partant , un corps en ^équilibre est dans le même état que s'il était en repos ; car l'effet des forces étant anéanti pour A>ujours, ou s'anéantissant à cbaque instant, si les forces sont sans cesse renaissantes, tout rarps en équilibre est actuellement capable de se mouvoir en vertu d'une certaine force donnée, absolument comme il se serait mu en TCrtu de la même force, s'il eût été en repos. Cependant on peut dîstinfjuer l'équilibre d'avec le repos, en ce que, dans le second cas,lecorps Q'est sollicité par aucune force , au lieu que, dans l'autre , il est sollicité par des forces qui a'entre-délruisent.

ÉLÉMEWS , au lieu de supposer les points a et «',

b et b', c et c', etc. , coïncidens, on les supposait unis d'une manière invincible, de sorte que a ne pût se séparer de a', b de b', c de <f, et ainsi des autres : d'oîi il résulte que les conditions de l'équilibre entre des forces P, Q, R, S, etc., appliquées à un système quelconque de corps, sont les mêmes conditions qui auraient lieu entre les mêmes forces P, Q, R, S, etc., appliquées au simple système des points d'application a, h,c, d, etc., liés entre eux d'une manière invariable.

Ainsi , loi-sque l'on cherchera les relations de certaines forces qui se font équilibre autour d'un système quelconque solide, un pourra faire abstraction de tous les corps du système , et supposer qu'il ne reste plus que les points d'application a, b, c, d, etc., qu'on imaginera liés entre eux de manière à ne pouvoir changer leurs distances mutuelles.

D'après ces considérations , l'on dégage do problème et le poids et le volume des corps , et la question devient plus simple.

Par la suite, nous rendrons aux corps leur

nesanteur, et nous aurons égard à leurs poids

(ifs, comme à de nouvelles forces qu'il

It combiner avec les autres, pour avoir

•e. Nous pourrons , de celte nta-

nière, appliquer les résultats de la Statique à l'équilibre des corpis naturels qui sont tous pesans.

8, Maintenant, puisqu'il ne reste plus à considérer dans l'équilibre des forces que trois choses, savoir: leurs intensités, leurs directions et leurs points d'application, il est visible que les conditions de l'équilibre ne sont autre cbose que les relations mutuelles qui doivent exister entre ces trois choses, pour que l'équilibre ait lieu dans le système. Or, on peut déjà comprendre, et l'on verra bientôt que ces relations peuvent être exprimées par des équations OÙ l'on ferait entrer immédiatement les intensités des forces, leurs directions, au moyen ^es angles qu'elles forment avec des draites i^xes dans l'espace, et leurs points d'application,

I /m moyen des coordonnées qui eu déterminent les positions respectives.

C'est ainsi qu'on peut se faire une idée du

I, iproblème de la Statique , et se mettre au fait de Jlétat de la question.

i^. Mais on pourra observer que, dans tout ce ■^e nous venons de dire, il ne s'agit que d'un

^^»rps libre dans l'espace, tandis que l'on con-

( çoil bien qu'un corps pourrait être assujetti à

(o ËLËUËNS

de certaines conditions , comme , par exemple , de tourner autour d'un point ou d'un axe fixe , de s'appuyer constamment sur une surface impénétrable, etc. Mais on verra par la suite que les résistances qu'un corps éprouve à cause des conditions étrangères qui l'assujettissent, peuvent toujours être remplacées par des forces convenables, et qu'après cette substitution de forces à la place des résistances , le corps peut être regardé comme libre dans l'espace; ainsi il était inutile de compliquer au commencement la question.

9. Pour découvrir actuellement la route qui peut nous conduire aux conditions de l'équilibre , représenlons-nous un corps ou système tenu en équilibre par des forces quelconques P, Q, R. S , etc., dirigées comme on voudra dans l'espace.

Puisque toutes ces forces se font équilibre , on voit que l'une quelconque d'eutre elles, la force P, par exemple , s'oppose seule à l'action de toutes les autres Q , R , S , etc. ; d'où il parait que l'effet de ces dernières est de solKciler le système absolument comme une siujple force ég^le et contraire à la force P.

C'est en effet ce f]ui a lieu , et ce qu'on peut porter à la dernière évidence au moyeu de la remarque précédente (6), et de cet axiome, que deux forces égaies el opposées se font nécessairement équilibre {12).

Car, supposons que l'on applique au système une force P' parfaitement égale et contraire à la force P. Les forces P et P' élant en équilibre, leur effet est nul de lui-môme, et l'on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu'à l'action des forces Q , R , S , etc. Mais , d'un autre côté , la force P faisant équilibre aux forces Q, R, S, etc., leur effet est aussi nul de lui-même , et l'on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu'à l'action de la simple force P'. L'état du corps est donc identiquement le même, soit qu'on le suppose sollicité par les forces Q , R , S , etc. , soit qu'on le suppose sollicité par la seule force P' égale et contraire à celle qui leur ferait équilibre.

Donc, puisqu'il peut arriver qu'une seule force soit capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs, el en tienne parfaitement lieu , notre premier soin duit être de chercher à réduire les forces appliquées au plus petit nombre possible , et d'obsefver surtout ta loi de cette réduction. Alors les condi-

ta ÉLÊMEHS

tïons de l'équilibre entre toutes les forces se ramèneront aux conditions de 1 équilibre entre ces forces finales équivalentes aux premières, el deviendront plus faciles à exprimer.

JO. Cette force, qui est capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs autres forces combinées, et qui peut à elle seule en tenir parfaitement lieu, se nomme leur résultante. D'où l'on voit , en rappelant ce qui a été dit plus haut , que si plusieurs forces se font actuellement équilibre sur un corps, l'une quelconque d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

Les autres forces, à 1 égard de la résultante , se nomment les composantes. La loi d'après laquelle on trouve la résultante de plusieurs forces se nomme la composition des Jorces. La même loi (mais prise dans l'ordre inverse), d'après laquelle on substitue à une seule plusieurs forces capables du même effet , ou dont la première serait la résultante, se nomme la décomposition des forces.

Nous allons donc commencer par ces deux recherches, qui, au fond, n'en forment qu'une seule, celle de la loi qiiî lie la résultante à. sçs composantes. ; |^,[ ^j ,^,,j

DE STATIQUE. i3

1 1 . Souvent , ponr abréger le discours , aous appelleroDS forces parallèles, des forces dont les directions sont parallèles; forces concourantes, des forces dont les directiouM concourent > etc.

Nous désignerons ordinairement les forces par les lettres P, Q , R , S , etc. , placées sur les ligues qui représentent leurs directions; et si une lettre, telle que A, indique le point d'application d'une force , telle que P, par exemple, nous supposerons toujours que l'action de cette force a lieu de A vers la lettre P, ou que la force lire de A en F.

Si , pour représenter la quantité de cette force , on prend , sur sa direction , et à partir du point A, une certaine ligne terminée AB, on supposera de même que cette ligne est portée du côté où le point d'application A tend à se mouvoir. Ainsi , quand on dira simplemeut d'une force, qu'elle est représentée en grandeur et en direction par une certaine ligne terminée qui part du point d'application, il faudra sous-entendre que la force tire ce point vers l'extrémité de la ligne qui la représente.

On pourrait adopter l'hypothèse contraire, c'est-à-dire supposer que la force représentée par la ligne AB pousse le point d'application A

pour l'éloigner de l'extrémité B de la ligne qui la représente ; car il ne s'agit ici que d'une simple convention dont on est le maître , et l'on peut faire indifféremment l'une ou l'autre. Mais, une fois qu'elle est faite, il faut avoir soin de s'y conformer dans la figure, pour toutes les forces que l'on considère, afin de donner à chacune d'elles le sens qu'elle doit avoir, et à l'énoncé du théorème toute son exactitude.