SECTION PREMIÈRE

CQMPOSiTIOS ET DÉCOMPOSITION DES F0IICS8.

^ociomes, lemmes préliminaires, etc.

13. Il est évident que deux forces égales et contraires appliquées à un même point sont en équilibre.

U est encore évident que deux forces égales et contraires appliquées aux extrémités (Tune droite considétêe comme une verge invariable de longueur, et agissantes dans la direction de cette droite , sont en équilibre; car il ii'y a pas de raison pour que le mouvement naisse d'nn c6té plutôt que de l'autre , comme dans le premier axiome.

i ËLËMENS

Corollaire.

i5. Il est facile de conclure de là que l'effet d'une force qui sollicite un corps ne peut être changé en quelque point de sa direction qu'on la suppose appliquée , pourvu que ce point soit un des points du corps lui-même , ou , s'il est au dehors, qu'il lui soit invariablement attaché.

Car, soit une foree quelconque P (Hg. i) appliquée au point A d'un corps ou système quelconque : si l'on prend, sur la direction de cette force, un autre point B invariablement lié au système, de manière que la longueur AB reste toujours constante, et si l'on applique au point B deux forces P', — P' égales entre elles et à la force F, et agissantes dans la direction de Afi, le ppiut A sera encore sollicité de la même manière qu'auparavant ; car l'efTet des deux forces P'et — P' est nul de lui-même. Mais en considérant la force F et sou égale et contraire — P' appliquée en B, il est manifeste que leur effet est aussi nul. On peut donc les supprimer, et il ne reste plus que la force P', qui n'est autre chose que la force P, mais appliquée au point B de sa directiQU ; et le point A n'a pas cessé d'être sollicité de la même manière.

.\0n peut donc appliquer une Jorce enimpoinl Icoiujue de sa direction, pourvu que ce point '■ lié au premier point d'application par une Mgne droite rigide et inextensible.

' ' Remarque.

Lorsque nous changerons ainsi les points f^*àppUcatîon des forces , nous ne répéterons ■pas toujours que l'on doit supposer les nouveaux points Invariablement attache's aux prelaiers, mais 11 faudra toujours le sous-en tendre. I (I Lemme.

'■' 14. Lorsque deux forces P et Q (fîg. 2) sont Fig. a.

' itjipliquées à un même point A sous un angle

j quelconque, on conçoit bien qu'une troisiènie

force R, appliquée convenablement au point A,

: pourrait faire équililire aux deux forces P et Q;

I Car, en vertu des efiorts combinés des deux

forces P et Q, le point A tend à quitter le lieu

, ffù il est ; or, il ne peut s'échapper que d'un

I |eul c6té, et par conséquf^nt, rt^i l'on applique

une force convenable en sei^s contraire, ce

I tioint demeurera en équilibre.

Les trois forces P, Q, R, étant en équilibre autour du point A , la foree R est égale et directement oppoiïéé a là résullaale des deux i àtitre^(io) : donc deux forcesP et Q qui «onî ÇOareot (»t WieTésultantc.' >

i« ÉLÉMEirs

En aecood Keu, il est visible que cette r^£* lanfe doit être dans le plan de lears directions AF) AQ (tig. 3); car il n'y a pas de raison poar qu'elle ait an -dessus da plan une certaine position, plutôt que la position parfaitement symétrique au-dessous.

De plus , elle doit être dirigée dans Fangle PAQ des deuï forces; car il est clair que le point A ae peut se mouvoir dans la partie du plan qui est au-dessus de la ligne AQ, versD; de même il ne peut se mouToir au-dessus de la ligne AP, vers B; et par conséquent il ne pourra se mouvoir que dans l'angle PAQ, et la résultante R devra être dirigée daus l'intérieur ^ cçt angle ■

.A iiii-^ii Remarque.

' ^l!î. II n'y a qu'un seul cas où l'on puisse voir à priori quelle sera la direction de la résultante ; c'est celui où les deux forces Pet Q sont égales : alors il est clair que la résultante divise en deux également l'angle qu'elles forment entre elles; car il n'y a pas de raison pour que cette résultante fasse, avec l'une des composantes > un angle plus petit qu'avec l'autre.

axiome fondamental.

16. Lorsque les deux forces P e/ Q agissent dans la même direction et dans le même sens^

DE STATIQUE, t^

il est visible , et l'on doit accorder comme um axiome, que ces forces s'ajoutent et donneitt une résultante égale à leur somme P-f^Q. o?

Renuirque.

Cet axiome est le fondement de toute la science de l'équilibre. On peut le regarder, à l'on veut, comme une espèce de définition , on <Je demande , (ju'il ne faut pas essa^fer de démontrer, car elle est comprise dans l'idée même de la force , considérée comme grandeur, c'està-dire comme susceptible d'être augmentée ou diminuée. Et en effet, quelle idée pourrait-oB se faire , par exemple , d'une force double ou triple d'une autre , si l'on ne regardait cette force comme la réunion actuelle de deux ou de trois forces égales qui tirent à la fois le même point dans le même sens ? C'est ce qui a été naturellement sous-entcndu dans tout ce qui précède. Au reste, ce postulatum e%\.\e seul que la science exige ; après quoi tous les théorèmes de la Statique rationnelle ne sont plus au iioad que des théorèmes de Géométrie.

Corollaire.

I - ^7^ De l'axiome qui précède on peut con-; *lui« (en combinant successivement les forces deux à deux) que la résultante de tant de forceS

ÉLÉMESS [ qiie l'oD voudra, qui agissent daus une même' I cttrection et dans le même sens, est égale àleuc i somme totale, et .-igît dans la niéme direction; Que loisque deux forces inégales P et Q agissent en sens contraires dans une même direction, leur résullante est égale à la différence P — Q des forces , et qu'elle agit dans le sens de là plus grande; car on peut concevoir dans la plus grande , que Je suppose P, par exemple, une force égale et contraire à Q , et qui la détruit. On peut supprimer ces deux Torces-ià, et le point est actuellement tiré par la différence Pi — Q des deux forces P et Q.

" D'où l'on voit qu'en général la résultante de tant de forces que l'on voudra, agissantes dans là même direction , est égale à l'eœcès de la Homme de celles qui tii^nt dans un sens , sur îk somme de celles qui tirent dans le sens con- Kraire , et qu'elle agit dans le sens de la plus I gtande somme.

Remarque.

i8. Telles sont quelques-unes des propositions les plus élémentaires, dont on découvre la vérité à priori , et prcsqu'à la première inspection. Le cas le plus simple de la compositiondes forces , et en même temps celui où l'on* eouD^lt tout d'un coup la résultante, est évi-i

DE STATIQUE. ar

[( boniment le cas des forces qui agissent dans ! même direction. Noos allons donc commencer la composition des forces par relies qui s'y iBmènent immédiatement.

Composition des forces qui agissent suivant des directions parallèles.

Théorème I.

19. Si dcuM forces quelconques F et Q ( fig. 4 ) > parallèles et de méine sens , sont ap- ^ '%■ *plrquées aux extrémités A et B dune divite rigide AB , je dis :

1 '. Que ces deiixfoives ont mie résultante , et que cette résultante doit être applitfuée à la ligne AB entre les deux points \ et \^■,

2". Que cette Jorce est parallèle aux composantes P et {}, et égale à leur somme.

i". Appliquez à volonté aux deux points A et B deux forces M et 1\ , égales et contraires, el qDÎ agissent dans la direction AB. L'effet de ces deux forces sera nul, et par conséquent l'effet des deux forces P et Q ne sera pas changé : mais les deux forces M et P appliquées en A ont une résultantes appliquée au point A, el dirigée dans l'angle MAP (14)- De même les deux forcesN elQ ont une résultante T, appliquée en B et dirigée dans l'angle NBQ. Cooce-

n ÉLÉMENS

vez qu'on ait pris ces deux résultantes, et qu'on les ait appliquées toutes deux au point D où leurs directions vont nécessairement se couper^ la résultante des deux forces S et T sera absolument la même que celle des deux forces P et Q : or, étant appliquée en D , et devant être dirigée dans l'angle AUB , elle ira passer entre A et B, en un certain point C, où l'on pourra la supposer appliquée.

a". Maintenant, pour démontrer que cette résultante est parallèle aux forces P et Q, et égale à leur somme, imaginons qu'au point D on redécompose la force S en deux composantes M' et P', parfaitement égales et par-ijlèles aux premières MiCt P; de même, qu'on redécompose la foi'ce T en deux composantes N' et Q', parfaitement égales et parallèles aux premières N et Q. Les deux forces M', N' seront égales : de plus, elles seront directement opposées,, puisque, appliquées à un même point D, elles sont parallèles à une même droite MN, et par, conséquent leur effet sera absolument nul, 11 ne restera donc que les deux forces P' et Q', respectivement égales et parallèles aux forces P et Q. Or, ces deux forces étant évidemment dans une même direction , se composeront en une seule R, égale à leur somme P' + Q' ou P + Q ; ce qu il fallait démontrer.

^^H DE STATIQUE. ai

^^^H| Corollaire I.

\ 20. Si les deux forces P el Q (fig. 5) sont Fi», 5.

égales entre elles, le point C d'application de [ la résultante sera au milieu de la ligne AB. Pre- 1 lions , en effet , les deux forces M et N dont On ' est maître , égales aux forces P et Q. La résultante S des deux forces égales M et P divisera en deux également l'angle MAP(i5); et à cause , de DC parallèle à la ligne AP, le triangle ACD , sera isocèle. Par une raison toute semblable, le triangle BCD sera isocèle ; et l'on aura d'une part, AC=CD, et de l'autre; CD = CBjd'o\i , AC=:CB.

Corollaire II.

\ 3 1 . 11 résul te de là que la résultante de tint ' ie forces parallèles qu'on Tondra , égales deux «deux, et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d'une même droite , est égale à la somme de toutes ces forces , ïeur éfct parallèle , et passe par le niilieu de la droite d'applicalion. Car, en combinant successive- Hient deux à deux les forces égales placées de part et d'autre h des distances égales du milieude la ligne droite, leurs résultantes successive» passeront toutes par ce même point, et s'ajou—

a4 ÉLÉMENS

leront ensuite, comme étant de même sens et

de même direction.

22. Et recipioquement on pourra décomposer toute force P appliquée à une ligiie, en tant d'autres forces parallèles qu'on voudra, appliquées à difiërens points de cette ligne, pourvu que ces forces , deux à deux , soient égales, à égales distances du point d'application de la force P, et que leur somme totale soit égale à cette même force.

Théorème II.

ïig. fi. 25, Le point C (fig. 6) d'applicatiôfi de la résultante de deiix forces parallèles P e( Q qui agissent aux extrémités A ci B dune droite inflexible AB, partage cette droite dans la raison récipmqne de F à Q:de sorte que l'on a, P : Q :: UC : AC.

Supposons d'abord que les forces P et Q soient commeusurables, c'est-à-dire soient eotre elles comme deux nombres entiers m et n.

Divisons AB au point H en deux parties directement proportionnelles aux deux forces P et Q; de manière qu'on ait: AH ; BH :: P : Q, et par conséquent , :: m : n. Sur le prolongement de !a ligne inflexible AB, prenons AG =:AII, etBK=BH. LepointA sera le milieu de GH , et le point B le milieu de HK.

DE STATIQUE. s5

|i-. Cela posé, puisque les forces P et Q sont entre elles comme les lignes AU et BH, elles I -Seront aussi entre elles comme les mêmes lignes ^doublées, c'est-à-dire comme les ligues GH et HK, Et comme il j a , par h^potlièse , dans la ligne AH , m mesures telles que BH en contient n, il y aura 2m mesures dans GH, et 3r mesures égales dans HK. Or, on peut décomposer la force P en am forces égales et parallèles, appliquées aux 2m points milieux des communes mesures de la ligne GH (43) ; et la force Q en 2« forces parallèles, égales entre elles et aux premières, appliquées aux an points milieux des communes mesures de la ligne HK, Maintenant toutes ces forces égaies , étant équidistautes, se trouveront placées deux à deux à égales distances du milieu C de la ligne entière GK , et par conséquent leur résultante générale , qui est celle des deux forces P et Q, passera nécessairement par le milieu de la ligne GK.

Mais à cause de GC = AB , îl vient , en retranchant la partie commune AC, BC= AG =:AH; et en ajoutant de part et d'autre CH, AC=BH. Donc puisque l'on a P:Q::AH:BH^ on a aussi :