P : Q :: BC : AC

tLÉME5S Supposons en secood lieu, que lesdeuzfoh:es

soient i

PetQ

I pas

cornmeosarables.

; d'abord o

i la résultante de

Je remaixfne d abord qae s

• deux forces qaelcooqaes P et Q (fig. 7) appliquées aux points À et B, tombe enC, la ràultanlede U force P eiduoe force Q-H I > Q tombera entre le point C et le point B ; c'est-à-dire <pie le point d'application de la résaltante s'approchera da point d'application de la compoaanloqui aura augmenté. En effet, pour trouver U résultante des deux composantes Pet Q + I»

on peut prendre d'abord la résultante R de F et Q, qui pa^e au point C, par hypothèse, et ensuite celle de R et de 1 ^ dont le point dapplication sera entre C et B (19).

Maintenant, sila résollante des deux forces

, incommensurables P et Q (fig. 8) ne passe pa» BU point C , qui est tel qu'on a P : Q :: BC : AC^ elle passera en un aulre point situé entre A et C, on entre C et B. Supposons que ce soit en G entre A et C. Partagez la ligue AB en parties égales toutes; plus petites que CC , il y aura au

I inoîns un point de division entre C et G. Soit I ce point ,■ les deux lignes AI et Bl seront com- Diensurahles , et le point i pourra être considéré comme le point d'application de la résultante de deux forces P et Q' qui seraient telles qu'on aurait P : Q' :: BI : Al , ce qui donne

(y < Q ( puisqu'on a , par hypothèse , ■ P : Q :: BC : AC). Mais la résultante des denx forces P et Q' passant en I , celle des deux forces P et Q > Q', passera entre I et B, et ne pourra tomber en G contre l'hypothèse.

On ferait voir absolument de la même manière qu'elle ne peut tomber entre C el B; et par conséquent elle passe nécessairement en C.

Corollaire I.

a4> Lorsque trois forces parallèles P, Q, R (fig. 9) sont eu équilibre sur une ligne AB , l'une F'g- ; d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante des deux autres. Ainsi la force Q, par exemple, prise en sens contraire, est la résultante des deux forces P et R. Comme les deux forces P ut Q tirent dons le même sens, la force R est égale à P-|-Q, et par conséquent Q = R — P; d'où il suit que la résultante de deux forces parallèles qui agissent en seus coatraîres est égale à leur diôérence, et tire du même côté que la plus grande.

aS. Les deux forces P et R étant données, ainsi que la distance AC qui sépare leurs points d'application, si l'on demande le point d'application de la résultante Q, on fera cette proportion,P:Q::BC: AC; d'où l'on tire P-f-Q;

iro- M

Q::BC4-AC;AC, c'est-à-dire R:Q:: AB:AC,

1 ^"portion qui fera connaître AB , et par con- JWquent le point B.

. 30. Supposons que les deux forces P et R soient égales, lare'sultanteQsera zéro, etla distance AB de son point d'application sera , par la

proportion ci-dessus, ^ , c'est-à-dire infinie.

Si les deux forces P et R, au lîeu d'être égales, différaient d'une quantité très petite, îa résultante Q, qui est égale à cette différence serait très petite, et la distance Ali = ^-ï^- serait 1res grande, à cause du dénominateur Q très petit : ainsi , plus les deux forces s'approchent de régalité , plus ta résultante dimioue, et plus la distance du point où elle est appliquée augmente. De sorte que , loi-sque les deux forces deviennent parfaitement égales, la^ résultante est nulle , et la distance du point d'application, infinie; ce qui parait annoncer'qu'll n'y a plus alors de résullante , ou , en termes plus clairs , qu'on ne peut pas trouver actuellement une force unique qui fasse équilibre à deux forces égales, parallèles et de sens opposés.

2^. Maïs , pour ne laisser aucun nuage sur cette dernière conséquence , imaginons, s'il est possible, qu'une force unique R fasse équilibre aux deux forces Pet — P, parfaitement égales , parallèles el conlraires.

D'abord, quelle que soit la posilion de celle force unique à l'égard des deux proposées, ou lui trouvera sur-le-champ, dans un sens contraire , une autre positiou toute semblable à regard des mêmes forces ; car tout est égal de part et d'autre. Si donc une force R fait équilibre aux deux forces P et — P, il j a une autre force — R égaie , parallèle et de sens opposé ^ qui leur ferait aussi équilibre. Ajoutez celte a«conde force — R, el pour ne rien changer, détruisez-la immédiatement par une force R' ^ale et contraiie. Il y aura doue équilibre entre les cinq forces R, P, — P, — R et R'. Mais il y a équilibre entre les trois forces P, — P et — R : donc il y aurait équilibre entre les deux forces restantes R et R'; ce qui est impossible, puisque ces deux forces égales et parallèles agissent dans le même sens (19).

Ainsi les deux forces P et — P ne peuvent Mre tenues en équilibre par aucune simple force, et par conséquent elles n'ont point de résultante unique.

Nous reviendrons bientôt sur ces sortes de

it ÉLÉMEKS

trîème force P", et divisant la droite FD en deux parties réciproquenitint proportioDiiclles aux forces X' et P", on aura le point G d'appliéation de la résultante générale R , qui sera parallèle aux deux forces X' et P", et par conséquent à toutes les composantes; égale ,i leur . somme X'+P", et par conséquent à la somme ' de toutes les composantes.

Le raisonnement que nous venons de faire s'étend manifestementà un nombre quelconque de forces parallèles.

Si parmi les forces P, P', P", etc. , les unes agissaient dans un sens, et les autres, dans le sens contraire, on commencerait par prendra la résultante de toutes celles qui agissent dans le même sens ; on chercherait ensuite la résultante ' de celles qui agissent dans le sens contraire; et toutes les forces étant alors réduites à deu t forces parallèles et de sens contraires, on en trouverait la résultante par ce que nous avons dit plus haut.'

5o. On peut donc , en général , détermînei* la position et la quantité de la résullante âé tant de forces parallèles qu'on voudra; cette rvsuliftnte sera parallèle aiuc forces , et égale à'Pexcèî de la somme de celles qui tirent danf UnaenS', sur lasomme de celles qui tirant dant^ '«afnsicontratre, ' ■ "j i'--- ""l 'n(tK|

J'ai dit en général , parce qu'il peut arriver que la résultante des foires qui tirent dans ud sens soit parfaitement égale à la résultante de celles qni tirent dans le sens contraire, sans lui être directement opposée; et alors il ny a pas de résultante unique, comme nous l'avous vu plus haut.

Corollaire V.

5i. Supposons que les quatre forces F, F', P", F'", sans changer de grandeurs , sans cesser d'être parallèles et de passer aux mêmes points respectifs A , 13 , C , D , viennent à prendre les positions p, p' , p" , p'" , dans l'espace.

Si l'on en cherclie la résultante, en suivant le même ordre que plus haut, on trouvera d'abord que la resultanto jc de p et p', passe au même point I que la résultante X de F et P',,et qu'elle lui est égale. Elle passera parle même point, parce que son point d'application ^loit diviser la même droite AB dans la raison réciproque de p a p', qui est la même que celle de P à F'. Elle lui ser^ égale, parce qu'on aura P-4-P'=p+/>'. On trouvera de même queja résultante x' de a: et p", passera au même point F que la résultante X' Je Xet P", et qu'elle lui sera égale, et ainsi de suite : de sorte que la résultante générale des quatre forces p, p*,

84 Hlëmeks

/!*, p"', passera au même point que la résultante des quatre forces P, F, P", P'"; et cela est général , quel que soit le nombre des foi-ces ; d'où l'on peut conclure ce iheorèrae remarquable i

53. Si l'on considère, un système quelconque de forces parallèles, appliquées à un assem* bîage de points A , B, C j D , etc. , et qu'on incline successivement tout le système de ces forces dans diverses situations, de manière que les mêmes forces passent toujours parles mêmes points et conservent leurs grandeurs et leiOparallélisme, les résultantes générales qu'iyA trouvera successivement dans chacune de ceè positions se croisemnî toutes au même point.

Ce point d'intersection des résultantes successives se nomme le centre des forces parai" lèles. Noua aurons occasion d'en parler plu8 loin , quand il sera question des centres de graTité.

On peut remarquer, au reste, que dans la dénnOnstralion précédente , il n'est pas nécessaire de supposer que les forces conservent loujonTs les mêmes grandeurs : il suffit que, Aam les positions successiv*-'s du groupe, elles dtiineurent proportionnelles.

DE STATfQUK. 36

} X/ompositîo7i des forces dont les direc~ t> fions concourent en un même point.

Théorème III.

53. La résultante de deux forces quelconques Y et Q (fig. 12) appliquées à un mëmeTi%. point A sous un an^le quelconque , est dirigée fuii>ant la diagonale du parallélogramme ABCD construit sur les deux lignes AB , AC, qui représentent les jorces P ei Q en grandeur et en direction.

D'abord, nous avons vu (i4 ) que celte résnlUnte doit être dans le plan des deux forces P et Q j en second 1 ieu , qu'elle doit être appliquée au point A , pui^ue cette résultante , par hypothèse, doit solliciter le point A absolsment de la même manière que les deux forces PetQ.

Je dis maintenant qu'elle doit passer au point D , extrémité de ia diagonale AD.

Prenons, en effet, sur le prolongement de la ligne BD la partie DG=DC, et achevons le losange CDGH. Appliquons aux points G et H, et dans la direction de GH, deux forces Q' et Q" contraires , égales entre elles et à la force Q Il est facile de voir que la résultante des quatre forces P, Q, Q' et Q" doit passer au point D.

36 ËLËMENS

Car, I*. à cause de Q'=:Q, les deux forces " parallèles Pel Q'sont entre elles comme les côtés AB, AC, ou comme DC etDB, ou bien, à cause de DC=DG, comme les lignes DG etDB, et par conséquent (aS) leur résultante S passe en D; 3°. les deux furces Q et Q'' étant égales, leur résultante T, prolongée, divise en deux également l'angle CHG du losange CDGIT, et Ta passer aussi par le point D, oii l'on peut la supposer appliquée. Donc la résultante générale, qui est celle des deux forces S et T, passe au point D.

Mais les deux forces Q' et Q" appliquées sur GH étant parfaitement égales et contraires, leur effet est absolument nul, et la résultante des quatre forces P, Q , Q' et Q" est identiquement la même que celle des deux forces P et Q. Donc, puisque la première passe en D , celle des deux forces Pet Q passe aussi au même point.

Puisque la résultiinte pas^e à la fois par les deux points A et D, elle est donc nécessairement dirigée suivant la diagonale AD.

Corollaire.

34' Concluons de là que si l'on connaissait seulement les directions des deux forces P et Q. (fîg. i3), et celle de leur résultante R, on pourrait déterminer te rapport de la force P à

la force Q. Car, en prenant sur la direction de la résultaute un point quelconque D, et menant de ce point deux parallèles DC et DBaux directions des composantes P et Q, et qui rencontrent ces directions en C et B , on aurait nécessairement P : Q :: AB : AC. Sans quoi l'on aurait P est à Q comme AB est à une ligne AO plus petite ou plus grande que AC; et alors la résultante des deux forces Pet Q serait dirigée suivant la diagonale i*I d'un parallélogramme AOIB différent du parallélogramme ABDC,cs qui est contre l'hypothèse.

Théorème IV.

55. La résultante de deux forces quelconques P e( Q (fig. i4) appliquées à un même fi( point A , est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme ABDC, construit sur les deux lignes AB , AC qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

Nous avons déjà vu que celte résultante est dirigée suivant la diagonale ; reste à faire voir qu'elle est représentée en quantité par la diagonale elle-même.

Soit R cette résultante ; supposez qu'elle soit appliquée au point A sur le prolongement de la diagonale BA , en sens contraire de son »'"-

tion. Les trois forces P, Q, R seront en équili-> bre sur le point A. Donc l'une d'elles, la force Q, par exemple, sera égale et directement opposée à la résultante des deux autres P et R. Donc la direction de la forco Q, prolongée, sera celle de la résultante des deux forces P et R. Donc si, du point B, vous menez à la direction AR, la parallèle RG qui rencontre en G le prolonjrement de QA, et du point G, à la direfion AP, la parallèle GH qui rencontre en H la direction de la force R , les deux forces P et R seront entre elles comme les côtés AB, AH du parallélogramme ABGH (34). Mais la ligne AB représente actuellement la force P; donc la ligne AH représente la force R. Or, par les parallèles , on a AH = BG=AD; donc, etc.

Corollaire.

36, Puisque lus Irota forces P, Q, R sont entre elles comme les trois lignes AB , AC , AD , et que dans le parallélogramme ABDC, on a AB=^CD, onpautdireqoe ces trois forces sont eotre elles comme les trois côtés CD, CA et AD du triangle ACD. Mais ces trois côtés sont entre eux commi' Ips sinus des angles opposés CAD, CDA , AGD, et à cause des parallèles, l'angle CDA= l'angle lîAD , l'angle ACD est supplément de l'angle BAC, et par conséquent

: ACD est j onséquent 1

a le même sinns; on a donc

P : Q : R :: sin CAO : sin BAD : si» BAC.

D'où l'on peut conclure que la résullanle de deux forces Pel Q étant représentée par le sinus de l'angle formé par leurs directions, les deux forces P et Qsont représentées réciproquement par les sinus des deux angles adjacens h la direction de la résultante ; ou , si l'on veut , cha~ cune des forces P, Q , R est comme le sinus de Vangle formé par les directions des deux autres.

Remarque.

5j. On peut voir par là , et mieux encore par la considération immédiate du parallélogramme des forces , que lorsque deux forces agissent sur un même point sous un angle qnt n'est pas égal à deux droits, elles ne peuvent jamais donner une résultante nulle , à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes cliacune en particulier.

Car, si aucune des deux forces n'était nulle, on pourrait construire un parallélogramme sur tes deux lignes qui les représentent en grandeur et en direction , et la diagonale de ce parallélogramme serait la résultante.

Si l'une d'elles seulement était nulle, la seconde serait la résultante, (;t par conséquent la résultante ne peut être nulle, h moins que l«*

qu'on voudra , appliquées .-i un même point A , et dirigées d'une manière arbitraire dans l'espace; car, en considérant d'abord deux quelconques de ces forces, comme les forces P et Q^ par exemple, ces rleux, forces seront dans un même plan, et l'on en déterminera la résultante eomme nous l'avons fait tout à l'heure. Soit X cette résullante ; on prendra semblablement la résultante de la foree X et d'une autre telle que R. Combinant ensuite cette résultante, que je désigne par Y, avec un nouvelle force S, on aura leur résultante Z qui sera celle des quatre forces P, Q, R, S; et continuant ainsi, on arrivera nécessairement à la résultante générale.

Si toutes les forces P, Q, R, S, etc., sont dans un même plan , les résultantes successives X, Y, Z, etc., seront dans ce même plan, et par conséquent la résultante générale y sera aussi.

Si toutes les forces sont en équilibre . la résultante générale sera nulle.

Par cette composition successive de plusieurs forces autour d'un même point, on voit encore que, si l'on décrit dans l'espace un contour polygonal dont les côtés successifs soient parallèles et proportionnels à ces forces, la droite f ferme ce contour et aeht-ve ainsi lepoly-

DK STATlQtlE. 43

gone, est parallèle et proportionnelle à la résultante générale de toutes les forces ; de fiorte que si le polygone se trouve fermé de luimême, la résultante est nulle, et toutes les forces sont en équilibre autour du puiut qu'elles sollicitent.

Le théorème suivant n'est au fond fju'un cas particulier de cette élégante proposition ; mais, comme ÎI est d'un fréquent usage en Mécanique, nous allons l'énoiicei et le démontrer expressément.

TTiéorètne V.

4i. Si trois forces X^ Y, Z appliquées à un même point A (fig. i(ij dans Vespace sont re- Fig. iC. présentées par les trois lignes AB, AC, AD, et qu'on achève le parallélépipède A . . .V,larésul~ tante R de ces trois forces sera représentée par la diagonale AF de ce parallélépipède.

En eil'et , les deux forces X et Y, qui sont représentées par les deux côtés du parallélogramme ABGC, donneront pour résultante une force P représentée par la diagonale AG de ce parallélogi'amme.

Ensuite, à cause de AD égal et parallèle à GF, la figure AGKD sera un parallélogramme, et p;ir conséquent les deux forces P et Z donneroot une résultante R i-epi-ésentée par la dia-

44 ËLËMENS

gonalc AF, latjuelle est en même temps la diagonale du parallélépipède proposé.

Remarque.

43. Observons sur-le-champ, comme au n° 37, que tant que les trois forces XjY, Z ne seront pas daos un même plan, elles ne pourront jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes en particulier.

Car, si aucune d'elles n'était nulle , on pourrait construire le parallélépipède sur les lignes qui les représentent en grandeur et en direction, et la diagonale serait la résultante.

Si l'une d'elles seulement était nulle, les deux autres qui, par hypotlièse, ne sont pas en ligne droite, auraient une résultante.

Enfin , si deux d'entre elles seulement étaient nulles, la troisième serait la résultante , et par conséquent les composantes X, Y, Z doivent être nulles toutes trois, pour donner une résultante nulle.

Comllaire I.

45. On voit par le tliéorème précédent (qu'on pourrait nommer \e parallélépipède de^ forces) qu'une force quelconque donnée Pi est toujours décomposable en trois autres X, Y, Z respec-

DE STATIQUE. ijS

tivement parallèles à (rois lignes données dans l'espace, pourvu que deux de celles-ci ne soient pas parallèles.

Car, en prenant la partie AF pour représenter la quanlilé de la force R, et menant par le point A d'application trois lignes parallèles aux droites données chacune à chacune, on conduira par le point A trois plans indéfinis XY, XZ, YZ, et par le point F trois autres plans respectivement parallèles aux premiers; et ces sir plans détermineront le parallélépipède dont les trois arêtes contigues AB, AC, AD , représenteront les trois composantes X, Y.Z.

Corollaire II.

44- Si le parallélépipède est rectangulaire, on aura, dans le rectangle ADFG, AF=: AD -)-AG; mais, dans le rectangle ABGC, on a AG = AC +AB; donc en substituant cette valeur de AG, on aura

ÂF '= ^V ÂC'-f- ÂbJ par consécpient ,

Ce qui donne R=V'(X'+Y*^+Z') pour

$6 ELKHKNS

la valeur de lâ résultante en fonction des troÎBl '

composantes.

45. Si l'on veut avoir les trois composantes en fbuctioii de la résultante et des angles qu'elles font avec elle, en nommant d'abord «c l'angle que la résultante R fait avec la composante X , oa aura visiblement AF ; AB :: i ! cos a, et par conséquent,

R : X :: i : cosa; d'où l'on tire X =^ R cos a.

En nommant de même jiety les angles que la résultante fait respectivement avec les composantes Y et Z, on trouvera Y:=R cos j8, Z = R cos 5-; d'où il suit qu'on trouvera les* valeurs des trois composantes respectives, en inultipliant la résultante par les cosinus respec- ,tifs des trois angles que sa direction forme avec les directions de ces composantes.

Bemarque.

46. Puisqu'on a trouvé R" = X»+Y'+Z", en substituant pour X,Y, Z leurs valeurs respectives R cos a, R cos S, R cos y, on aura

R*;^ R' cos* a -i- R" cos' C+ R* cos' y ; OD bien

R»=^R»(ro,s'a-f-cos'e"Hros'>), )kk»li j

d'où, cos'a + c&s'f-^-cos* j. = i, relation connue qui a toujours lieu entre les angles que fait une droite avec trois axes rectangulaire» dans l'espace.