Nous avons vu plus haut qu'une force

I Jieut être transportée en un point quelconque

1 de sa direction , pourvu que ce point soit lié au

, premier d'une manière invariable : voici une

proposition analogue pour les couples, qui n'est

pas moins remarquable que la première, etdont

nous ferons le plus grand usage par la suite.

Lemme.

4g. Un couple (quelconque peut être transporté partout où Von voudra dans son plan , ou dans tout autre plan parallèle , et tourné . tomme on voudra dans ce plan, sans que son \ 'Bffkt sur le corps auquel il est appliqué en soit \\^hangéj pourvu qu'on suppose le nouveau bras l^ifc levier invariablement attaché au prem»

Pour démontrer pli

facilement décomposerons

cetle proen deux

|K)sitiQn , n< autres.

8 Soit d'abord le couple (P, — F) (fig- i8) appliqué perpeudiculai rement sm- AB ; prenons où l'on voudra , dans le plan de ce couple ou dans tout autre plan parallèle, la droite CD, égale et parallèle à AB : joignons AD et fiC, qui seront dans un même plan et se couperont visiblement au milieu I de leurs longueurs respectives ; et supposons enfin les droites AB et CD liées entre elles d'une manière invariable.

Sii l'on applique sur ta ligne CD , parallèlenaent aux foi-ces P et — P, deux couples contraires (P'j — P'), (P", — P") , égaux entre eux et au couple proposé (P, — P) , il e.st évident ^«« «s deux couples se détruii'ont d'euxmêmes , et que par conséquent l'eftét du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'un autie côté , 11 est facile de voir que les deux couples (P,— P) et(P*,~P') se détruisent aussi d'eux-mêmes; car le point I étant à la fois le milieu des deux lignes AD et BC, les deux forces égales et parallèles V et F", appliquées sur AU , donnent une résultante parfaibement égale et opposée à la résultaute des àeuTf. T<P ei — h", appliquées surBC. On peut

DE STATIQUE. 5i

donc supprimer les deux couples ( P, — P ) , (P", — P"), el il ne reste plus qoe le couple (P', — P') appliqué sur CD, lequel ii'est antr« chose que le couple primitif qu'on aurait, pouiainsi dire, transporte parallèlement à luî-mérne, de manière que son bras de levier AB fût venu dans la position parallèle Cl).

Soit, en second lieu, le couple (P, — P) (fig. 19) appliqué perperidiculaii-ement sur AB. Fi^. 1 Tirons dans le plan de ce couple , sous un angle quelconque avec AC, la droite CD =1:: Ali, et supposons que ces deux droites se coupent au milieu i de leurs longueurs respectives , et soient invariablement fixées entre elles.

Si l'on applique à angle droit sur CD dera couples contraires (P', — P'j , (P", — P") e'gaux entré eux et au conpie proposé (P, — P), ces deux couples se détruiront d'eux-mêmes, et par conséquent Tefièt du couple { P, — P ) ne sera pas changé. Mais, d'un autre côté, les deux couples(P, — P), (P", — P"), se détruisent aussi d'eux-mêmes : car, avec un peu d'atteatioD, on voit que les deux forces égales P et — P"qui se rencontrent en G, donnent une résultante égale et directement opposée à la résultante des deux forces — P et P" qui se reocOTitrent en H. On penf donc sopprimef les deax couples ( P, — P), (F', — P), et il ne

Sa ÉI.ÉMENS

reste plus que le couple (P', — P') appliqua sur CD, lequel n'est, pour ainsi dire, que le couple primitif qu'on aurait tourné dans sork plan , de manière que son bras de levier AB fût venu dans la position oblique CD.

De ces deux propositions réunies , on peut conclure qn'un couple quelconque , sans que son effet soit changé , peut être transporté dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle, eu telle position qu'on voudra : car on peut d'abord le transporter parallèlement à ses forces dans le plan donné , de manière que le miliea de son bras de levier tombe au point donné qu'on voudra, et l'on peut ensuite le tourner autour de ce point, de manière à l'amener dans la position donnée; ou, réciproquement, on peut le tourner d'abord dans son plan , de manière que ses forces deviennent parallèles aui nouvelles directions qu'on veut leur donner, et ensuite le transporter immédiatement dans la position donnée.

Transjbimatinn des couples; leur mesure.

Lemme.

Un couple quelconque (^V, — P)(fig ao) ( sur un hrns de levier AB , peut être.'

changé en un autre ( Q , — Q ) de même sens, applique' sur un bras de levier BC cliffëreni du premier, pourvu qu'on ait P : Q :: BC : AB, ou P X AB = Q X BC, c'est-à-dire pouivu que les momens de ces couples soient égaux.

Prenons, en effet, sur le prolongement de AB une partie quelconque BC, et appliquons sur BC parallèlement aux forces P et — F, deux couples (Q, — Q),(Q', — Q') égaux et contraires ; leur effet sera absolument nul, et par conséquent celui du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'un autre côté , si l'on suppose que les forces PetQ, et par conséquent P et Q', sont en raison inverse des ligues AB et BC , leur résultante , qui est égale à P-f- Q', passe en B, tt détruit évidemment les forces contraires — P, — Q' qui s'y trouvent. On peut donc supprimer les quatre forces P, Q', — F, — Q', et il ne reste plus que le couple (Q, — Q) appliqué sur BC, lequel remplace le couple proposa (P, — P) appliqué sur AB.

t Comllaire.

5i. 11 n'est pas dîflîcile de conclure de là que fes efforts des couples sont proportionnels à Eeurs momens.

'En effet, l'on peut voir d'abord q

; deux I

11. couples (P, — P), (Q, — Q) (fîg. 21), qui agissent sur les bras de le-viers égaux AB , CD , sont entre eux comme les forces P et Q de ces toupies ; car si l'on suppose les forces P et Q entre elles comme deux nombres entiers,

comme 5 et 3 par exemple , en partageant -^

cliaqiie force P et — P en 5 forces égales, et ^z

chaque force Qet — Qen 3 forces égales entre -^

elles et aux premières, on pourra considérer —

le couple (P, — P)comme la somme de 5 cou-

pics égaux et de même sens , appliqués parfai-

temenl l'un sur l'autre, et le couple (Q, — Q) -^ comme la somme de 5 couples égaux entre -^

eux et aux premiers, aussi appliqués l'un sur ~"

l'autre. Les intensités des couples (P, — P), —

(Q, — Q), seront donc entre elles comme 5 -^

à 5 , ou comme P à Q. Si les forces P et Q sont ^^*

incommensurables , on fera le raisonnement ^:* connu , etc.

Maintenant soient deux couples quelconques --^s

(P,— P),(Q, — Q)î soient /j le bras de levier — :■

du premier, et q le bras de levier du second ; -^

le couple (Q, — Q) agissant sur la ligne 9 , est -^

équivalent au couple (" Q, — ^Qj, qui agi- — rait sur la ligneyj; car les momena sont égaux ^ de part et d'autre, le premier étant Qç, etle second, ^Q.p^^Q^^ Ainsi, au lieu des deux

couples proposes, on a ces deux-ci (P, — P)^ f -Q, — - Qj qui ont un même bras de levier/». Mais les intensités M et N de ces deux couples sont entre elles comme leurs forces , et par

M : N :: P/) : Qq.

02. Puisque deux couples sont entre eux dans le rapport de leurs momens , il s'ensuit que le moment d'un couple est la mesure dC son eil'ort ou de son intensité : car si l'on prend pour unité de couple, celui qui est composé de deux forces égales à l'unîté de i'orce, appliquées sur un bras de levier égal à l'unité de ligne, le couple (F, — P) au bras de levier /j, contiendra autant de fois l'unité de couple, que le moment P X /» contiendra le lâornent ixi, c'est-à-dire contiendra l'unité.

Remanjuc,

55. Pour comparer entre elles les grandeurs ou les intensités des couples , on pourrait prendre aussi , au lieu des produits Pp, Qs des forces par leurs bras de levier rertangulaires, les produits de ces mêmes forces par des bras de levier obliques sur leurs directions. Mriis

de levier fissent le même angle avec les fbrcesv Il est clair qu'alors les bras de levier obliques seraient tous proportionnels au bras de levier rectangulaires , et que par conséquent les nonveaux momcDS seraient proportionnels aux premiers.

Nous emploierons quelquefois ces nouveaux momens dans la mesure relative de dïfiërens couples; mais nous regarderons toujours les sulres comme la mesure absolue de leurs iatensités.

Composition des couples situés dans un même plan , ou dans des plans parallèles.

Théorème I.

54. Deux couples situés, comme on voudra, dans le même plan ou dans des plans parallèles, se composent toujours en un seul, qui est égal à leur somme, s'ils tendent à faire tourner dans le même sens, ou égala leur différence s'ils tendent à faire tourner en sens contraires.

En effet , on peut d'abord ramener ces deux couples dans un même plan , ensuite ramener leurs forces au parallélisme , enfin les changer en deux autres équivalens qui auraient un

DE STATIQUE. 5-j

même bras de levier, el alors les appliquer l'uu sur l'autre.

Soient P et Q les forces composantes des deux couples ; p et ç , leurs bras de levier respectifs ; et soit D la longueur du bras de levier commua aux deux couples transformés. Au lieu du couple (P, — P) au moment P/ï, on substituera le couple équivalent (P', — P'), dont le moment P'D serait égal à Vp. On substituera de même, a la place du couple (Q, — Q) au moment Qy, le couple {Q', — Q')au moment Q'D=Qoj et ces duux couples transformés étant appliqués l'un sur l'autre , sur le même bras de levier D, on aura un couple unique résultant, [(r-f-Q'),—(P'+Q')], dont le moment sera

(P' + Q')D, ou PT)+Q'D=P/)+Qj.

Ainsi, le moment résultant sera égal à la somme des momens composans, ou bien à leur dîflférence, selon que les forces P 'et Q', qui agiront à la même extrémité du bras de levier D , seront de même sens , ou de sens Contraires.

Corollaire.

On voit donc, en combinant ainsi les couples deux à deux , que tant de couples qu'on "VDudi-a, situés d'une manière quelconque dans

ÉLÉMENS e plan ou dans des plans parallèles, se réduiront toujours u un seul, égal à la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme de ceux quï tendent à faire tourner dans le sens contraire.

Et réciproquement , on pourra décomposer un couple donné en autant d aulres qu'on vou- — dra , situés dans le même plan ou dans des — plans parallèles. Ou pourra même prendre à volonté tous ces couples , hors un seul ; car il sulBra que la somme de cens qui agissent -= dans le même sens , moins la somme de ceux ~^ qu agissent en sens contraire, soit égale au couple proposé.

Composition des couples situés dans des^=^ plans quelconques.

Théorème II.

55. Deux couples situés yCOfiune on voudra, -^ tians deujc pfans qui se coupent sous uu angle^^ quelconque , se composent toujours en un setd. — —

Et si Fon représente les momens de ces cou- - — pies par les longueurs respectives de deux ' droites tirées sous un angle égal à celui des ~ deux plans , et qu'on achève le paraUéio- — gramme , (e moment du couple résultant senh- •^

DE STATIQUE. Sg

'•eprésenté par la diagonale de ce paraliélo- ^ramme , et le plan de ce couple partagera l'angle que font entre eiix les plans des couoies composans , comme la diagonale du parallélogramme partage l'angle que font les deux côtés adjacens.

Soient en eflet les deux couples proposés, situés dans les deux plans AGM, AGIV(fig. 22), Fig. a qui se rencontrent suivant AGj et supposons qu'on ait d'abord changé ces deux couples en deux autres respectivement équivalens , qui auraient un même bras de levier.

En quelque lieu que soit sïlué le couple ( P, — P) dans le plan AGM, on pourra le ramener dans ce plan à angle droit sur l'intersection AG , de manière que son bras de levier AB tombe sur l'intersection AG (49). De même , en quelque lieu que soit situé le dbuple (Q, — Q) tlans Je plan AGiV , on pourra le ramener aussi à angle droit sur la même intersection; et de ruanière que son bras de levier, égal au premier, coïncide avec lui en AB.

Alors les deux forces P et Q appliquées en A , se composeront en une seule R appliquée au même point A, et représentée par la diagonale ÂR du parallélogramme construit sur les deux lignes AP, AQ , qui représentent les. forces P et Q. Les deux forces — P, — Q ap-

6o ÉLÉMENS

pliquees en B , se composeront aussi en une seule — R appliquée en B , paria item eut égale , parallèle et contraire à la première; et l'on aura , au lieu des deux couples (P, — P) , (Q, — Q) le couple unique (R, — R}applïqué sur le même bras de levier AB.

Puisque ces trois couples ont un même bras de levier, leurs nioniens respectifs sont proportionnels aux valeurs des trois forces P,Q,R. Donc, si l'on représente les momens des deux couples composans par les deux lignes AP, AQ qui leur sont proportionnelles, le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale AR du parallélogramme APRQ construit sur ces lignes. Or, il est visible que les augles formés par les trois ligues AP, AQ,AR, mesurent les angles que font les trois plans ; donc le plan du couple résultant partage l'angle des deux autres plans , comme la diagonale AR partage l'angle PAQ des deux côtés adjacens AP, AQ. Donc , etc.

CoivlUtire,

56. On pourra donc toujours réduire a un seul tant du couples que l'on voudra , appliqués à un corps d'une manière quelconque dans l'espace : car, en les composant successivement deux à deux , comme nous venons de faire.

HE STATIQUE. 6i

n arrivera ueccssaircmenl a un couple unique ont on connaîlra le plan et la grandeur, et qui era équivalent à lous les autres.

Réciproquement , on peut toujours décom- »oser un couple en deux autres situés dans deux »lans donnés, pourvu que ces plans et celui du oupic proposé se rencontrent suivant une néme droite (ou suivant des droites parallèes; car, en transportant le plau de l'ua de ces :oupIes parallèlement à luî-méme, ce qui est >erinïs (4g), on rassemblerait leurs trois inersections parallèles en une seule).

Remarque l,

57. Pour opérer celte décomposition, ou ^'aura qu'à suivre dans l'ordre inverse le pixjzédé que nous venons de donner pour la composition de deux couples; ou bien l'on emploiera la méthode suivante, qui est très simple, et dont nous nous servirons quelquefois.

Soit AZ (fig. 25) la commune intersection pjg. ^j. des trois plans : menons à volonté un plan YAX qui les coupe suivant les trois lignes respectives AY, AV, AX ; et soit ZAV le plan du couple proposé.

Eu quelque lieu que ce couple (P, — P) soit situé dans le plan ZAV, on peut te placer

ÉI.ÉMENS de manière que ses forces soient parallèles i l'intersection AZ , et que la direction de l'iirit! d'elles, comme de la force — P, coïncide avec cette même intersection. Alors la direction de l'autre force P rencontrera quelque part en B la droite AV, et l'on aura le couple ( P, — P) appliqué d'une manière quelconque sur AB, comme on le voit dans la figure. Maintenant formons, suivant les directions A Y, AX, avec AB comme diagonale , le parallélogramme BCAD ; et à l'un des angles C ou D , en D par exemple , appliquons deux forces contraire»

P', — P*, égales et parallèles aux forces P et — P du couple proposé. L'effet de ce couple ne sera pas changé. Mais actuellement , au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB, on peut en considéier deux autres : l'un £P', — P) appliqué sur le côté AD dans l'un ^es plans donnés ZAY ; l'autre (P, — P'J appliqué sur BD parallèlement à l'autre plan ZAX. Or, ce couple peut être transporté pa- Tallèleraenl ii lui-même dans ce plan ZAX, sor le côté AC = BDj et l'on aura alors, aa lieu du couple f P, — P ) appliqué sur la diagonale AB , deux couples (P', — P) , (P, — P') , composés de forces égales et p.ir.illèlesaux preaaières, appliqués dans les deux plans donnés sui- k's cèles AU , AG.

Remarque II.

58. Si l'on supputait que le plan YAX fût ineoé perpendiculairement à la commune intersection AZ des plans des trois couples , les forces de ces couples seraient perpendiculaires aux lignes AY, AV, AX, et comme ces forces sont égales, les raomens des couples seraient proportionnels à leurs bras de levier AD, AB, AC ; et d'après ce que nous venons de dire , on retomberait sur le théorème précédent (55); ce qui fournit, comme on voit, une nouvelle déinonstration de ce théorème.

Remarque III,

59. Cette double démonstration vii;nt de la double manière dont on peut transformer les deux couples avant de les composer. Dans la première , on commence par leur donner un même bras de levier avec des forces différentes; dans taseconde, on leur donne tes mêmes forces avec des bras différons.

Il y aurait nne troisième démonstration qui se ferait sans rien changer aux deux couples proposés. Car soient (P, — F) et (Q, — Q), (fig. aS his), deux couples appliqués perpen- F'K-. a3. dieulaircment au plan du triangle ABC, sur

les bras respectifs AB, AC; et supposons qi les deux forces P et Q qui tirent en B et C soient de même seus. Il est clair que ces deux forces se composent en une seule P -(- Q de même sens , et appliquée au point g qui divisé la base BC dans la raison réciproque de P à Q. Les deux forces — P et — Q qui tirent en A se composent de même en une seule — (P-^-Q) appliquée au point A ; et si l'on fait, pour abréger, P-f-Q = R, on a le couple résultant (R, — R) appliqué sur Ag dans un plan per^ pendiculaire au triangle ABC.

Maintenant , que du point g, on mène deux parallèles aux côtés AB et AC , et qu'on achève ainsi le parallélogramme \lgin; il s'agirait de prouver que les momens de nos trois couples « savoir :

Px AB, QxAC, RxAg,

sont entre eux comme les côtés Al , Am et la diagonale Ag de ce parallélogramme. Or, c'est ce qui est facile ; car en mettant , au lieu des forces 1', Q , R , les trois lignes Cg , Bg , BC , qui leur sont proportionnelles, on voit que ces momens sont entre eux comme les trois produit!

CgXAB, BgxAC, BCxAg. '

Maïs les triangles semblables donnent : .Uni

Cg X AB=:BC X Ai , et Bg X AC=BC X Am.

Substituant ces deux nouveaux produits à la place des deux premiers, et supprimant partout le facteur commun BC , on a les trois momeos dont il s'agit dans la proportion des simples lignes A/ , Am , Ag ; ce qu'il fallait démdntrer.

On peut varier encore ces démonstrations ; mats il y a une manière bien plus simple ds présenter la composition des couples, comme nous alloDS le voir dans l'article suivant.

Expression plus simple des théorèmes qui concernent la composition des couples .

60. Au lieu de déterminer la position d'un couple par celle de son plan , on peut la déterminer par la direction d'une droite quelconque perpendiculaire à ce plan, et que l'on pourra nommer Vaxe du couple. Puisqu'un couple peut être supposé appliqué où l'on voudra dans sou plan ou dans tout autre plan parallèle ( 49 ) ï il ^st visible que l'on connaîtra la position d'un couple daus l'espace , lorsque l'on connaîtra la direction de son axe : car, en élevant où l'on voudra sur cet axe un plan

perpendiculaire , on pourra preadre c« .plai pour celui du fouple proposé.

Ainsi k position de différens couples parallèles peut être donnée par une seule droite perpendiculaire à tous ces couples , et qui en sera f pour ainsi dire, l'axe commun.

Si les couples sont situés dans des plans quelconques , on supposera d'abord , pour plus de clarté , qu'ils soient transportés dans des plans respectivement parallèles, tous conduits par un seul et même point A, pris à volonté dans l'espace , et qui deviendra le commuA centre de tous ces couples : et si l'on prend ce point pour l'origine des perpendiculaires qu'on élève à ces plans respectifs, la position des différens couples se trouvera donnée par celle d'autant de droites partant d'un seul point , et faisant entre elles les mêmes angles que les "plans des couples proposés.

De plus , si , à partir de ce point A , on porte sur ces droites des longueurs AL, AM, AN, etc., proportionnelles aux momens respectifs de ces couples, que je désigne ici parles simples lettres L , M , N , etc. , chacune de ces lignes terminées, telle que AL, suffira pour représenter h la fois l'axe et la grandeur du couple L qui lui correspond '*' Enfin , si l'on vent que la même ligne AL

DE STATIQLE 67

puisse encore indiquer le sens dans lequel ce couple agit ( ce qui est nécessaire pour achever la détermination complète du couple) , il n'y aura qa'à faire une convention toute semblable à celle qui regarde les simples forces. Or, pour une simple forée P appliquée en A et qu'on représente par une certaine ligne AP, cette convention consiste , comme on l'a dit ( I ! ) , en ce que l'action de cette force a toujours lieu de A vers P, ou que la force tire de A en P. Ici , pour un couple L appliqué autour du centre A , et dont je représente l'axe et la grandeur par la ligne terminée AL, je supposerai toujours que le sens du couple ou de la rotation qu'il tend à produire est tel que , si l'on se plaçait au point L , considéré comme le uoixl , pour regarder devant soi le point A , considéré comme le mîdi y on verrait la rotation se faire de l'orient à l'occident, ou de la gauche a la droite , comme se fait à nos yeux le mouvement du soleil. C'est d'ailleurs le sens ordinaire dont la main fait tourner la plupart des Instrumens de rotation ; et c'est dans ce sens convenu qu'agira pour nous le couple représenté par la ligne AL.

On peut adopter , si l'on veut , la convention contraire , pourvu qu'on s'y conforme avec le même soin pour tous les couples dont il s'agit

dans une même figure , ou dans l'énoncé d'unç.

même proposition.

Au reste, on voit qu'une des deux conven* tions , comme la première, nous suffit ; cap^ s'il fallait indiquer dans la figure un couple L'i Contraire à L, on le représenterait de même par une ligne AL', mais portée de l'autre côtrf^ du point A sur le prolongement de la première. Il est clair , en effet , que ce second couple qui, vu do point L' , ferait tourner dans le sens convenu , c'est-à-dire de gauche, à droite, étant vu du point L, ferait tourner de droite a gauche , et serait réellement contraire au premier. 1

Par cette manière de déterminer les coupl^^ et d'en indiquer les sens simultanés , ou voit donc que la représentation géométrique de, tant de couples qu'on voudra , appliqués sur un corps dans des plans quelconques, devient parfaitement la même que celle d'autant de, , simples forces appliquées sur un point ; et l'on va prouvfrr tout à l'heure que leur composi- tïon pt'ut s'exprimer par des lois toutes semblables. Tout se réduit en effet à la démonptration du théorème suivant , qui remplace le théorème II, et qu'on peut nommer le paral~ '■ des couples.

Théorème.

■ 61. Si deux couples L et M sont représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les deux côtés AL et AM d'uTi parallélogramme ALGM, ces deux couples se composent en un seul G représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AG de ce parallélogramme,

Ea effet, quedu point Aet dans le plan du parallélogramme ALGM (fig. 34), on mène F deux lig'nes //', mm' perpendiculaires etpropoilionnelles aux deux côtés respectifs AL et AM, et qui soieDt toutes deux coupées par leur mi-r lieu au point A. Si l'on achève les parallélogrammes Algm, Pil'g'm' , il est clair que ces parallélogrammes seront égaux entre euxj et semblables au premier ALGM , et que par conséquent la ligne gg' sera aussi perpendiculaire et proportionnelle à la diagonaleAG, et coupée en son milieu au point A.

I Maintenant, que sur ces lignes //' , mm', I comme bras de levier, et dans des plans pcr- I pendiculaircs à la figure , on applique deux couples compose's de forces égales, le premier (P, — P) sur la ligne ;/', et le second (P,—P} *Ur inm' ; et supposons, pour nous conformer ^ Ja coQventioti ci-dcsKus (60), que ces couples

)o ÉLÉMENS

tendent tous deux à faire toumei' < droite quand on les regarde l'un après l'autre des points L et M. Il est évident que ces deux couples peuvent être pris pour ceux que lea côtés AL etAM représentent ; car i°. ils sont situés dans des plaus perpendiculaires à ces côtés; 2°, ils ont des moraens proportionnels aux mêmes côtés; et 5°. leurs sens simult»nés sont conformes à la convention établie.

Or, il est aisé de voir que ces deux couples se composent en un seul , représenté de même par la diagonale AG. En effet , les deux forces P et P appliquées en f et m se composent en une seule aP parallèle et de même sens, appliquée au point c, qui est le milieu de Im, et par conséquent, le milieu de Ag. Demêmeles deux forces — P et — P en /' et m' , se composent en une seule — aP appliquée en c', milieu do Ag' ; et l'ona le couple résultant( aP, — aP) appliqué sur la ligne ce' , ou simplement, le couple (P, — P) appliqué sur la ligne double gg'. Or ce couple est évidemmeut perpendiculaire et proportionnel à la diagonale AG, et feit aussi tourner de gaucbe à droite quand on le regarde du point G. Donc , etc.

Nous aurions pu tirer ce théorème de l'une I des démonstrations qui précèdent, mais nous I avons préféré d'en faire ici la démoustratioa j

DE STATIQUK. 71

immédiate,. et sur une nouvelle ligure, où l'an vil très clairement les sens relatifs que doivent avoir ensemble les trois couples que l'on y considère.

Remarque 1.

6a. On voit ici, par un raisonnement tootà-faît semblable à celui du n° Sy , que si deux couples agissent dans des plans qui se coupent, ou qui ne sont point parallèles, ils ne peuvent jamais donner un couple résultant oui , à moins qu'ils ne soient nuls tous les deux, à la fois.

Remarque II.

65. Lorsque les plans des couples composanssODtrectangulaires entre eux, les deux axes AL et AM sont aussi rectangulaires, et dans

le rectangle ALGM, on a AG=AL-|-AM; de plus, si l'on nomme a et /3 les angles que fait la diagonale AG avec les deux côtés adjacens AL, AM, on a

AL = AG. cosa, AM = AG. cos/3.

Donc en désignant simplement les trois moraens respectifii par les lettres L, M, G, on a, pourle moment G, G" = L'4- M», d'oii G= V^L'+'M',

et, pour les angles a. et /3 que son axe fait avec les axes des deux autres , L= G cos a., M := G cos |S , d'où

Remarque III.

En gënéral , si l'on nomme $ l'angle que font entre eux les deux couples composans, ou leurs axes AL et AM, on aura dans ïe parallélogramme ALGM ,

AG=AL +AM 4- aAL x AM. cosip, et par conséquent

G' = L' + M' + 2LM cos ^;

ce qui donne le couple résultant G par les couples composans L et M, et leur îocliaaison mutuelle (p.

Si l'angle ^ est nul , on a cos tp =: i , et il vient

ce qui s'accorde avec ce qu'on a déjà vu : car les deux couples sont alors dans le. même plan et de même sens, et ils se composent en un seul égal à leur somme.

Si l'angle ? est égal à deux droits, on a

= — 1 , et il vient G î= L — M; ce qui 're; car les deux couples sont alors de ti-aires , et ils se composent en un seul ur difTérence.

• -.orsque ^ est un angle droit, ces ip = o, irottaG= vL*+M% comme ci-dessus.

Remarque IV.

De la composition de deux couples, il est bien facile Je s'élever à la compositioa de tant de couples qu'on voudra, et il est évident qu'on aura des théorèmes tout semblables à .

ceux qui regardent les simples forces autour d'un point : cependant je crois devoir énoncer et démontrer comme tliéorème , le corollaire suivant, à cause du grand usage qu'on en peut faire en Mécanique.

Théorème.

64- Troiscouples représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les trois arêtes continues dwi parallélépipède , se composent toujours en un seul représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale de ce parallélépipède.

Soit en effet A. ..G (fig. a5) le parallélépî-Fig. i5. ;AL, AM, AN, les côtés qui représen-

74 ÊLÉMEHS

tent a lu fois les axes et les momens des trois jQ

couples. y^

Les deux couples représentes par les deux côte's AL, AM du parallélogramme ALOM, se composeront en un seul, représente, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AO de ce parallélogramme. Maintenant ce couple, et le troisième représenté par AN, se composeront en uu seul représenté par la diagonale AG du parallélogramme ANGO. Or, cette diagonale est en même temps celle du parallélépipède; donc, etc.

65. On voit encore ici , par le même raisonnement que celui du n" 43 , que si trois conples agissent dans trois plans qui forment un angle solide ou qui se coupent en un point unique, ils ne peuvent jamais avoir un couple résultant nul, à moins qu'ils ne soient nuls en même temps tous les trois.

Remarque.

66. Lorsque le parallélépipède est rectangulaire , en nommant L , M , N les momeos , coraposans, et G le moment résultant, on a manifestement G' = L' -|- M' + N'.

En désignautpar A, |4, v, les trois angles que

la diagonale , ou plutôt que l'axe du couple ré- ,

sultant fait avec les trois axes des couples composans , on a

L=GcosA, M=Gcos«,N=Gcos v; d'où

cosX =

ÎN

Donc, s'il s'agit de calculer le moment résultant G de trois momens L , M, N , dont les axes sont rectangulaires, on aura pour sa valeur, G = v^L'-f-M'-f-N*, et pour les angles ^ f f^f''» 1^^ son axe fait avec les trois axes des momens composans ,

cos A =

S'il s'agît, au contraire, de décomposer un couple G en trois autres , situés dans trois plans rectangulaires entre eux, ou dont les trois axes soient rectangulaires, on aura, pour les valeurs respectives des momens composans, L ^ G cos À, M := G cos /* , N = G cos ^ ; A , ft, V étant les trois angles que l'axe du couple donné fait avec ceux des couples composans cherchés.

G7. Au reste, uous ne nous arrêterons pas' sur ces délails : nous remarquerons seulement qu'entre les sept quantités L , M , N, G , cos A, ces /A, cos V , OH a quatre équations qui sont: G»=L*-hM'+N* , L=G cos ?, , M=G cos ft',' N = G cos y , au moyen desquelles, coonaissant d'ailleurs trois de ces quantités, on pourra déterminer les quatre autres.

Il faut pourtant excepter le cas où l'on ne connaîtrait que les ti-ois angles K , fi, v; alors on ne pourrait obtenir que les rapports des momeos L , M , N , G.