CONCLUSIOH GÉNÉRALE DE CE CHAPITRE

Composition des forces dirigées comme

on voudra dans l'espace.

68. Soient tant de forces que l'on voudra, P, P^, P,|, etc., appliquées d'une manière quelconque dans l'espace , à un corps ou système libre.

Je considère d'abord l'une d'elles, la force P Fig. aG. ffig. 26), par exemple, qui est appliquée au point B. Ensuite, au point A, arbitrairement pris dans ce corps, ou au dehors (pourvu qu'on l'y suppose invariablement fixé), j'applique àenx forces contraires P', — P', égales et paràU feles à la force P. Il est clair que je n'ai ireiï

changé à l'état du système. Mais; je puis considérer maintenant, au Heu de la force P appliquée en B, la force P* appliquée en A, et le couple (P, — P') agissant sur la droite AB. Si, pour plus de clarté, on transporte ce couple ailleurs, dans on plan quelconque parallèle au sien , il ne restera an | oint A que la force P' égale et parallèle h la force P , et qui n'est en quelque sorte que cette même force P qu'on aurait transportée parallèlement à elle-même de B en A.

Si l'on fait la même transformation pour toutes les forces du système à l'égard du même point A, il est manifeste que toutes ces forces Tiendront s'y réunir parallèlement à ellesmêmes, mais qu'il y aura déplus dans le système autant de couples appliqués provenant de chaque transformation. Or , toutes les forces appliquées au point A se composeront en une seule R, et tous les couples en un seul couple (S, — S) ( Gg. 27) appliqué sur une certaine F-g- "7droite BC.

Ce qui nous apprend que tant de forces que l'on voudra appliquées dune manière quel" conque à un corps , peuvent toujours se réduire à une seule force et à un couple unique, lesquels seront en général situés dans des plans différens.

Corollaire II,

Qui contient les conditions nécessaires pour que toutes les forces appliquées au sjstèmé aient une résultante unique, lorsqu'elles ne s» font pas éqmlibre.

jt. Toutes les forces appliquées au systèmff étant ramenéeR, ainsi que nous venons de Iff voir, à une seule force et à un couple > suppôt sons que cette force R et le couple (S, — S) paissent se réduire à une seule force, ou , li l'on veut, qu'une force unique R' fasse équi-«' libre an couple (S, — S; et à la force R.

Puisqu'il y a écjuilibre entre les deux force>« R, R' et le couple (S, — S), je disque lesdeiu| forces R et R' doivent former un couple coot traire et équivalent au couple (S , — S), et sis tué dans le même plan , ou dans un plan pards lèle ce qui est ici la même chose.

Car il ne peut arriver que trois cas : ou les deux forces R et R' seront susceptibles de se réduire à une seule , et alors cette force ne a faire équilibre au couple (S, ^ S); on elles se réduiront à une seule avec un couple, et alors ce couple et le proposé (S , — S) se reduirout à un seul , qui ne pourra pas être en équilibre avec la fo>'ce; ou bien enSn elles se

réduiront à un seul couple, et c'est le seul cas qui puisse arriver.

Il faut donc au moins que les deux forces R et R' forment ensemble un couple. Mais pour que ce couple fasse équilibre au couple (S, — S), il est nécessaire qu'il soît situé dans le même plan ou dans un plan parallèle ^ s^ins quoi ces deux couples se composeraient toujours en un seul qui ne pourrai! jamais être nul (62), et îl n'y aurait pas équilibre. Donc la direction dé la résultante R doit éhe parallèle au plan du couple résullant (S, — S); et par conséquent, toutes les forces appliquées au sj-stème ne pourront jamais se réduire à une seule, à moins que la résultante de cesjhrces transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point , n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant; et cela , en quelque lieu de Vespace qu'on ait pris d'abord le point où Von a transporté toutes les forces.

Cette condition est nécessaire, et il est clair qu'elle suffît en général ; car, à moins que la résultante R ne soit nulle, on sera toujours maître d'appliquer au système une force R' qui soît égale, parallèle et opposée à la force R, et qui forme avec elle un couple (R, — R) de sens contraire à l'égard du couple (S, — S^, et d'un moment équivalent. Cette force es-

llrpép en sens contraire sera la résultante gé»

ne raie.

Au reste, un pourra prendre immédiatement ççtte résultante; car si la force R appliquée ea A est parallèle au plan du couple (S, — S), gq poprra amçn^r ce couple daos un même piaf) 9TÇÇ la force R, et alors les trois forces R, S çl — S étant dans le même plan , se compose-^ root toujours en une seule, égale et parallèle à |l , et qui sera la résultante unique de toutes IjÇft forces.

72, Dans le cas où la force R est égale à zéro il n'y a point de résultante unique. Car toutes les forces du système sont réduites au seul COtipIe (S, — S) qui ne peut jamais se réduire à une seule force. Ainsi, à la condition précédente qui exi<ie que la force R soit parallèle au plan du couple (S. ■:— S), il faut joindre encore celle-ci , comme condition particulière : que la L force R ne. soit pas égale à zéro. (A moins qu'il n'v ait équilibre, auquel cis la force résultante et le couple résultant étant tous deux nuls, on pourrait dire qu'il y a une résultante unique qui est zéro , et qui a d'ailleurs telle direction et telle position qu'on veut dans l'pspace : mais nous avons exclu le cas de l'équilibre.)

Remarque 1.

■^5. Lorsque le couple résultant (S, — S) (fig. aSj et la force fi ne sont pas dans des plans ^' parallèles , il n'y a jamais de résultante unique. Seulement eu transportant le couple (S, — S) parallèlement A son plan , on peut amener l'extrémité Bou Cde son bras de levier sur le point A, et alors les deux forces R et S appliquées eiï Ase composent en une seule T; et tontes les forces du système sont réduites à deui autres T et — S non siluces dans le même plan.

Ce qui nous fait voir d'abord que tant de forces que l'on voudra, (Urigées arbitrairement dans V espace, peuvent toujours se réduire à deux au plus , non situées dans le même plan.

Mais il est clairque cette réduction peutavoir lieu d'une infinité de manières, même sans déplacer le point A où l'on rassemble toutes les forces; car le couple (S, — S) pourrait être changé en une infinité d'autres équivalens, et de plus tourné sur .'^on axe dans une posîtîoa quelconque, el l'on arriverait ainsi à une infinité de systèmes différens de deux réduites non situées dans le même plan.

A la vérité, on pourrait choisir, enire ces systèmes, celui où l'une des forces serait pi;r— pendiculaire au plan du couple, et l'autre

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dirigée dans ce même plan; car, résultante R décomposée en deux i

V perpeuiliculaiie, l'autre U parallèle au plaa du couple (S , — S) : la force U et le couple parallèle (S , — S) se réduiront toujours à une seule U' égaie et parallèle à U ; et toutes les forces appliquées seront réduites à deux autres

V et U' de directions rectangulaires dans l'espace. Ainsi , des forces quelconques peuvent se réduire à deux forces de directions perpendiculaires entre elles, et dont l'une passe en un point /i donné à volonté. Mais cette réduction plle-raéme, qui souffre d'ailleurs «ne exception , n'a guère plus d'utilité que la précédente, et nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Remarque U.

74. La seule conséquence qu'il soit bon de remarquer est cette autre proposition réciproque : que àetac forces non situées dans le théine plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique.

El en effet, on peut toujours supposer que CES deux forces proviennent' d'une autre force; et 'd'un couple qui ne lui était pas parallèle.

Maie si l'on veut voir la chose directement, AB (fig. 39) la commune perpendiculaire directions des deux forces P et Q non si-

tuées dans le même plan , et dont aucune n'est supposée nulle. Je transporte P parallèlement à elle-même de B en A, et j'ai deux forces P' et Q appliquées au même point A, et un couple (P , — P') appliqué sur AB, Or, au point A , les forces P' et Q qui, par hypothèse, font entre elles un certain an^le QAP', se composent en une seule R dirigée dans l'intérieur de cet angle. Mais celte force R ne peut être parai-, ièle au plan du couple (P, — P'), puisqu'elle fait avec ce plan un angle RAP' qui ne peut jamais être nul, à moins queQne soit nulle, ce qui est contre la supposition : donc(7i)lesdeun forces Pet Q non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unîquv; proposition qu'on regarde ordinaironicnt comme évidente , mais qui avait besoin d'être démontrée.

Remarque III.

■^5. C'est, au reste, le seul cas général ou l'on puis.se assurer que des forces ne sont pas réductibles à une seule ; car, dès que l'on considère seulement trois forces, il résulte de notre théorie qu'elles peuvent avoir une résultante unique, quand bien mènie il n'y aurait aucune rencontre entre les directions de ces trois forces dans l'espace.

Soient , eu eft'et , trois forces P , Q , R que je

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suppose , deux à deux , non situées dans I^ même plan, ou même telles que, s'il y en avait deux dansle même plan, l'autre ne fiht en même plan ni avec la première , ni avec la seconde.

Je choisis deux de ces forces P et Q qui ne soient pas situées dans un même plan ; et je les imagine transportées en un même point A pris sur la direction de la troisième force R. Ces deux forces P et Q viennent s'y composer en une seule V, et donnent deux couples qui se composent en un seul (S, — • S;; et le plan de ce couple ne passe pointpar la direction AV de la force V (7/4).

Cela posé, si la résultante des deux forces V et R, appliquées en A, se trouvait dans le plan du couple (S, • — S) qui passe au même point, les trois forces proposées P, Q, R seraient réductibles à uoe seule (71)- Or, sans changer la direction de la force R, on peut disposer du sens et de la grandeur de cette force iâe manière que la résultante de V et R tourné I VntourdupointA dans le plan de ces deux forces, t se dirige suivant l'intersection de ce plan c celui du couple (S, — S) , et tombe ainsi s le plan même de ce couple. Donc, en •enanl coiivenablcmontla grandeur et le sens l'une des trois forces P, Q, R, sans rien à leurs positions mutuelles, on peut

en général rendre ces trois forces réductibles ;i une seule,

Je dis en général , parce qu'il y a un cas particulier où la chose ne pourrait avoir \\&3 eu supposant qu'il y eût un certain rapport donné entre P et Q, et qu'on s'astreignit à ne falrt; varier que la quantité de la troisième force R ; car, si, par ce rapport de P àQ, il arrivait que l'intersection du plan VAR avec lu plan dn couple fût la direction même AR de cette ti-dlsième force, on ne pourrait faire prendre à là résultante de V et R la direction AR, sans faïro la composante R infinie, ce qui est impossible. Mais, dans ce cas particulier, que l'on commence par changer le rapport des deux forces P et Q, ou simplement le sens de l'une d'elles, et le couple (S, — S) qui résultera de leiir translation au point A, ne passera plus pai" la direction de la troisième force R ; car , si lé plan de ce couple passait encore par la nième dWiité AR , il s'ensuivrait que AR est la cOmrH'Jnt; section des deux plans où sont situés les tioupICi^ qui composent (S, — S), et qu'ainsi la force 'R esta la fois dans un même plan avecP, é( dans un même plan avec Q: ce qui est colttr»? l'hypothèse. ' '■' Ainsi , quand de trois Jorcçs P , Q , R , d>ï n'en peut trouver tout au plus ijue deu:x> qui