RAPPORTS HUMERIQUES DES INTERVALLES
L'art musical n'a rien à voir dans les chiffres, a-t-on dit bien souvent et avec raison. Non, évidemment, l'art musical n'a rien à y apprendre. Mozart, Beethoven et tant d'autres ne se sont probablement jamais occupés des rapports delà science avec la musique, et cette indifférence ne les a pas empêchés de produire des chefs-d'œuvre. Mais est-ce une raison pour qu'on les suive dans cette voie? Si les maîtres se sont montrés peu soucieux de cette connaissance, c'est que probablement leur époque n'exigeait pas les études qui sont indispensables aujourd'hui. Les phénomènes de la nature ont existé de tous temps, ce qui n'empêche pas que la découverte des lois physiques qui les gouvernent est récente et constitue une des plus précieuses conquêtes du génie humain!
Le connaissance des rapports numériques des intervalles est de nécessité absolue pour le musicien, non qu'il doive s'en servir dans la pratique de son art, mais afin qu'il se rende compte des éléments qui le constituent. A cet effet, il doit s'initier aux travaux des savants qui ont écrit sur cette matière
en comparant le résultat de leurs recherches aux lois de la science harmonique.
Aujourd'hui, peu de musiciens Usent ces ouvrages avec fruit, parce qu'ils n'en comprennent pas la portée et qu'ils n'admettent pas l'influence bienfaisante que cette étude exercerait sur leur carrière artistique.
La première page les effraie et le livre est fermé sans que celui auquel il est destiné se soit donné la moindre peine pour en comprendre le sens !
Tâchons donc de compléter la mission que nous avons entreprise en exposant brièvement, mais explicitement, le rôle des chiffres dans la désigaatioi^ du xakppcxct des intervalles. Si le musicien veut bien nous suivre sans parti pris, et surtout sans effroi, nous pensons que les quelques lignes qui vont suivre lui permettront désormais, sinon de prendre part aux nombreuses discussions qui surgissent aujourd'hui à propos de l'art qu'il est le plus intéressé à connaître, du moins de les comprendre en mettaut à profit ce qu'il y trouve de boa.
On appelle intervalle la distance qui existe entre deux sons. Le plus grand intervalle m musique est Toetave ; c'est . celui qui est représenté par deux «ous dont l'un fait une vibration pendant le même temps que le second eu fait deux.
Le rapport vibratoire d'un intervalle se chiffre sous forme de de nombre fractionnaire, m mettant comme numérateur le plus grand nombre de vibrations et, conséquemment, au dénominateur, le plus petit nombre. Ainsi, l'intervalle d'octave se chiffre f , que l'on énonce 1 est à 2 et qui pe\it encore s'écrire de la façon suivante 1:2.
Il est évident que le connaissance du rapport entre tous les intervalles nous permettrait de les établir pour tous les degrés d'une gamme dont 1^ premier terme nous s^ait connu. C'est ce que nous allons essayer de £aire en donnant plus de dévebppement à notre démonstration; pour cela, il est nécessaire, que nous rappelions ici Tordre de succession des harmoniques-
produits par la division d'une corde ou d'un tuyau. Nous avons vu que ces harmoniques sont :
-T- 1 j ri I 1 J ^
U e j* tt *t g
et qu'ils sont produits par la division des corps vibrants, en fractions de plus en plus petites. Cette série des harmoniques n'a d'autres limites que celle delà corde elle-même, parce qtfil arrive un moment où ^les divisions de la corde se confondent. Eappelons-nous que le nombre de vibrations étant en raison inverse des longueurs, nous avons pour
le son 1, dit fondamental^ tonte la longnenr de la corde.
» 2j faisant 2 fois pins de yibrations j la | longnenr de la corde.
et ainsi de suite.
Kordre de succession des harmoniques 1, 2, 3, 4 etc., est donc une progression arithmétique et donne, en même temps, le rapport de vibration de chacun des sons comparé au son fondamental désigné par 1 .
Examinons la gamme majeure en partant ^ut = 1 vibration.
Le second degré Aq cette gamme est re, à la seconde majeure du premier.
La succession des harmoniques 8 et 9, nous offre le rapport vibratoire de cet intervalle, elle nous indique qu'il est
produit par deux sons dont Tun £fiit 8 vibrations pendant que le second en fait 9. Donc si ut fait 8 vibrations, ré en fera 9 ; Mais si ut ne fait, conformément à notre hypothèse, qu'une vibration, re, pour se trouver dans un rapport équivalent avec cet ut^ en fera 8 fois moins: donc 9 divisé par 8, ce qui s'écrit |.
Le troisième degré de la gamme majeure est fourni par l'intervalle de tierce majeure avec le premier. La série des harmoniques nous offre cet intervalle par les quatrième et cinquième sons.
De là, si ut fait 4 vibrations, mi tierce majeure en fera 5 dans le même temps, et si ui ne fait que 1 vibration, mi n'en fera que |.
Le qtmtrième degré àe la gamme nous est fourni par l'intervalle de quarte juste représenté dans la série des harmoniques par les sons 3 et 4 ; ut faisant 3 vibrations, fa en fera 4, mais ut n'en faisant qu'une, fa n'en fera que |.
Le cinquième degré de la gamme est fourni par l'intervalle de quinte, do 2 — sol 3, de la série des harmoniques. Ut ne faisant que 1 vibration sol ne fera que |..
Le sixième degré constitue un intervalle de sixte majeure avec la tonique. Les sons 3 et 5 nous donnent le rapport de leurs vibrations; mi faisant 3 vibrations, la en fera 5, mais ut n'en faisant qu'une, la n'en fera que |.
Le septième degré constitue un intervalle de septième majeure avec la tonique. La série des harmoniques représente cet intervalle par les sons 8 et 15 qui nous donnent en même temps le rapport des vibrations. Ut faisant 8 vibrations, si en fait 15, mais ut n'en faisant que 1, si en fera 8 fois moins, donc •—.
Si nous rassemblons les différents rapports que nous avons déterminés en partant de w^ = 1 vibration, nous avons pour les différents degrés de la gamme majeure :
ut
ré
mi
fa
la
si
do
Les rapports vibratoires des sons de la gamine sont ordinairement exposés d'une façon différente de celle que nous venons d'indiquer. Nous avons choisi cette dernière manière de préférence à toute autre parce qu'elle est simple et compréhensible pour les musiciens peu familiarisés avec l'emploi des chiffres. Voici comment on procède habituellement : on sait que l'accord parfait majeur du premier degré se compose d i premier degré ou tonique; du troisième degré majeur , tierce ou mediante et du cinquième degré, quinte ou dominante.
Examinons la série des harmoniques, nous trouvons pour ut 1 vibration; pour mi 5 et pour sol 3 vibrations. Mais le plus grand intervalle en musique est l'octave représentée par le rapport de 1 : 2. Il s'agit donc de ramener les rapports vibratoires de la tierce et de la quinte entre ceux qui déterminent l'octave.
Le son 5 appartient, comme nous pouvons le voir en consultant la série des harmoniques, à l'octave moyenne, c'est-à-dire à celle qui se trouve deux octaves au dessus de l'octave fondamentale à laquelle appartient le son 1. Pour ramener le rapport de l'octave moyenne à celui qu'il doit avoir dans l'octave fondamentale, il faut le diviser par 2 pour une octave^ par 4 pour 2 octaves, par 8 pour 3 octaves, par 16 pour 4 octaves, et ainsi de suite. Or, comme nous venons de le dire il y a 2 octaves entre le son I et le son 5 et nous avons donc en partant â!ut =1, mi= \,
Le son 3 appartient à l'octave grave de la série ; il n'y a (ju'une octave de différence avec l'octave fondamentale, nous n'avons donc qu'à diviser par 2 pour avoir le rapport de la quinte vis-à-vis de la tonique 1, et conséquemment |.
L'accord parfait majeur de la tonique se chiffre donc :
ut
mi
sol
Établissons maintenant pour règle que pour connaître le
rapport d'un intervalle à un autre, il faut multiplier Fun par Tautre, les numérateurs et les dénominateurs des deux formes fractionnaires. Ainsi, prenons les rapports des sons constituant l'accord parfait en partant de sol comme tonique. Nous avons pour établir le rapport de la tierce majeure de sol à multiplier I par le rapport de la tierce |, ce qui donne :
~ X ^ = -g rapportde si.
Pour établir le rapport de la quinte de sol^ nous avons à multiplier | par le rapport de la quinte |, ce qui donne :
- X ^ = ;j rapport de ré.
Nous avons donc pour l'accord parfait, en partant du sol:
2 8 4 sol si ré
mais le rapport de ré dépasse l'octave à^ut = 1, car | est plus grand que 2 ; il faut donc, pour ramener ce raifort à la gamme précédente, le diviser par 2, ce qui s'obtient en doublant le dénominateur de la forme fractionnaire. Neas avons donc pour re |.
Il nous manque les valeurs relatives de fa et de la pour compléter les valeurs de chacun des sons de la gamme.
Ces deux notes forment avec l'octave de la tonique, un accord parfait : fa, la, do.
La valeur de ut étant connue, nous avons à diviser 2 par le rapport de quinte pour avoir la valeur de fa rapporté i wf=2.
On sait que diviser un nombre entier par une fraction consiste à multiplier ce nombre entier par la fraction diviseur renversée.
Nous avons donc pour /a, 2 divisé par | est égal à 2 x | =|- Connaissant la valeur de fa^ nous multiplions cette valeur par le rapport de la tierce pour avoir le rapport de la :
lia valeur d'une fraction ne change pas si le numérateur et le dénominateur sont divisibles par le même nombre ; pour simplifier, divisons donc 20, numérateur, et 12, dénominateur, respectivement par 4, et nous aurons |.
BétaUissant la valeur de chacun des sons obtenus pour la détermination de la gamme majeure, nous avons :
ut
ré
mi
sol
la
si
do
Le résultat est le même que celui obtenu à l'aide de la série des harmoniques.
Remarquons, que nous n'avons cherché à ramener ces rapports à ïiit = 1 que pour avoir l'expression la plus simple possible. L'on peut partir d'un ut quelconque en multipliant les rapports de tous les sons de la gamme par le même nombre, ce qui n'altère pas les valeurs relatives. Si nous voulons connaître les valeurs de chacun des sons de la gamme en fractions décimales, nous n'avons qu'à diviser le numérateur par le dénominateur, en conservant autant de décimales qu'on le désire. Ainsi ;
ut ^ 1
nous
1 domie 1,0000 vibrations
fa ^t
sol = - nous donne 1,5000 vibrations
la = l > 1,6666
do = 2 » 2,0000
Si, au contraire, nous voulons obtçnir des rapports en nombres entiers, nous avons à réduire nos fractions ordinaires au même dénominateur.
Nous savons que, pour ramener des fractions au même dénominateur il faut rechercher le plus petit multiple des dénominateurs des fractions proposées. Ce plus petit multiple sera le dénominateur commun ; on le divise par le dénominateur de chaque fraction particulière et l'on multiplie chacun des termes de la fraction par le quotient.
Examinons notre gamme :
Lepluspetit multiple des dénominateurs, 8, 4, 3, 2, 3, 8, est 24.
Donnons à l'unité la forme fractionnaire : xr ut
8dénominat.de- entreen24, trois fois, nous avons donc- X ô "^ ôl^^'
4 » -- » 24, six fois, » 7 X :; = 777 »»»
3 » - » 24, huit fois, » l^l^M^""
*2 * - » 24, douze fois, » - ^ï^""^ 24
3 » - > 24, huit fois, > 3^8"" 24^
5^ «. X . i. . 15 vx 3 45 .
8 » — > 24, trois fois, » 8"^ 3 ""24**
l'octave 2 se représente naturellement par : 24 ***
Sapprimons tous les dénominateurs, ce qui peut se faire sans altérer les rapports, nous aurons en nombres entiers les nombres :
ut ré mi fa sol la si do
Il serait impossible de donner à ces rapports une expression
plus simple, ces nombres n'ayant pas de commun diviseur.
Pour produire cette gamme au moyen des divisions d une corde ou d'un tuyau, il faudrait que ces derniers fussent assez longs pour donner les harmoniques :
ce qui est pratiquement impossible.
Si nous comparons, par la division, le rapport des intervalles entre eux, nous trouvons :
entre ut et ré ~ divisé par 1 = r
mi et ré, -
fa et mi, g
sol et fa, -
la et soi, -
SI et la, -3-
ut et si, 2
1^ 2 V ^ ^^ 8 '^ÎS 15
Nous nous trouvons donc en présence de trois espèces d'intervalles : le ton majeur f , dont nous pouvons nous rendre compte par la succession des harmoniques 8, 9; le ion mineur ^/, fourni par la succession des harmoniques 9 et 10 ;
et le 1/2 ton màjearTf, fourni par la succession des harmoniques 15 et 16.
L'oreille peut confondre le ton majeur avec le ton mineur, mais elle apprécie la différence entre le demi-ton majeur et le demi-ton mineur.
De même que la tierce majeure est formée de la superposition d'une seconde mineure à une seconde majeure
de même le ton est formé de la superposition du demi-ton majeure au demi-ton mineur.
Divisant le ton ^ par le demi-ton majeur ~f , nous avons pour valeur du demi-ton mineur
dont nous pouvons nous rendre compte par la succession des harmoniques 24 et 25.
Si nous comparons le ton majeur au ton mineur, ce que nous faisons par la division, nous obtenons
Cette valeur que l'oreille peut négliger s'appelle comma.
Comparons par le même moyen, le demi-ton majeur avec le demi-ton mineur, nous obtenons :
cette valeur, plus grande que le comma, est parfaitement sensible à l'ordlle.
Voyons maintenant comment s'introduisent dans la gamme les* dièses et les bémols.
Nous savons que la gamme majeure se compose de deux tétracordes disjoints et semblables. On appelle tétracorde les quatre sons qui séparent Tintervalle de quarte avec la tonique, et de l'octave de celle-ci avec la dominante.
do, ré, mi, fa. sol, la, 8i, do.
ler tétracorde. 2e tétracorde.
On appelle ces tétracordes disjoints, parce qu'il y a un ton de séparation entre la fin du premier et le commencement du second; ils sont semblables, parce que, à part la dififérence de remplacement du ton mineur et du ton majeur, les tétracordes sont semblables quant à la position des tons et des demitons.
La tonalité la plus simple après celle d''ut majeur, est celle dont le premier tétracorde est composé exactement comme le second de la gamme d^ut majeur :
sol, la, si, do»
1er tétracorde.
Pour avoir un deuxième tétracorde semblable au premier, il faut naturellement diéser le /a, on obtiendra ainsi un demiton entre le troisième son et le quatrième.
. ré,, mi, fa dièse^ sol,
2« tétracorde»
Sachant que la distance entre le fa dièse et le sol doit être la même que ceUe qui se trouve entre le si et Vut de la gamme dV^, distance que nous avons évaluée à ~|, demi-ton majeur, il suffira, pour obtenir la valeur de fa dièse, de multiplier celle de fa par || valeur du demi-ton mineiir.
n est essentiel de tenir compte qu^au comma près, le ton résulte de la superposition du demi-ton majeur et du demiton mineur.
La gamme de ré est la plus simple après celle de sol^ parce son premier tétracorde est composé du second tétracorde de la gamme de sol :
ré, mit fa dièse^ soh
nous complétons cette gamme par Taddition d'un second tétracorde où nous donnons à do dièse la valeur de do multipliée par II :
la, si, do dièse, ré.
et ainsi de suite pour la formation de toutes les autres ganmies.
L'introduction des hémdls se fait d'une manière analogue.
La gamme de /a, la plus simple après celle diut majeur, a pour deuxième tétracorde, le premier tétracorde de la gamme ô!ut majeur :
fa, sol, la, si bémol, do, ré, mi, fa,
1er tétracorde. 2* tétracorde.
Il est évident que pour avoir un demi-ton entre le troisième et le quatrième sons du premier tétracorde, pareil à celui qui se trouve entre les cinquième et quatrième son du deuxième tétracorde, il faudra obtenir la valeur de si bémol, ce qui se fait en multipliant la valeur de si par |j.
La gamme la plus simple après celle de /a, est celle de si bémolj puisqu'elle a pour deuxième tétracorde le premier tétracorde de la gamme de fa :
Si bémol, do, ré, mi bémol, fa, sol, la, si bémol,
1er tétracorde. 2e tétracorde.
Pour obtenir la valeur de mi hémol^ il faudra naturellement
multiplier la valeur de mi, par ~ et ainsi de suite pour toutes les gammes bémolisées.
La gamme que nous venons d'examiner est la gamme dite des géomètres ovL des physiciens ; elle est loin d'être acceptée par les musiciens, et avec raison, car l'exactitude des rapports qui la constitue, si eUe était exactement observée, nous amènerait inévitablement à jouer beaucoup plus faux encore qu'on ne le fait aujourd'hui. Voici quelques-unes des raisons qui nous obligent de nous écarter de la gamme des physiciens.
Tous les musiciens savent qu'entre deux sons à l'intervalle d'un ton, comme w< et repar exemple, on établira une différence assez sensible entre ut dièse^ que l'on rapprochera instinctivement du re, et de ré bémols qui semble attiré vers ut.
11 est naturel que nous ne parlons pas ici des instruments à sonsiSxes. Cette distinction pratique provient de ce que l'oreille conçoit mieux les tendances résolutives de ut dièse sur re, et de ré bémol sur ut, en exagérant la petitesse de l'intervalle qui les sépare. Ce fait, admis par tous les musiciens, est rejeté par les physiciens et les géomètres ; ceux-ci exigent ré bémol plus élevé que ut dièse.
En effet, nous avons, d'après la théorie qui précède, et en supposant ut = l,ré= ^:
pour re ftemoL. g X 25 = 200 = 25
pour ut dièse * 1 X ^
En réduisant en fractions décimales, nous avons :
ponru^ 1.00000 vibrations^
ut dièse 1.04166 »
ré bémol 1.08000 »
ré 1.12500 »
ce qu'un musicien ne peut admettre.
Dans la gamme des physiciens dont nous avons établi les rapports par la formule :
ut ré mi fa sol la si do
nous avons pour intervalle de la quinte ut-sol, 1 : |, dont le rapport est exact.
Nous en avons une autre, mi-sij dont le rapport est également exact, car en multipliant la valeur de la tierce mi par celle de la quinte, nous trouvons la valeur exacte de si :
Nous avons aussi fa-ut^ dont le rapport est juste, car
