NOMBRE RELATIF
DE
VIBEATIONS.
DBS
CORDES
lit
ut dièse ou ré bémol .
ré
ré dièse ou mi bémol .
mi , . . . . .
fa dièse ou sol bémoL
sol
sol dièse ou la bémol.
la
la dièse ou si bémol .
si
tu
En donnant à ut une valeur quelconque, on calcule facilement tous les degrés de la gamme qui lui appartiennent en multipliant le premier terme par la raison qui nous a servi à calculer le tableau précédent.
L'inspection des rapports de la gamme tempérée nous démontre que le dièse et le bémol se confondent enharmdniquement ; — que le rapport de la tierce majeure est légèrement augmenté; — que le rapport de la tierce mineure est diminué, de même que celui de la quinte.
Tous les instruments à sons fixes doivent s'accorder suivant le principe du tempérament égal, car il serait d'une difficulté insurmontable de construire des instruments qui permissent de donner à chaque intervalle l'exactitude des rapports exigés
pour chacune des tonalités où ils sont employés. On appelle instruments à sons fixes^ l'orgue, le piano, Tharmonium, la harpe, etc., parce que ces instruments ont les sons fixes pour chacune des notes qui composent leur étendue.
Les trous latéraux, les tons de rechange des instruments à vent et les tubes additionnels appliqués aux instruments à pistons, doivent se calculer d'après la gamme du tempérament égal, afin d'obtenir des rapports semblables pour les tonalités diverses dans lesquelles on les emploie.
L'accord de l'orgue, du piano, de l'harmonium est basé sur la succession de douze quintes qui correspondent à la succession de sept octaves; seulement, au lieu de prendre le rapport exact de quinte juste 1.500000, on prend le rapport de quinte tempérée 1.49831, c'est-à-dire que l'on tient toutes les quintes un peu basses, afin d'arriver exactement à ce que la douzième se confonde avec l'étendue de sept octaves.
L'accord sur une étendue aussi grande serait incommode, c'est pourquoi, au moyen d'une formule que l'on appelle parti-' tion de V accordeur, on ramène constamment les quintes au moyen de l'octave, dont le rapport doit toujours être conservé exactement, dans une étendue qid ne dépasse pas une octave et demie.
Voici une partition semblable : la note noire s'accorde sur la blanche. Généralement, on se sert du la comme point de départ; ce la se règle sur le diapason qid doit servir du type à l'accord général :
hM
T iH
À rj
hM
Uz^
Four que Topération soit juste, il faut qu'elle se termine en donnant les deux derniers sons, la et si double hémol^ exactej&^it à Foctaye.
On se rend facilement compte de Ténorme difficulté qu^il y a à accorder un instrument dans des conditions semblables Cependant cet obstade est moins grand pour Torgue parce que les sons soutenus de cet instrument permettent de compter exactement les battements que chacune des quintes doit donner pour être tempérée avec toute la précision requise. Notons, en passant, que beaucoup d^accordeurs donnent à chaque quinte tempérée un nombre égal de battements. Rien de plus mauvais que cet accord, car le nombre de vibrations variant pour chaque quinte, il est évident que les battements changent dans un rapport semblable.
Le piano ne peut pas être accordé à Taide de la méthode des battements parce que ces derniers ne s'entendent que difficilement à cause du peu de durée des sons de cet instrument; aussi rien n'est plus commun qu'im piano mal accordé ; et que de fois ne met-on pas sur le compte de l'accord par le tempérament égal, des défauts de justesse qui n'existent précisément que parœ que cet accord n'a pas été pratiqué assez exactement.
L'accord des notes qui composent la partition étant obtenu, en accorde tous les autres sons à l'octave.
Maintenant que le diapason normal est généralement admis pour Faccord des pianos, il y aurait avantage pour l'accordeur de se servir de toute la série de diapasons donnant une gamme ehromatique tempérée, mathématiquement juste. Un appareil semblable n'est guère coûteux, il écarterait tout doute, épargnerait des ennuis, parce que l'accord juste du piano n'exiger rait plus, pour être parfait, qu'une oreille apte à reconnaître l'exactitude de l'unisson et de l'octave.
Les rapports de la gamme ne sont pas toujours également interprétés, et leur détermination a donné lieu à bien des discussions. Nous avons donné la raison pour laquelle les musieiens n'admettaient pas la gamme des géomètres.
Bien avant qne les rapports de cette dernière gamme dissent calculés, Fythagore, philosophe grec, qui vivait en Tan 590 avant Tère chrétienne, avait formulé une gamme dont les rapports se rapprochent sensiblement de la gamme tempérée, et dont les notes accidentées se trouvent dans Tordre établi par la pratique, c'est-à-dire que le dièse y est plus élevé que le bémol. Cette gamme, appelée phythagoricienne^ est basée sur la succession des quintes.
Voici comment on calcule les rapports de cette gamme. Si nous partons, comme dans les calculs précédents, deut =^ 1 , nous trouvons :
I ut =
octave priinitiTe| / __
1er octave. . .
2m» octave. . .
ré =
la
mt =
3me octave. . . fa dièse ^=
4me octave. . .
5me octave. . .
ut dièse =
sol dièse
ré dièse =
la dièse =
6"* octave. . . mi dièse =
7me octave. . . si dièse =
Pour obtenir le fa et lès notes bémolisées qui nous manquent, nous partirons également d!ut = 1 ; mais en allant de quinte en quinte descendante :
octaye primitive ut
Ire octave. . .
fa
2me octave .
si bémol = mi bémol =
3me octave . .
la bémol = ré bémol =
4nio octave . .
90l bémols 243 '^ 3
5"e octave . .
ut bémol f% bémol
il V ?
(5me octave . .
si^^
7mo octave . .
Comme il a été dit plus haut, pour ramener les rapports ascendants à la gamme primitive, il faut diviser par 2 pour une octave, par 4 pour 2 octaves, par 8 pour 3 octaves, et ainsi de suite. Cette règle est facile à comprendre si l'on se
rappelle que les nombres de vibrations doublent pour une même note d'une octave à l'autre.
Pour ramener les rapports descendants, il faudra donc multiplier par 2 pour une octave, par 4 pour 2, etc.
Prenons maintenant notre gamme diatonique majeure.
Nous avons tU^ point de départ, = 1 :
ré == 7 Use trouve dans la première octave ascen-
mi
fa
sol
la
dante de la gamme primitive; nous avons danc à diviser sa valeur par 2, et nous obtenons
Il setrouvedans la deuxième octave ascendante, et nous avons donc
n se trouve dans la première octave
descendante, et nous avons donc à multiplier sa valeur par 2 et nous obtenons . .
n se trouve dans Toctave primitive ; ce
rapport exprime donc sa valeur réelle . .
Use trouve dans la première octave ascen-
27 1 27 dante ; nous avons donc "^Xô~Tr
si =--rr n se trouve dans la deuxième octave
243 , 1 243 ascendante ; nous avons donc -^ X 7 = t^'
Toutes ces valeurs placées dans l'ordre de la gamme, nous donnent
ut ré mi fa sol la si do
En comparant le rapport de ces intervalles, au moyen de la division, nous trouvons :
entre r^ et ic* - : 1 = ô
entre r<? et «. - : - = - X g =^ ^ g
entre mi é. fa -^ = 64 = 243
entre fa et sol - :
entre sol et Za --^ :
entre la et si —r :
entre si Qi ut 2 : •— — = r-rr
Cette gamme ne nous donne plus que deux sortes d'intei?vaUes, le ton | et le demi-ton |j|, ce qui est plus conforme à la pratique que les tons majeurs et mineurs de la gamme des géomètres et dont Toreille la mieux organisée ne pourrait saisir la différence.
Les explications qui précèdent nous permettent d'établir la gamme de Pythagore en réduisant en valeurs décimales les rapports fractionnaires que nous avons obtenus précédemment.
NOMBRE
DB
VIBBATIONS.
ut . , , ré bémol .
ut dièse .
ré . , .
mi bémol, ré dièse .
mi . . .
sol bémol, fa dièse .
sol. . .
la bémol .
sol dièse .
la . . .
si bémol .
la dièse .
si . . .
ut . , ,
LONGUBURfi DES
CORDES
La gamine de Pythagore est-elle la vraie gamme de la musique? Cette question a été si souvent soulevée et discutée sans résultat que vous laisserons à d'autres le soin de la résoudre. Disons seulement que le point vulnérable de la doctrine pythagoricienne est celui-ci.
Si le cycle ou la succession des quintes engendrait réellement le rapport de chacun des intervalles de la gamme, il faudrait évidemment que le résultat obtenu par la succession
des quintes, fût le même que celui obtenu par la succession des octaves arriTant au même but. Nous avons vu qu'en partant de u^ = 1, nous arrivons pour si dièse — qui devrait correspondre exactement à ~^, rapport d'un intervalle de 7 octaves en nous servant de la succession de 12 quintes — au rapport-4if^'.
Si nous réduisons le rapport de 7 octaves ip et le rapport de 12 quintes ^7^* au même dénominateur, nous obtenons
pour le rapport des octaves, et
pour le rapport des quintes.
Si nous divisons ces deux rapports, nous obtenons pour Fexcédant de la succession des quintes sur celles des octaves, la fraction ff^fH, que l'on appelle le comma pytliagoricien.
Les partisans de la doctrine pythagoricienne s'appuient sur la petite valeur de cette &action pour combattre les attaques dirigées contre leur gamme.
Nous devons à M. Barbereau une très-remarquable théorie de la tonalité basée sur la progression triple. Cette progression donne les mêmes résultats que la doctrine pythagoricienne; avec cette restriction cependant, que les rapports qu'elle exprime sont en nombres entiers. (*)
Voici comment cette progression s'explique :
Nous partons à'ut = 1 vibration, produit par une longueur de corde supposée 1.
Nous savons que si nous réduisons cette corde au tiers de
(*) Études sur Vorigine du système musical — Paris, Gauthier Villars, 1864.
sa longueur, nous obtenons un son sol faisant 3 fois plus de vibrations.
Prenant le tiers de la longueur de corde obtenue pour sol, nous aurons un ré produit par une longueur de corde de 1^ X i = 9» ®^ comme ce nombre de vibrations est en raison inverse de la longueur des cordes, ré fera 9 vibrations.
Diminuons encore la corde | d'un tiers, nous aurons un la produit par i- X \ = ^^ de la corde exécutant conséquemment 27 vibrations.
En continuant ainsi, nous obtiendrons la valeur en nombres entiers pour toutes les notes de la gamme.
Pour ramener ces valeurs à la gamme primitive, nous opérons comme nous l'avons fait dans les exemples précédents.
Le premier son sol se trouve une octave au-dessus de la gamme primitive; nous divisons donc sa valeur par 2, et nous avons |.
Le son suivant ré= 9 vibrations, se trouve à trois octaves de la gamme primitive, nous avons donc pour ré |.
La = 27 vibrations, se trouve à quatre octaves de la gamme primitive, nous avons donc à diviser sa valeur par 16 pour la ramener dans la gamme primitive; donc la = \\.
En poursuivant de la même façon, nous obtiendrons, pour les autres sons de là gamme produite par la progression triple, des valeurs exactement semblables | à celles qui sont le produit de la succession des quintes.
M. Barbereau n'attache aucune importance au comma pythagoricien, et ne redoute pas les attaques qu'il permet de soulever contre son système; pour lui, la tolérance de l'organe auditif dans l'appréciation des sons et de leurs rapports est incontestable. « Cette appréciation n'est point absolue, mais approximative, dit-il, et l'oreille rapporte à une complète identité de fonctions dans la mélodie et l'harmonie les sons qui ne divergent point entre eux au delà d'une certaine limite, »
Tableau comparatif des lon^enra de cordes permettant^ à l'aide du sonomôtre; de se rendre compte de tons les sons de la gamme :
DÉSIGNATION DES NOTES
Ut dièse . .
ré bémol. .
ré. . . .
ré dièse . .
mi bémol
mi . . ,
fa, . . .
fa dièse . .
sol bémol .
sol . . .
sol dièse . .
la bémol . .
la dièse . .
si bémol . .
si. . . .
do . . .
des Géomètres.
imOOOOO
O.dââffî
