ICI. Soit proposé de résoudre les équations simultanées

n.r 1 ■+- b. r) ~l~ cy' itx -(- cy + /’= o , >■ •

a' v* -h b' xy -F- c' y 1 4- d' x c' y -\-f = o .

, ( . , • Eliminons y ’ par la méthode de réduction ; en d’autres termes,

ajoutons à la première équation multipliée par c' la seconde multipliée par — c; le résultat est de la forme • ,

A x 1 4- Bxy- D-r + Ey+ F — O.

En substituant alors la valeur de j- tirée de cette relation <

T ~ ‘ Bz+E - '

dans la première des équations proposées, on trouve une équation du 4*Megr£ en x d«j la forme. .

M X 1 +• Nx 3 4- Px’ Qx -t- R = o, . • -

et le systèn.e primitif est remplacé par le groupe

M r 1 -h Nz’ 4- P.)' 1 J-.Q x -K'R — o , ' •

«'x J b’ ry c'jr’.-t- il 1 te 4- c'y-hf — o. • ‘ •

Si l’équation du quatrième degré est bicarrée, ou si elle se réduit au

F.<)UAT!ONS REDUCTIBLES AU SECMM> DEGRE.

second degré , on saura la résoudre , et en substituant les valeurs de x ainsi obtenues dans l’autre équation, on aura les valeurs correspondantes de y .

Exemple :

' 8jrr — 42/ -J- 9 = 0»

La première équation ne contient pas y* ; en la résolvant par rapport à j, et substituant la valeur ' ? - >•

dans la seconde, on obtient l'équation du second degré

•qui a deux racines réelles

.r ±= 5 et x — —■

Les valeurs dey correspondantes sont

artifices particuliers.

IGG. On préfère souvent les artifices indiqués dans le n° 165 à la iuéthode générale. . . .

Exemple I.

x’ -+- y - = rt , xy = fi.

En ajoutant et retranchant ces deux équations, après avoir multiplié la seconde par 2 , on trouve

(x -E/)’ = « ■+■ 2 b, (•»- -r-yY — à — 2 b ,

, d’où

x -t- y db \ja + 2 b., >■ — y == ± a — 2 b .

Il y a donc quatre solutions :

! x =±-, \ja -t-'2 b + — 2 b), :

y î.( +■ Vu + 2 b — v In — 2 h 1 1

Il 11

ur =

j(v/rt 4 - 7 . b — \/(t — 2 b).

T. T IV" + 2i 4- \/fl— 2 A).. ' ,

Les solutions 3el 4 ne different pas on réalité île i et 2 ; en sorte îju’il n’y a au fond que deuK systèmes de valeurs.- Exemple II. • ' ‘ '

• ' »’ a- , ' ’* ’* fs'

xy 4 - >» ( X 4 - y } — a , x 2 -X'j' 1 4 - 2 n ( x 4 - y).— b.

On ajoute à la seconde équatjon le double de la première, e{, l’on obtient ■ - . •. • - *

4- y‘ 4- a xy 4 - ( x 4- y ) ( 2 n 4 - 2 tu ) = b 4- 2 « , ' (r4-|) , + (î»+ 2/«)f*4- — A — 20 r= O, d’où - , . ’

^ -+-y = — (w 4- «) rfc: 4- o)" 4- 6 4-E2/Z.

On connaît donc x -h y, par suite, en portant celte valeur dans la première des équations données, on aura xy: en sorte que X et y seront les racines d’une équation du second degré qu’on pourra écrire. ' # ' " '■> ''

résolution de quelques systèmes uemauqiiabi.es 108. Soient proposées lq& équations

'. - , * , » -r' 4- y 1 ciV, al; 4- V — b. ‘ *

Prenant la différence x — y = z pour inconnue, on aura

et la seule équation du problème sera

KOUATIOMS BtimcriHLKS AU SfcCONU IllGRl..

Le signe 1 — du petit radical doit toujours être exclu comme ne ponvant donner lieu qu’à des racines imaginaires.

On peut, encore prendre xy~p pour incbnnue auxiliaire; alors x el y sont les racines de l’équation

d'où

et en, portant ces valeurs dans

on trouve- une équation qui détermine p.

1B7. Soit lé système

on a

ÜL — i’ — x ’ J 1 + z ' d 1

et

(i b e ifc y^<i 3 4 - A 3 4- c-

± y'a 3 4 - A 3 4 - e 3 bd

crf

l52' chapitre douzième*