SUR LE TRIANGLE RECTANGLE

173. Trouver les côtés jt, y, z d’un triangle rectangle dont on donne le périmètre i p et la surface m 1 .

Les équations du problème sont évidentes :

xy — i m 7 ,

En portant dans l’équation ( 3) la valeur de z tirée de l’équation ( i), et remplaçant xy par 2 m 1 , on trouve

-f- ffi 1

p- — p(x + y) -4- m'= o ou x y — — ;

x et y sont donc les racines de l’équation

et z est égal à

p 1 -4- ni 1

z est toujours réel : pour qu’il soit positif, il faut qu’on ait

D’ailleurs les racines de l'équation (4) sont positives, si elles sont réelles, c’est-à-dire si l’on a

Les conditions de possibilité se réduisent donc aux deux inégalités précédentes.

Or, pour que la dernière inégalité soit remplie, il faut que p 1 ne soit pas compris entre les deux racines

l(i*> CHAPITB». l'RFI/.IKIlr..

«le l’équation

/>' — (i nè p- -f- m* — o ;

de là les cbndilions

dont la dernière est inadmissible, comme étant incompatible avec la formule ( 5 ), on a donc seulement

p m V 3 -+- i\]i ou p~f> m ( 1 -4- ^ 2 ) »

rjue l’on peut encore écrire

ni < P < /J (v/2 — 1).

Si donc /« est donné, le minimum de p est ni (1 -+- ■>. ) ,

et si p est donné, le maximum de m est /((v'a — t).

Dans les deux cas, on a

/ r \ m( 2 4 - dz) r-

p — m[i -+- \Ji), x= — = m

. y — m \pï, s = 2 m ;

en sorte qu’on peut énoncer ce théorème :

Le triangle rectangle isocèle est, de tous les triangles rectangles de meme périmètre, celui qui a lu plus grande surface, et, de tous Us triangles rectangles de même surface, celui qui a le plus petit périmètre.