ALVÉOLE DES ABEILLES

181. Soit S un point pris sur le prolongement de l'axe 00' d'un prisme droit ABCDEFA'B'C'D'E'F' à base hexagonale régulière ; par ce point et par les côtés du triangle équilatéral ACE obtenu en joignant de deux en deux les sommets de la base supérieure, on mène trois plans qui détachent du prisme trois tétraèdres BACK., DCEH , FEAL, et les remplacent par un tétraèdre unique SACE placé au-dessus du prisme. Le solide ainsi formé est terminé , à sa partie supérieure, par un hexagone gauche composé de trois lozanges SAKC, SCHE, SELA ; son volume est indépendant de la position du points sur l’axe; il est toujours égal au volume du prisme, car la pyramide

Fig. i5.

ajoutée SAGE se compose de trois pyramides SOAC, SOGE, SOEA , qui sont respectivement égales aux trois pyramides détachées. Il s'agit de trouver la hauteur du point S qui rend minimum ta surface de ce décaèdre.

Prenons pour unité la moitié du côté AB de l’hexagone; désignons par h la hauteur du prisme et par x la hauteur inconnue du sommet S au-dessus du plan de la base supérieure. On a

A'I = ^AB\/ 3 = yjl, SI = y/ScT -+- Ôî’ = ^' + 1,

et comme la surface considérée se compose de six trapèzes égaux à A'KBA et de six triangles égaux à SAK, la quantité à rendre minimum a pour expression

2/1 — x + sjx 1 -f- x .

En l’égalant à ih + j-, on a successivement

La condition de réalité des racines est

y'— 2(3 — r’)>o, ou r>V2;

la surface est donc susceptible d’un minimum , et ce minimum a lieu pour

c’est-à-dire lorsque la différence des deux arêtes consécutives AA', BB' est égale au quart de la diagonale du carré construit sur le côté de l’hexagone.

Les trois angles plans de l’angle trièdre K sont alors égaux ; leur valeur commune est de i og° 28' 16" environ ; les trois dièdres sont égaux chacun à 1 20 degrés.

Les alvéoles des abeilles sont des décaèdres à surface minimum semblables à celui que nous venons de décrire ; l’hexagone est l’entrée de l’alvéole ; le miel est déposé dans le fond ; les abeilles construisent d’abord les losanges, puis les faces trapèzes. Qu’on se figure un plan rempli par des hexagones, et qu’on construise

sur chaque hexagone un alvéole, les sommets se trouveront dans un plan parallèle au premier. Enfin, qu’on place cette figure sur une autre pareille, de façon que les sommets s’enchevêtrent, on aura un ensemble de cellules qui portent le nom de rayon. La ruche se compose d’un certain nombre de rayons juxtaposés, de façon que deux mouches puissent passer à la fois entre deux rayons consécutifs.

Ainsi : i° l’inclinaison des trois losanges qui forment le fond de l’alvéole est telle, que la surface soit minimum; 2° le triangle équilatéral , le carré et l’hexagone régulier sont les seuls polygones réguliers qui, pris isolément, puissent remplir un espace plan sans laisser de vide, et de ces trois polygones, l’hexagone pour la même aire a le moindre contour. Il y a donc double économie de cire.

La construction géométrique des alvéoles , remarquée par Pappus, géomètre du iv' siècle avant Jésus-Christ, a été étudiée d’une manière précise d’abord par Philippe Maraldi à l’Observatoire (1712), puis par Réaumur, qui proposa la question du minimum à Samuel Kœnig et à Maclaurin. C’est à ce dernier géomètre qu’on doit la première solution théorique exacte. Kœnig n’avait trouvé que ioij'aG', au lieu de 1 09° 28' 16" pour l’angle du losange.