MAXIMUM DE L'EXPRESSION

. 182. On pose

ax 1 -+- bx -4- c '* ax 1 -I— b'x -+- c'

la condition de réalité des racines de l’équation

(a — a’ y ) x’ ( b — b' y ) x -+- c — c' y — o est

(2) y 1 ( b "■ — l\a' c' ) -(-y (4 ac' + 4 a ' c — 2 b b') -+- b s — 4 «c ^>0.

Il y a trois cas à distinguer :

i°. Si b ' 3 — 4aV est positif, la condition (2) est remplie pour toutes les valeurs de y non comprises entre les racines de

l’équation

( 3 ) y* (b'* — ^a'c')-i- y[^ac' + l\a' c — 2 bb') + b’— /\ac = o.

En d’autres termes, y pourra prendre toutes les valeurs possibles, et n’admettra ni maximum ni minimum quand les racines de l'équation ( 3 ) seront imaginaires, ou réelles et égales, et il aura pour limites les racines de cette équation quand ces racines seront réelles et inégales.

2 0 . Si b ' 7 — 4 a ' c ' est nul, l’inégalité (2) se réduit au premier degré, c’est-à-dire est de la forme

my 4- n > o ;

en sorte quejr aura un maximum ou un minimum égal à

suivant que m sera négatif ou positif. D’ailleurs il n’y aura ni maximum ni minimum si m est nul.

3 °. Si b ' 7 — 4 a'c' est négatif, la condition (2) sera satisfaite pour toutes les valeurs de y comprises entre les racines de l’équation ( 3 ). D’ailleurs cette équation a toujours alors ses racines réelles, puisque sans cela y ne pourrait prendre aucune valeur, ce qui est inadmissible d’après l’équation (1); donc y n’aura ni maximum ni minimum lorsque les racines seront égales, et il aura pour limites les racines lorsqu’elles seront inégales.

Exemple. Soit

la condition (2) est ici

or l’équation

admet les deux racines réelles — 13,928, — 0,072 ; on doit donc

avoir

et l’on voit que y » un maximum égal à — 13,928 et un minimum à — 0,072.

QUESTIONS DK MAXIMUM EX DK MINIMUM.

La formule

donne pour les valeurs correspondantes de x, i ,G3, 3,36.