THÉORÈMES GÉNÉRAUX

183. Théorème I. — Le maximum du produit de deux facteurs variables x et y dont la somme est constante a lieu quand les facteurs sont égaux.

En effet, l’identité

montre quex-t-y- étant constant, xy sera maximum quand x — v sera nul, c’est-à-dire quand x sera é^çal à y.

Inversement', la somme de deux nombres dont le produit xy est constant, est minimum quand ces nombres sont égaux.

Car l'identité précédente, mise sous la forme

fait voir que , xy étant constant, la plus petite valeur de x -f- y correspond à x — y = o, c’est-à-dire k x= y.

184. Théorème II. — Le maximum du produit xyzuv . . . de n facteurs positifs dont la somme est constante a lieu quand tous ces facteurs sont égaux entre eux.

Soit, en effet,

abed. . . kl

ce maximum. Si deux facteurs quelconques b et c étaient inégaux, en les remplaçant par leur moyenne arithmétique

on obtiendrait un nouveau produit b -y c b -y c

d. . . kl,

dont les facteurs auraient la même somme que ceux du premier

1 ’jb CHAPITRE QUATORZIEME.

et qui serait plus grand que le premier, puisque

est plus grand que bc.

188. Scolie. — Le théorème subsiste lorsque tous les facteurs sont négatifs et qu'ils sont en nombre pair; car le produit

ad. . . kl

est encore positif, et, par suite, l’inégalité

b -h c b -h c - . ■ "> bc

entraîne encore

Lorsque tous les facteurs sont négatifs et qu’ils sont en nombre impair, le produit

ad. ..kl

est négatif, et l’inégalité

a d... kl< abcd. . . kl,

c’est-à-dire qu’on a alors un minimum.