Théorème III. — L'expression
dans laquelle x, y, z, . . . sont des nombres positifs dont la somme est constante, est maximum lorsqu’on a
Le produit
est, en effet, maximum dans les mêmes circonstances que l’expression
x«y s es...
mais cette expression peut être considérée comme le produit des * + S + 7. . , facteurs
dont la somme
a — 1-8; + 7 — h... ou x 4- r -t- .
est constante; elle sera donc maximum quand ces facteurs seront égaux, c’est-à-dire lorsqu’on aura
en désignant par a la somme donnée; on en déduit
Qg
187 . Théorème IV. — Si, une quantité X étant donnée, une autre quantité Y est maximum dans certaines circonstances, réciproquement, Y étant donnée, X sera minimum dans les memes circonstances ; pourvu que la valeur maximum de Y diminue lorsque la valeur donnée de X diminue.
En effet, désignons par A la valeur donnée de X, par B la valeur maximum correspondante de Y, et par A' un nombre quelconque moindre que A ; par hypothèse, le maximum de Y correspondant à X = A' est moindre que B. Donc X est au moins égal à A quand Y est égal à B.
it8 chapitre quatorzième.
Scome. — Ce théorème comprend les réciproques des propositions II et III.
Le minimum de ta somme de plusieurs nombres positifs dont le produit est constant a lieu lorsque ces nombres sont égaux.
Le minimum de la somme de plusieurs nombres positifs x , y, z, . . . , qui rendent l'expression
constante, a lieu pour
