APPLICATIONS DU THÉORÈME I

188 . Il résulte immédiatement de la proposition I, qu’u« rectangle xy , de périmètre donné 2 (jr y}> est maximum lorsque ses dimensions sont égales, c’est-à-dire lorsqu’il devient un carre. Par suite, le carré est de tous les rectangles de même surface celui qui a le plus petit périmètre.

De même, parmi tous les triangles rectangles dans lesquels l a somme x + y des côtés de L’angle droit est constante, le triangle

isocèle est celui dont l’aire - xy est maximum ; et de tous tes

triangles rectangles de même surface , le triangle isocèle est celui dans lequel la somme des côtés de. l’angle droit est la plus petite.

189 . Parmi tous les triangles de même base a et de même périmètre 2 p, le triangle isocèle est un maximum.

La formule '

montre, en effet, que, p et p — a étant constants, S est maximum pour

c’est-à-dire pour b = c, puis que les facteurs p — b et p — c ont une somme constante

2 p — b — c ~ a y- b y- c — b — c — a. Inversement, si la base d’un triangle dont le sommet est fixe ,

glisse sans changer de longueur sur une droite donnée, le périmètre du triangle est minimum, lorsque le triangle est isocèle, c’est-à-dire lorsque le sommet fixe se projette sur le milieu de la base.

190. Sur une première droite AA' sont situés deux points fixes a , b ; sur une seconde droite BB' glisse un segment cd de longueur constante; on demande la position du segment cd qui correspond au minimum de l'aire de la pyramide abed.

Les aires acd, bed sont constantes; il s’agit donc de rendre minimum la somme des aires cab , dab, ou bien la somme des perpendiculaires abaissées de c et d sur AA'. Projetons la figure sur Fig. ifî.

projection de la plus courte distance des droites fixes AA', BB'. Donc l’aire de la pyramide abcd est minimum , lorsque le milieu de cd est le point où la plus courte distance entre AA' et BB' rencontre BB'.

un plan PQ normal à AA'; la distance c' d', projection de cd, est constante , et ecf, ce’ sont égales aux perpendiculaires menées de c et d sur AA'; or d’après le problème précédent ec' -f- ed' est le minimum, lorsque le milieu /'de c' d' est le pied de la perpendiculaire abaissée de e sur c' d ' ; alors ci' est la

191. Couper un tétraèdre ABC par un plan parallèle aux deux arêtes opposées AC, BD, de façon que ta section F.FGH soit un minimum.

La section est évidemment un parallélogramme dans lequel Fig. 17 . l’angle HGF est égal à l’angle des arêtes AC, d BD ; elle sera donc maximum en même temps

que le rectangle dont les deux dimensions sont HG et GF ; or on a

HG

AC

GF

BD

BG

BC

GC

BC’

et , par suite,

. ÜU