BG = GC

c’est-à-dire lorsque le plan de la section sera mené à égale distance des deux arêtes AC, BD.

APPLICATIONS nu THÉORÈME II.

192. Le. cube est de ions les parallélipipèdes rectangles de même surface celui qui a le plus grand volume.

En effet, en désignant par .r, y, z, les trois arêtes, la surface et le volume du paraltélipipède ont pour expression

2 ( xy -f- .rz -|- yz) et xyz.

Or xyz est maximum en même temps que x 1 y 1 a’, lequel est le produit des trois facteurs xy, xz, yz, dont la somme est donnée; il acquiert donc sa plus grande valeur pour

xy — xz = y z , ou x — y — z.

i95. Maximum de l’aire d’un trapèze isocèle ABCD, dont la Fig. 18. petite base AB = a et la longueur com-

c f f. „ munc c des deux côtés BC , AD non paral-

lèles restent constantes.

Soit x la plus grande base CD ; l’aire du trapèze a pour expression

Elle est donc maximum en même temps que le produit x y- a x y -a x y- 2 c — a ne y- a — x

où a, 6, y sont «les nombres arbitraires. Si l’on détermine a, 6,7, de façon que le coefficient de x soit nul dans la somme des quatre facteurs qui précèdent, c’est-à-dire de façon qu’on ait

le produit (1) sera maximum lorsque les facteurs seront «igaux , c’est-à-dire lorscpTon aura

■r-l-fl .r 2 c — a îc + o — x

L’élimination de -, a

donne

- entre les trois équations qui précèdent

dout la racine positive

est la plus grande des deux bases du trapèze cherché. Les quatre côtés du trapèze étant déterminés, il sera facile de le construire et d’exprimer l’aire en fonction des données a, c.

Nous ferons seulement remarquer que l’équation (2), mise sous la forme

x . — = c 3 ou CD X DE = AD,

prouve que le triangle CAD est rectangle en A ; CD est donc le diamètre du cercle circonscrit au trapèze.

Pour c — a, on a x = 20 ; les côtés BC, AB, AD, sont égaux au rayon du cercle circonscrit au trapèze , et chacun des angles DAB, ABC vaut 120 degrés.

Cette ingénieuse méthode qui consiste à multiplier ou diviser par des noiôbres arbitraires qui sont déterminés ensuite, de façon que les facteurs du produit à rendre maximum aient une somme constante, a été indiquée par M. Grillet {Nouvelles Annales).