Triangle isocèle maximum inscrit dans un cercle

Soient r le rayon du cercle , 2 x la base du triangle et y la hauteur. La surface xy du triangle sera maximum dans les mêmes circonstances que son carré x 1 y' ; d’ailleurs, la demi-base étant moyenne proportionnelle entre la hauteur et l’excès du diamètre sur cette hauteur, on a

J r'=zy(%r—y),

et, par suite,

La somme (2 r—y) -f -y étant constante, il résulte du théorème III que l’expression qui précède est maximum pour

Le triangle est alors équilatéral.

198. Maximum de la surface latérale du cône inscrit dans une sphère.

En désignant par r le rayon de la sphère, par y la hauteur du cône et par x le rayon de la base , on a à rendre maximum l'expression tzx vtf+7) les variables x et y étant encore liées par la relation

= ( ar — r)r-

Cette expression est maximum en même temps que son carré

7T 1 x^x 1 4- y 3 ) sa 2 jt J r(ar — y) y',

or le produit (2 r —y) y‘ acquiert, en vertu du théorème III, sa plus grande valeur pour

7 ou

196. Dans une feuille de carton ABCDE ayant la forme d'un polygone régulier, on inscrit un second polygone régulier A'B'C' D'E' semblable au premier et semblablement placé j des

QUESTION» UK MAXIMUM *T UK MINIMUM. l83

sommets A', B', (", D', E' on mène des perpendiculaires sur les E'tî- '9- cotés iln premier polygone, et on supprime

les petits quadrilatères qui sont ombrés danr ta figure ci-jointè. Déterminer l’a/io- H thème du nouveau polygone par la condition que la boite qui aurait pour fond ce polygone, et pour faces latérales les rectangles restants, ait un volume maximum.

En désignant par x l'apothème Ol et par » - la hauteur 1K du la boîte, on voit aisément que x y est constant, et que le volume est proportionnel à x 1 y \ ce volume sera donc le pins gland possible, lorsqu’on aura

- = - ou x — = OK et OK .

EXERCICES

I. Appliquer la méthode générale des maximums aux problèmes suivants :

i°. Maximum de la surface totale du cylindre inscrit dans une sphère.

a”. Par les deux extrémités d’une droite AB, on mène deux droites BU, AV parallèles et de sens contraire ; mener par un point fixe C pria sur AV une transversale CXY telle, qnela somme des triangles XBY, XAC soit un minimum.

3°. Trouver sur la ligne des centres de deux sphères un point tel , que la somme des zones vues de ce point soit maximum.

4°. Étant donnés un point et une droite, aller du point à la droite par un chemin tel, que le tempsemployc à le parcourir avec une vitesse V diminué du temps employé à parcourir sa projection avec une vitesse V'>V soit minimum. Déduire de là la solution du problème de la réfraction : Deux points A et B étant situés dans deux milieux différents que sépare la droite xy, et v, v' désignant les vitessesde la lumière dans les deux milieux, trouver

ï84 CHAPITRE QUATORZIÈME.

le chemin AXB que doit suivre une molécule lumineuse pour aller de A en B dans un temps minimum.