INSERTION DE MOYENS GÉOMÉTRIQUES

215. Insérer p — 1 moyens géométriques entre deux nombres a et /, c’est former une progression géométrique de p + 1 termes dont a et / sont les extrêmes. En désignant par x. la raison inconnue de cette progression dont l est le (p 4- 1 )'**" terme, on a

l=zaxP, d’où x —

Lu raison est donc égale à une racine du quotient des nombres donnés dont l'indice est le nombre des moyens à insérer plus un.

214. Théorème I. — Une progression géométrique de raison q étant donnée , si l'on insère un même nombre p — I de moyens

entre chaque terme et le suivant , on obtiendra une suite de progressions partielles dont l'ensemble formera une progression unique.

D’abord toutes les progressions partielles auront même raison tyq, et comme le dernier terme de chacune d’elles est le premier de la suivante, elles formeront une seule et même progression.

218. Théorème II. — Pour insérer pp' — i moyens entre deux nombres donnes a et l, on peut , suit insérer d'abord p — i moyens entre ces nombres et insérer ensuite p’ — i moyens entre chaque ternie de la progression obtenue et le suivant ; soit insérer d'abord p' — i moyens entre a et l, et insérer ensuite p — i moyens entre les derniers termes de la progression obtenue.

En effet, la raison de la progression qu’on obtient en insérant pp' — t moyens a pour expression

qu'on peut écrire des deux façons suivantes :

Or on trouve l’une ou l’autre suivant qu’on opère conformément au premier ou au second mode énoncé. Ce théorème peut d’ailleurs être généralisé comme celui du n° 20G.