SOMME DES CARRÉS ET DES CUBES DES «.OMBRES DE LA SUITE NATURELLE
218. La formule qui donne la somme des carrés des n premiers nombres est souvent utile. Pour la trouver, il suffit d’ajouter par colonnes verticales les identités suivantes :
ri* ~ {n — H-l)‘= {n — i) 3 4-3(« — i)’4- 3(n — l) 4- 1 , ( n 4- i ) 3 = [n 4- i ) 3 = «■’ -t- 3 »’ 4- 3 /»’ 4- 3 n 4- i .
On obtient ainsi la relation
d'où l’on déduit
n (n 4- 1 ) (an 4- 1 )
217. Kn formant de la même manière' les quatrièmes puissances des nombres 1 , 2 , 3,. . (« 4 , 1 ), on trouverait, pour la somme des cubes,
(I) ,, + 2 , + 3 3 4-...4-ir 3 = [ lL»± .L ) J.
Au lieu d’entrer dans les détails de cette opération , qui ne présente d’ailleurs rien de difficile, nous indiquerons un mode de raisonnement très-fréquemment employé en algèbre pour reconnaître l’exactitude d’une formule telle que ( 1 ), et que l’on donne sans démonstration.
On substitue d’abord à n les nombres les plus simples t, 2 , 3. On trouve ainsi
pour
pour
l„„„. ,, = 3 , /±iy= 36 = ,M-»M-3>.
La formule est donc vraie pour n — i , 2, 3. On aura dès lors prouvé qu’elle est générale, si l’on fait voir qu’en la supposant exacte pour une valeur quelconque de n, elle subsiste pour la valeur immédiatement supérieure : car de ce qu’elle est vraie pour n-3, on conclura qu’elle subsiste pour n = \, puis pour /»= 5..., et ainsi de suite, jusqu’à telle valeur de n qu’on voudra.
Il s’agit donc de montrer que la relation (1) entraîne
ou encore, retranchant (1) de (2), que l’on a
Or le second membre peut s’écrire
en sorte que la formule est vérifiée.
PILES DK BOULETS.
218. Dans les arsenaux on range les boulets par piles; ces piles sont de trois sortes :
La pile triangulaire a la forme d’une pyramide triangulaire dont le sommet est occupé par un boulet placé sur (1 -4- 2) autres, lesquels reposent sur (1 + 2 + 3) boulets , . . . ; en sorte que la tranche horizontale de rang k , à partir du sommet,
contient un nombre de boulets égal à
lqft CHAPITRE QUINZIÉME.
La somme des boulets d’une pile de n tranches est donc
T = ^(i + 2 + 3 + ...-Hii+^(i ! + î ! +3'+. ■+«’), *
ou
Pile quadrangulairc. — Chaque tranche est un carré dont le côté contient autant de boulets qu’il y a d’unités dans le rang de la tranche compté à partir du sommet
La somme des boulets d’une pile de n tranches est donc
Pile rectangulaire. — Le sommet est une lile de p -f- i boulets, placée sur deux files de p -t- 2 boulets, lesquelles reposent sur trois files de p -t- 3 boulets , . . . , conformément aux figures suivantes :
La somme des boulets d'une pile de n tranches est donc
/l(/l-t-l)(3/>-f-2lï-t-l)
