INTÉRÊTS COMPOSÉS

248 . L'intérêt est le bénéfice que fait sur son argent celui qui le prête ; il dépend de la somme prêtée ou capital, du temps pendant lequel on la prête, et du denier de l’intérêt, e’est-à-dire de l’intérêt de 1 franc par an.

L’intérêt est simple, quand il est retiré à la fin de chaque année, de façon que la somme prêtée resté 1 constante ; il est composé , lorsqu’à la fin de chaque année il s’ajoute au capital pour porter intérêt pendant l’année suivante.

243 . Quelle est au bout de n années la valeur x d’un capital a placé à intérêts composés , au denier r.

Au bout d’un an , la somme primitive a s’est accrue de son intérêt ar-, elle est devenne

La somme a (1 4- r) deviendra elle-même au bout d’un an a (1 -)- r) (1 + r) ou fl(l4-r)’,

En continuant ainsi, on voit que le capital acquiert les valeurs a (1 4- r ) 3 , a (1 4- r)',. . ., a(i + r)", après 3 , 4 , • • • » « années. On a donc

Cette formule renferme quatre quantités x, a, r, n-, on peut lui

2)4 CH4P1TRB SEIZIEME.

donner les quatre formes suivantes :

log x =r log a + n log ( i -f- r

T log-e — logo

log(t + r) ’

)> loga = logx — «log(t-|-

he (■ + >■)= te

chacune d’elles répond à un problème différent dont le lecteur trouvera lui-même l’énoncé. Par exemple, si l’on veut savoir dans combien d’années un capital devient h fois plus grand , il suffit de remplacer x par ha dans la troisième formule, qui devient

log* .

iog(i + r y

on voit que ce temps est , comme de raison , indépendant de la valeur du capital ; il faut un peu plus de 1 4 ans pour qu’un capital placé à 5 pour 100 devienne double.

244 . Lorsque la durée du placement n’est pas un nombre entier d’années et se compose, par exemple, de n années plus p jours, on obtient sa valeur x en ajoutant à l’expression précédente a (i - 4 - r)" l’intcrèt simple de cette dernière somme pendant les p jours ; on a ainsi

La recherche du denier r est alors un problème difficile qu’on résout par approximations successives (Chap. XXI).

Exemple. — Un capital de: 2^43 r ,75 est placé a intérêts composés au taux de 4 pour i oo ; r/uelle sera sa valeur au bout de i i ans 3 mois ?

a = 2743', 75 , r= o,o4, n = 12, p = 90, log x = log 2 ^ 43 ' , 75 - 4 - 1 2 log 1 ,o 4 + log 1 ,0 1 , log 1 ,o 4 = 0,0170334 1 2 log 1 , o 4 = o , 1 ij44°°o 8 log 2743,75 = 3,4383445 log 1,01= o,oo 432 i 37

log x = 3 , 637 o 65 g 5 x = 4335,75

THÉORIE DBS LOGARITHMES.

346. Pour comparer les valeurs de plusieurs sommes payables à différentes époques, il faut rapporter toutes ees sommes à une même époque.

Un banquier doit une somme a payable dans n années , et il veut s’acquitter en donnant actuellement un billet pay able dans p années. Quelle doit être la valeur x inscrite sur ce billet?

Le capital a payable dans n années vaut aujourd’hui

le billet x payable dans p années vaut aujourd’hui doit donc avoir

d'où

x = a (i 4- ry-*.