ANNUITÉS

246. Un emprunt de a francs est fait au denier r à condition d’étre remboursé par sommes égales payées d'année en année pendant n années ; on demande la valeur de /'annuité, c'est-à-dire de la somme à donner tous les ans.

Au bout de n années, on devra

Soit x la valeur de l’annuité ; donner x à la fin de la première année revient à donner

à la fin de la «““* ; de même donner x à la fin de la seconde année équivaut à donner

à la fin de la n' imt , ainsi de suite ; on aura donc

ar( t 4- r)" * ~ ( i -h r)" — l

2 l6 CHAPITRE SEIZIÈME.

Î447. Pour n = cc , on trouve x = ar-, c’est le cas des renies perpétuelles. Une rente perpétuelle est une somme qu’on doit toucher indéfiniment à la fin de chaque année. Une annuité de x francs payable pendant n années peut être considérée comme la différence de deux rentes perpétuelles de x francs le premier payement d» la première ayant lieu dans un an , et celui de la seconde dans n -j- i ans. Les valeurs actuelles de ces rentes sont :

En égalant leur différence à la valeur actuelle a de l’annuité, on retrouve la formule du numéro précédent

ou

flr(i + r)" (l-t- r)" — i'

Exemple. — Une dette de i i582 f ,6o a été remboursée par des annuités de i5oo francs; on demande quel a été le nombre de ces annuités , le taux étant de 5 pour 1 oo.

La formule précédente donne

et l’on a

« — lo «* ~ — -r)

log(i + r)

■r=l5oo, a = i i58?. f ,6o , r=o,o5,

ar = 5^9, 1 3 , x — ar =920,87,

log I 500 C* log q20 ,87 — 10

log i,o5 ’

log 920,87 = 2,9641983

C‘ log 920 ,87 — io= 3 , o 358 o 1 7 log 1 5 oo = 3 ,i 7609 1 3

log 1 ,o 5 = 0,021 189.30 0,21 i 8 q 3 o

THEORIE UES LOGARITHMES

EXERCICES

I. Calculer le logarithme de 6574 dans le système dont la base est 12.

II. Trouver la base du système dans lequel i3 est égal à son logarithme. Quel est le système dans lequel ^7 est le logarithme de ^5?

III. Quelles sont les bases commensurables telles, que log2o soit cominensurable?

IV. Combien faut-il prendre de termes dans la suite naturelle des nombres pour que le produit

i. 2.3. 4.5. 6. 7. 8. g. 10. 11,..., x de ces termes sont supérieur à un nombre donné?

V. Quelle sera la valeur comptant d’une rente annuelle a qui s’accroît en proportion géométrique de raison q, en supposant qu’elle dure n années au denier r?

VI. Quelle est la valeur actuelle d’une rente annuelle qui doit durer n années au denier r, si elle croît comme la progression arithmétique d, 2 d, 3 d, de sorte qu’au bout de la première année on reçoive d, au bout de la seconde 2 d, etc.?

VIT. Un centime ayant été placé au commencement de l’ère chrétienne à 4 pour too, quelle sera sa valeur en 1860? Calculer le rayon de la sphère d’or qui équivaut à cette somme et comparer ce rayon à celui du globe terrestre.