x, = II, al 4- II, a’ 4- «3 a

de là cette proposition :

i”. Les valeurs qui vérifient un système quelconque de n éqlia-

COMBINAISONS j III.TEtt MINANTS.

tiens <lu premier degré h n inconnues ont pour dénominateur commun le déterminant A des coefficients des inconnues dans ces équations.

2°. Le numérateur de la valeur iF une inconnue quelconque s 'obtient en remplaçant dans ce dénominateur les divers coefficients de l’inconnue considérée par les termes tous connus correspondants.

Ces numérateurs sont encore des déterminants de l’ordre n, dans lesquels les termes tout connus forment la colonne qui dans le déterminant A se compose des coefficients de l’inconnue considérée.

C’est ce théorème déduit de l’observation par Cramer (1750), et démontré par Laplace (1772), qui a donné naissance à la théorie des déterminants. Depuis, grâce aux travaux de Lagrange, Vandermonde, Gauss, Jucolii, Cauchy, Sylvestcr, Hesse, etc., cette théorie a acquis une très-grande importance en raison de l’étendue et de la variété de ses applications dans les diverses branches des mathématiques. « La théorie des déterminants, » dit M. Sylvcster, « est une algèbre au-dessus de l’algèbre, un calcul » qui nous permet de combiner et de prédire les résultats des » opérations algébriques , de la meme manière que l’algèbre nous » dispense de l’exécution des opérations particulières de l’arith- >• inétique. »

273 . Multiplication des déterminants. — Soient les deux systèmes

Ky> + + b\y, = x xt

K Yx + K 7i = .r,,

Substituons dans le premier système les valeurs de x,, x,, x 3 tirées

du second; en faisant, pour abréger.

«! <>\ 4- a\ b\ -+- «j èj =ej, a; b\ + a] b\ + a\ b\ = c’, «î 4- «J 4- a\ b\ = cj,

a) b] a\ b\ 4- a\ b\ — cj,

a\ b\ 4- a\ b\ 4 -a\b\ = c[, a] b\ 4- a\ b\ 4- a\ b\ = cj, a\b\ + a\b\ + e\b\=c\ > '

on obtient les équations

c ! x< -+- c ,yi-+-

qui donnent pour le dénominateur commun des valeurs de y , , , y 3 , le déterminant

Si, au contraire, on déduit

JC 2 ,

■r, du premier système , et

qu’on porte dans le second système ces valeurs qui ont déjà le dé-

terminant

pour dénominateur commun,

on aura

des équations en y,, y,, y>.

d’où l’on tirera pour ces inconnues des valeurs dont le dénominateur sera évidemment le produit de A par le déterrai-

liant

COMBINAISONS} OETEB MINANTS.

Les dénominateurs de ces valeurs des y obtenues par deux voies différentes doivent être les mêmes, on a donc

Le produit de deux déterminants de même ordre est donc un nouveau déterminant de cet ordre , dans lequel les éléments qui constituent une même ligne sont les sommes des produits des éléments d'une ligne de l'un des facteurs par les éléments des diverses lignes de l’autre facteur.

Il est évident qu’au lieu d’effectuer les multiplications des éléments des déterminants facteurs par lignes, on pourrait procéder par colonnes, ou par lignes et colonnes. Ainsi, par exemple, le produit de deux déterminants binaires pourra s’écrire des quatre manières suivantes :

na -f- b%, ay -b b 3 !

a a -b ey , aè -b C 3 '

b a + dy , b 6 d3 ;

[ a u -b by , n 6 -|- b 3 \

au -b cë, ay -f -r/S

[ ect-bdy, cè-*rdS

6a-t-rf6, by-bdS

Quand on a plus de deux déterminants, on fait le produit des deux premiers, puis on multiplie ce produit par le troisième facteur, etc. ... On ne parvient pas au même résultat en prenant les déterminants dans un ordre quelconque. Lorsque les déterminants facteurs sont égaux, le produit se nomme élévation de puissance ; il est bon de noter que dans un déterminant carré d’un antre déterminant les éléments conjugués sont identiques entre eux.

EXERCICES

I. On donne le nom de combinaisons complètes à celles dans lesquelles chaque lettre peut être comlûnée avec elle-même et avec toutes les autres. Démontrer que le nombre des combinaisons complètes de m lettres n à n est égal au nombre des combinaisons sans répétition de m -+- n — 1 lettres n à n. — Le nombre des arrangements complets de m lettres n h n est m".

II. En désignant par P„ le nombre de manières de décomposer un polygone en triangles par des diagonales, on a

P/i-t-l = Pn= P» “H P/1-1 Pi + P/l— J P4 H-.-.-t- P3 Pu— 1 -1- P/I-

III. On joint deux à deux par des droites n points tels, que trois quelconques d’entre eux ne soient pas en ligne droite. Quel est le nombre des intersections?