PRODUIT DE PLUSIEURS 11INOMES AYANT LE MEME PREMIER TERME

270. T h éur km F.. — Le produit de ni polynômes est la somme de tous les produits de m facteurs qu'on peut former avec un terme du premier polynôme , un terme du second,. et un terme du dernier.

La proposition est déjà démontrée pour le ras de deux facteurs (2iî); il suffît de faire voir que si elle est vraie pour un produit P de n polynômes, elle subsiste pour un produit de n 4 - t polynômes. Or il résulte de l’égalité

P (a + b + c 4-... 4- X--t-/) = Pa 4 - Pi 4- Pc 4-, ..4- Pi 4- P/, et de la composition de P :

i°. Que tous les termes du nouveau produit contiennent « -+- 1 facteurs, qui sont un terme du premier polynôme, un terme du second, . . . , et un terme du dernier;

2 °. Que tous ces termes sont distincts, puisque deux quelconques d’entre eux différent, soit par le dernier facteur, soit par le terme de P qui les a fournis ;

3°. Que tous les produits de n -t- i facteurs ont été obtenus; caron a placé successivement chacun des termes du dernier polynôme à la droite de tous les produits de n facteurs qu’on peut former en prenant un terme de chacun des n premiers polynômes.

277. Appliquons ce théorème au produit des m binômes 4- n) (.r -f- i)(.r 4- c). . .(x 4- /)•

Ce produit est un polynôme entier du degré m en x\ son premier terme est .r"‘, produit des premiers termes des binômes, et le