EXTRACTION DES RACINES DES POLYNOMES

28 C. Soit proposé d’extraire la racine a" 1 "' du polynôme P = A.rP A A„xP~" -+-. . . A p .

Représentons cette racine par

on devra avoir identiquement

| AxP -+• A,*'’-'-*-. .H- A„.rf-" + . . -h A p \ = (By -+- B,x r -' + . . .+ + •+ 8r)".

Ce qui exige d’abord que les deux membres soient de même degré, puisque les memes puissances de x aient les mêmes coefficients.

La première condition

p — mr

démontre que le problème proposé est impossible, si — n’est pas entier. Supposons cette condition remplie, le nombre entier auquel se réduit — exprime le degré r de la racine dont il faut déterminer les r ■+■ i coefficients. A cet effet, on élève le polynôme R à la puissance m , ce qui donne un nouveau polynôme de degré mrxzp, et l’on exprime que les coefficients de ce nouveau polynôme sont égaux à ceux qui leur correspondent dans le polynôme proposé P; on obtient ainsi p -+- t équations, dont les r ■+■ i premières servent à déterminer successivement B, B,, .. . , B, ; les suivantes sont des équations de condition auxquelles devront satisfaire les valeurs trouvées de B, B,, B,, ... , B r pour que le problème soit possible.

Examinons la forme des p -f- 1 équations qui lient les coefficients du polynôme proposé à ceux de la racine. On voit aisément que de tous les termes du développement

(Bx-- + B,*'— 1 1 +. . .+ B„x'-" -H. . B r )“

qui contiennent B„, celui qui a le plus fort degré en .r est

m ( Bx r B„ x'-" — m B„ B"-' jf'-*.

.D’ailleurs c’est le seul terme de degré mr — n qui renferme B„. Il résulte de là :

i Que l’inconnue B„ ne se trouve dans aucune des n premières équations;

2° Qu’elle ne figure qu’au premier degré dans la ( n -f- i)'*”'.

' BIWOMF. DF. NF.WTOI». 25g

Ainsi, la première équation ne contient que l’inconnue B; la seconde donne B, par une équation du premier degré, après qu’on a remplacé B par sa valeur; B et B, étant connus, la troisième donne B,, qui n’y figure qu’au premier degré, et ainsi de suite. Rien n’est donc plus facile que le calcul des coefficients de la racine.

Exf.mplf.. — Cherchons, par ce procédé, la racine cubique du polynôme

8ar* -4- I 2 X 1 — 3ox' — 35 -r 3 -+■ ^5-r 3 -H 27 x — 27 .

Pour que ce polynôme puisse revêtir la forme

I 3 bc 1 r+c

(u.r’-4- b* r-4- c) J = <j 5 jc*-4- 3a , bx i -4- 300’!