Soit une équation de la forme

si r, est une valeur approchée de x,on aura, à peu près, x =/(*,).

Désignant cette valeur par x, et substituant de nouveau, on obtient une troisième valeur

qui en fournit une quatrième

et ainsi de suite. Les nombres

x n «it *•>•••

ainsi trouvés forment une série qui parfois converge très-vite vers la valeur exacte de .r.

297. Pour voir si la méthode est applicable, désignons par .r, -+- h la vraie valeur de la racine, on aura

x, -f- (1 =/(x, ■+• it),

et l’erreur x — .r, de la valeur suivante .-r, =y(.r,) aura pour expression

ou. en développant et ordonnant par rapport à h,.

A h 4 - B AM

('Al. CIJLS KUMÉRIQUKS. 2^ I

Cetie erreur est donc à fort |>eu près égale à A//, et pour que .r, soit plus voisin de -r que .-c, , c’est-à-dire pour que la méthode réussisse, il faut que A soit moindre que l'unité.

RÉSOLUTION DE L ÉQUATION ax* -t - Ox -i- c — O LORSQUE a EST TRÈS-PETIT PAR RAPPORT A b ET A c.

298. Lorsque n est très-petit par rapport à b et à c, le radical y /b 7 — 4*r diffère très peu de zéro, et pour avoir une valeur approchée de la racine

— b dtz \b ! — 4ac

il faudrait pousser très-loin l’extraction de la racine carrée de

b ’ — 4ac. D’ailleurs le facteur — étant très-grand, à une petite

erreur commise sur le numérateur répond une erreur notable sur ■r. Aussi dans ce cas, pour résoudre l’équation

a-t-on recours à la méthode des approximations successives. On

ne s’occupe d’ailleurs que de la racine qui tend vers — ^ ; on obtient ensuite l’autre, qui est très-grande, en retranchant la pre-

miere de

299. Avant de commencer, faisons une remarque importante. Soient

a, a\ or 1 ,..., a",.,

les puissances successives d’une fraction, et

b i , b'i , . * • , ffti * . ,

dgs nombres qui ne soient pas très-grands, ou plutôt tels, que les fractions

iii i