On a souvent à résoudre des équations linéaires

dont les coefficients sont fournis par des expériences ou des observations, et alors il arrive presque toujours que le nombre m des équations surpasse le nombre n des inconnues. Les valeurs de •r , v , z, . . . , déduites de 11 des équations données ne peuvent pas

CALCULS Jf UMKRIQUKS.

satisfaire exactement aux équations restantes , puisque les observations ne sont pas douées d’une précision absolue; leur substitution , au lieu d’annuler les premiers membres de ces équations, fournit des nombres plus ou moins petits, s , t", . . .

qu’on nomme des erreurs, et qui varient avec les n équations que l’on prend pour déterminer .r, r, z , . . .

On choisit alors parmi les équations données et parmi les combinaisons en nombre infini auxquelles elles peuvent donner lieu, n équations telles, que la somme des carrés s T — t— e'* — f— i"»4- . . .

des erreurs correspondantes soit minimum.

L’idée qui s’offre la première serait de rendre minimum la somme (tes valeurs absolues des erreurs; mais l’analyse ne se prèle pas à cette condition qui exclut le signe des quantités; l’équation de condition exprimerait le minimum de l’excès des erreurs positives sur les erreurs négatives, et non celui de la somme des valeurs absolues des erreurs; elle n’indiquerait qu’une compensation d’erreurs, qui pourraient néanmoins avoir de grandes valeurs absolues. C’est pourquoi on est obligé de considérer une somme de puissances paires des erreurs , et [jour ne pas être entraîné dans des calculs très- compliques, on prend la somme des carrés.

SOS. Voici comment l’illustre Gauss résout ce problème ( Mémoires de Gottinguc , tome II).

Nous considérerons le cas simple de trois équations à deux inconnues x et j.

Soient donc x et/ un couple de valeurs (pii , substituées dans les équations

donnent les erreurs e, 6 ', t",. . . , en sorte qu’on a a x b y n = t , a' x 4- b' y 4 - n' = é, n"x -f- b" y 4- n”= .

282 CHAPITRE V liNOT ET UNIÈME.

Supposons fju'on ait calculé les sommes

n ! +/7 ,s +rt" J =(ort),

b*+b' t +b"’=(bb), n ’ n'* -f- n" 7 = ( nn ) ;

ab + a'b' + a''b"=(ab), nn a' n' -+- a" n" xz (an),

bn -+- b' n' -+- b" n" — ( bn ) ;

on a

S= s’-t- i" 7 — (nn) -f- i(an)x H- 2 (bn) /

■+ (au) x 7 +• ï(ab)xy -h(bb)jr 7 .

Si donc on pose

A = (an) -+- (aa)x + (ab) y,

1’ expression

(anf

S — y— r — (nn) — '

(au) (aa)

(un) (ab):

(aa)

est indépendante de x ; on peut lui donner la forme

s — r~\ — ("*>') + 2 (* w > i )y •+■ ( hb •

(aa)

les coefficients étant calculés d’après les équations

(an) 1

(nn , 1 ) = (nn) —

(aa)

(bb,i)=(bb)

(au)

(aa)’

(aa)

Cela fait, posons encore

B = (bn, 1 ) + (bb, l)y,

l'expression

CALCULS M «inilQUlïS.

(bb,,)

est indépendante de / ; calculons-la et désignons le résultat par { nn , 2 ) , il viendra

(bb, i)

S étant une somme de carrés , et par conséquent plus grande que zéro , et les diviseurs (an), (bb , i) étant positifs ( 309 ) , le minimum de S aura lieu pour

e’est- A-dire pour

(««)-+- (au) x ■+■ [ab)y = o ,

(*«»») + ( bb,\) y = o.

Ces équations sont faciles à résoudre; il n’y a pas d'élimination à faire ; la dernière donne y, dont la valeur substituée dans la première la réduira au premier degré en x seul.

309. On a dit plus haut que les diviseurs (aa), (bb, i) étaient positifs; cette assertion , évidente pour (aa) , qui est une somme de carrés, demande démonstration pour (bb , t).

Or, on a

(bb,i) = (bb)-W = ~ W,

(aa) (aa)

et le numérateur est une somme de trois carrés

(ab'— ba' )’ -+- (ab"~ ba"y+(a'b"— b' a")\

Rien n’est plus facile que de généraliser la belle méthode précédente , que Gauss a si heureusement appliquée à la correction des éléments de la planète Pallas. ( Exercice 1. 1