ADDITION KT SOUSTRACTION

EXERCICES

1. Un voyageur a parcouru 11 lieues le jour de son départ; mais le lendemain et les jours suivants sa marche s’est ralentie, de telle façon que, si, à partir du second jour de son voyage, on compare le trajet qu’il a fait chaque jour ù celui de la veille, on trouve successivement pour rapport les fractions

on demande le nombre des lieues parcourues par cet homme dans 3o jours. ( ,

II. On a .deux alliages homogènes, mais différents l’un de l’autre. On remplace le tiers du premier par un poids égal du second , et inversement on remplace ce qui a été pris au second par ce qu’on a retiré du premier. L’échange fait, le rapport des deux métaux est le même dans les deux alliages ; quel est le rapport du poids de ces alliages?

III. Deux vases de capacité v et v' sont pleins, l’un de vin, l’autre d’eau ; on remplit à la fois , dans ces deux vases, deux nouveaux vases de même capacité u , puis on verse dans v ce qui a été pris danse', et inversement. Trouver la composition des deux mélanges après i, 2 , 3,.. ., // opérations.

MULTIPLICATION

MULTIPLICATION OES MONOMES.

19. La multiplication des monômes entiers repose sur les trois principes suivants, démontrés en arithmétique :

i°. On multiplie un nombre par un produit en multipliant ce nombre successivement parles divers facteurs de ce produit;

2°. Dans un produit on peut remplacer plusieurs, facteurs par leur produit effectue ; ' ,

3°. Le produit de plusieurs puissances d un meme nombre est égal à la puissance de ce nombre marquée par la somme des expo- ■ sont si • ’ , ~

Ce dernier principe s’exprime par la formule

a m . a", al’ — n"‘ f '"+P,

où m , «,/j Sont des nombres entiers quelconques. Nous allons reprendre, en quelques mots, la démonstration. Dans le produit n m .a n .aP on peut remplacer a m par m facteurs égaux à a, a" par n facteurs égaux .à a , ai’ par p facteurs égaux à a {i°) ; le produit que nous considérons sera formé alors de m -f- n '-+■ p facteurs égaux à n; il sera donc égal 0 -• J- ",

20. Pour multiplier plusieurs monômes entiers, on multiplie les

coefficients entre eux , on donne à chaque lettre commune à plu* sieurs facteurs un exposant çgal à la somme de ceux qu'elle a plans, chacun de ces facteurs, et l’on prend les autres lettres avec leurs exposants .. ' . % ^ .

F.n effet, le premier principe transforme la formule initiale

■ . 5 ti 3 br'd 3 . X -8 fd b z flyt, 3c 6 dlf .

en la suivante : , .

5 a' br" d* . 8 .a'. b-, d.\.ç‘ ,d 7

ML'I.TJPI.ICATION*

<|ni , on- vertu du second principe , peut être écrite •

(5.8.3) {a\ a') [b .b*) (e- ,c r ) (tP .d.d , )'.f;, ou enfin , d’après la troisième règle ,

21. Il résulte des propositions démontrées en arithmétique (*) sur les rapports : i° que pour avoir le produit de plusieurs expressions algébriques fractionnaires , il suffit de 1rs multiplier terme à terme ; 2 ° qu'on n’altère pas La valeur d’une expression algébrique fractionnaire en multipliant ou divisant sis deux termes par une meme quantité.

I.e premier théorème ramène la multiplication des monômcs-fractionnairesà celle des monômes entiers. Le second permet de simplifier le résultat en supprimant les facteurs continu ns.au \ deux termes.

Exemple :

3 a* il b " o 3 i a- 1 db* c - A* ' V. -

6 ifc d 1 2 b c‘ lie l^ a- t“

e par

PRODUIT DIX POLYXOME PAR US M()\0\IE 22. Proposons-nous de multiplier un polynôme a — b un nombre quelconque ni.

Si m est entier, l’opération revient à une addition de /« polynômes égaux à a — b -+- r; le résultat se compose donc de chaque terme répété m fois et pris avec son signe, c’est-à-dire cjue l’on a (a — b -+- c) m — a ni — , bm -f- cm:

Si /« est fractionnaire et de la forme — y q étant entier, nous rt-

marquerons qu’on a d’après ce qui précède

a • — i + tf ■ -H- - J q i

d'ofi, en multipliant par - de part et d’autre,

(«*— li + f)X' =

{*) StRRF.T, Jilrmcnts d Anthnufliqur , chapitre X\.

Oiaitized

lb CHAPITRE TROISIEME.

et puis, en remplaçant - par m, ' r ■

— b - h c) m — am — bm 4 - cm.

Enfin, si m est fractionnaire et de la forme'-, le produit est

égal à p fois la <7'*'"' partie du multiplicande ; et il suffira d’appliquer successivement les deux règles précédentes. En divisant d'abord le multiplicande par q, on a , *

puis', en multipliant ce résultat par p, ap bp c/

^P__ÜP + C £,

ou , en remplaçant - par m ,

am — bm -|- cm.

Ainsi , dans tous les cas , pour multiplier un polynôme par un monôme , il faut multiplier par ce monôme les divers termes du polynôme , et écrire les produits partiels les uns à la suite des autres, en consen>ant à chacun tf eux le signe de son facteur multiplicande. -

25. Il résulte de là que pour multiplier inversement un monôme par un polynôme, on multiplie le monôme successivement par les différents termes du polynôme, en conservant à chàcun des.produits partiels le signe de son facteur multiplicateur.

On a, en effet,

ni [a—b+c ) = (a—.by-c) m = am — bm+cm = ma — inb+mc.

24. On dit qu’tiü polynôme est ordonné par rapport à une lettre, quand ses termes sont rangés de façon que, du premier au dernier, les exposants de cette lettre aillent toujours en croissant ou en diminuant. Lorsque la lettre ordonnatrice entre dans plusieurs termes avec le même exposant; on réunit ces divers termes en un seul en appliquant la règle du n° 22.

fc -

multiplication .

Ainsi le polynôme

5 éc jé + six* ~ 6 c'a.-r'+ $ aJ: s + a «^ a , hc -,

. -devient , après qu’on I’ a ordonné par rapport ; \ Æ)

( 4 « .+ 2 b ) £■ + 5 ôcx 1 — 6 ac'- X > + 4 bc\

et 1 on dit qu’il est du cinquième degré en x.

’ • On l’écrit encore

. 4« I ** ■+• 5 bc.r' — 6 nc s j a i

' h - 2i I -4„’bc\

Il est alors ordonné en colonnes.