PRODUIT DE PLUSIEURS POLYNOMES

30. On obtient le produit de plusieurs polynômes en multipliant le premier par le second , le résultat par le troisième, et ainsi de suite.

31 . Le carré d’un polynôme est égal à la somme des carrés tic ses différents termes augmentée de leurs doubles produits.

La formule connue

(a + b)' = a 1 -+- 4- inb ,

montre quq le théorème est vrai pour un binôme- .

Pour un trinôme, on - a .

(fl -H b -4- c) 3 = [(o + b) -+- c] 1 ,

(a -f- X -t- c) 3 .=r (a -+- X) 3 c 1 -f - 2 (fl ô) *•'

= a' X’ -+- 2 a b -+- c' ■+■ 2 ac -+- 2 Xc , ou

(a -f- X -f- c) 1 = fl’-f- X 1 -+- c 1 •+• 2 ai ■+■ zac 4- 2 bc, ; » ‘ * -, qui est encore conforme à l’cnoncé.

Pour prouver la généralité de cette loi, il faut montrer que, si elle s'applique à un polynôme de n termes , elle subsiste pour un polynôme de n -+- i termes. ‘

— Soient donc

a -+- X -1- c -f-, . . h X un polynôme de n termes, et

fl -(- b -f- c • ... -f- h -f* X q- / un poljrtiôme de n -+- i termes. On a

(n-t- X+c 4 -. h 4- X 4 - /)’= [(a-f- X-4- c -+-•••-*- h+ k) 4- /]> = (a+b+c /i + ky+ P + z(a +b 4-c4-..<4- h+ k)l.

Or le carré (a -h b -t^c +. . .4- h + X) 1 contient par hypothèse les carrés de a, b, c ,.. .', X, X, et tous leurs doubles produits. Si donc on lui ajoute le carré de / et les doubles produits de a , b , c , . . . , h , X par /, on aura bien les carrés de tous les termes de a + i + c + ...+ /i+X + /, ainsi que tous leurs doubles produits.

Donc , si la loi s’applique à un polynôme de n termes, elle subsiste pour un polynôme de n 4 - 1 termes; et comme nous l’avons vérifiée pour un binôme et un trinôme, nous pouvons conclure qu’elle est encore vraie pour un polynôme de quatre termes; par suite elle s’applique à un polynôme de cinq termes, etc.

On écrit souvent le théorème précédent sous la forme symbolique

(« 4- b+ c4-...4-7) , = za 2 4- 22 aX,

le signe 2 indiquant qu’il faut faire la somme de tous les termes semblables à celui que ce signe affecte.