Le cubé d’un polynôme se compose des cubes de scs diffé

MULTIPLICATION. ' 23

rents termes , tic trois fois les produits obtenus en multipliant un terme par le carré d'un autre, et de six fois les produits de trois termes. Il est représenté par la formule symbolique

(a b + c + /)* = 2 a 3 H- 3 la b 7 -f- 6 2 abc,

On vérifie aisément ce théorème pour un binôme et un trinôme. Ainsi l’on a

(a -+- b) 3 = (a -f- b) 3 — (a -4- b) — [a 3 l ab -f- b') (a -4- b) — a 3 -+• 3 a 3 b -4- 3 a b 1 ■+■ b 3 ,

= (a’4- b 3 c 3 -+- zab -4- 2 ac-4- a bc ) (n-f- b -4- c) = a‘+4‘ + c 1 + 3 ab 3 -4- 3ac’ -H 3 bc 3 -4- 3 ba 3 ' 2>ca 3 + 3 cb 3 -4- üabc.

Il ne reste plus alors qu'à démontrer que si la loi s’applique à un polynôme de n termes, elle subsiste pour lin polynôme de n -4- i , termes. Or on a

( <* —J— A ^4— c — f- ...-+- A — f— /■ — t— f) 3 = [(a 4- ü* -+— c — . . . —J— /i — )— A ) — 4— / J ’ = (a-t- b -t- c h 4- if)’-4- l 3 -h 3 (a -t- i+e'+.’-.+A + I)’!

•■+-3 [ii + iH-c + ...+ A + i)/ 1 .

Le second membre contient évidemment tous les cubes a 3 ,..., /•'. Il renferme, en outre, tous les triples produits de la forme 3 a’ S; car soit un quelconque de ces triples produits : s’il ne contient pas l , il est par hypothèse renfermé dans

s’il contient l à la première puissance; il se trouve dans 3(a-4-ô + c-4-...-t-A-4-/S’) 3 /, et s’il renferme / au carré, il est contenu dans ,

On voit de même que les deux parties

(ri + b.- 4- c -4- . . . -4- h -J- k )% 3 (n -4- b 4” c -4- • •• + b H - k )V

contiennent 6 fois tous les produits des trois termes.

, ' EXERCICES