Quand une équation donne pour a: une valeur de la forme

- , on dit que l’inconnue x est indéterminée ; x peut en effet rece- •

voir alors telle valeur qu’on voudra, parce qu’elle n’est assujettie qu’à la condition de donner un produit nul quand on la multqdie par zéro. ;

Néanmoins, il peut arriver que l’indétermination annoncée par

le symbole - ne soit qu’apparente ; le numérateur , et dénominateur

de la valeur de x peuvent avoir un rapport déterminé, et s’annuler seulement à cause d’un facteur commun qu’une hypothèse par- . ticulière a réduit à zéro.

Supposons, par exemple , qu’ttne équation, ait donné la formule

qui pour a == i devient h cette formule peut s’écrire

» (a»+od-M*+i)(à — t) I , , ;

.r = - = ô ( « -t-a -f-a-f-lj,-

et l’on voit qu’au lieu d’être indéterminée pour a i, x prend la

valeur finie L’indétermination apparente tenait à l’existence du ■ -.a

facteiq- commun a — i que l’hypothèse particulière « = i réduisait à zéro. >. ’. . .

D’ailleurs, si, au lieu de faire brusquement a = t, on avait posé

en désignant par h une quantité décroissante et ayant zéro pour h-

•j8 • . • ■ • OIÏAMTnE II«IT1>.MP.

mite, on mirait trouvé

f i -+- h )’ — 1 i + 4 A--4- fi A’ -t- 4 A’ *4* A' "r '•

OIU

(jui h la limite, pour h — o , donne . * i

97. En général, soit une expression algébrique de la forme — •>

où M et N sont composés de telle façon qu’on voudra en x,y, z,..., ... o

et qui devient - pour x— a, y — b, z = c,.... On posera

x = a -j- h, y — b -+- pli , ? = c -+- t/h . . ;

puis, après avoir substitué et réduit le plus possible en supprimant les facteurs communs, on fera h — o : on obtiendra ainsi ce qu’on

appelle la vraie voleur de l’expression ^ pour x = a , y— b ,

z = c,. ... Cette vraie valeur sera d’ailleurs déterminée ou indéterminée, suivant qu’elje se trouvera indépendante des quantités arbitraires p, 7,..., ou qu’èlleçontieiulra encore, toutes réductions faites, une ou plusieurs-de ces quantités; il est, eh effet, évident que dans ce dernier cas on pourra faire acquérir à- l’expression toutes les valeurs possibles en disposant convenablement de p et de q.

Exempi.e. — Soient les fractions

eb' — bc oc — en'

aV — ba' ob ' — b a'

qui pour b = o, b' — o, — se présentent J’uno et l’autre

sous la forme — • Posons o

h , b' — ph , c' — a' — ~ /<’ >jh ;

FORMULES -CrfNF.HM.ES. — DISCUSSION.

la première fraction devient

c ( ap — <? ' ) r

.a [ap — a') a •

elle est donc bien déterminée.

La seconde, ait contraire, prend la forme

. an’ r/h an' q

elle est donc indéterminée, puisqu’en choisissant convenablement p et q , on peut lui faire prendre telle valeur qu’on veut.

98. Lorsqu’on a, comme dans l’exercice qui précède, plusieurs hypothèses à faire, il faut les introduire à la fois; sans quoi, on pourrait faire disparaître une indétermination qui existe réellement. Nous prendrons pour exemple un problème bien connu : Inscrire dans un rectangle de dimensions données d et b un rectangle semblable à un rectangle donné , e’est-à-din: dont les dimensions aient un rapport donné ni .

■r et "a — x étant les segments du côté a\ et y et b — y ceux du côté b, on trouve aisément

d’où

m ( nm — b) m lmb — «1 ’

ni 1 — i ' né — i

Lorsqu’on suppose a — b , et m — r, les deux rectangles de 5 viennent des carrés, et le problème est évidemment indéterminé; car pour inscrire un carré dans Un carré il suffit de diviser de la même manière, mais arbitrairement, les côtés du premier carré.

Aussi les formules se présentent-elles sous la forme -, quand on

y introduit simultanément les deux hypothèses; et si l’on cherche leur vraie valeur, en posant

*. b=.a-\-hy. rn—.i -y pli ,

réduisant et faisant h — o , on trouve les expressions

que la présence de la quantité p rend réellement indéterminées.

Néanmoins, si l’on fait d’abord a = b, ce qui permet de supprimer le facteur commun m — i, puis m — i dans les for-, mules simplifiées

on trouve la valeur déterminée

a)n nui

on fait donc disparaître ainsi une indétermination qui a lieu pourtant en réalité.

SYMBOLES 21 , o *,« — *.