DISCUSSION GÉNÉRALE DUS FORMULES ALGÉBRIQUES

t0«. La démonstration des formules du n° 90 suppose que a et ab' — ba' soient différents de zéro.

En général, pour établir une formule algébrique, on est obligé de faire certaines restrictions , et rien 11 e prouve que lors de la mise en nombres, on puisse se fier aux valeurs fournies par la formule dans le cas d’une hypothèse non permise.

La présente discussion a pour objet de mettre en lu,inière le théorème suivant :

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Toutes les fois qu’une formule algébrique donne , /mur certaines hypothèses faites sur les coefficients , un résultat déterminé [oh infini ), on peut être assuré que ce résultat est exact, c’est-à-dire' que ce résultat est celui qu'on obtiendrait en traitant directement tes équations primitives pour ce cas particulier. •

Considérons, par exemple, la formule qui donne x. Celte formule

conduit à des résultats exacts tant qu’on attribue aux coefficients qui entrent dans la composition de M et de N des valeurs permises ; pour une hypothèse non permise, elle ne peut prendre que l’une des trois formes " ' . . '

Examinons successivement ces trois cas, en observant qu’une hypothèse non permise est toujours une hypothèse isolée à laquelle on peut arriver par une suite d’hypothèses permises qui s’eti approchent de plus en plus. * ’ ,.

Dans le premier cas, une hypothèse permise, voisine de l’hypothèse non permise, fournirait un résultat exact de la forme

à mesure que l’on se rapproche de l’hypothèse non permise, les nombres a et 6 tendent vers zéro ; et comme le résultat ne cesse pas de convenir, il conviendra encore à la limite, en sorte que la , A

valeur - est exacte. - •

Dans le second cas, une hypothèse permise, voisine de l’hypothèse non permise, fournirait un résultat exact de la forme

à mesure qu’on sé rapproche de l’hypothèse non permise , les

nombres « et 6 tendent vers zéro, et le résultat , ne cessant pas de

convenir, est encore exact à la limite. En d’autres ternies, - est ' t °

la valeur qu'on déduirait des équations primitives en les traitant

• pour le cas particulier que l’on considère; ce qui veut dire (OU) que, toutes les fois que la formule donne un résultat de la forme

-, les équations primitives sont impossibles.

Enfin, dans le dernier cas, une hypothèse permise, voisine de l’hypothèse non permise, ferait acquérir à .r une valeur de la forme

mais comme, à mesure qu’on se rapproche de l’hypothèse non permise, les nombres .a et S, tout en se réduisant à zéro, , peuvent conserver un rapport déterminé, il ne faut pas conclure . à l’indétermination. On doit chercher, par l’artifice général du

n° 97, la vraie valeur de ce et cette vraie valeur, qu’elle soit .

finie, infinie ou indéterminée, satisfera aux équations primitives.

Ainsi, en résumé, toutes les fois qu’une formule algébrique donne pour certaines hypothèses faites sur les coefficients un résultat déterminé (ou infini), ce résultat conviendra aux équations primitives; dans le cas de il y aura de plus à, chercher la vraie valeur comme il a été dit au n° 97.

105. Appliquons ers considérations aux équations (i) i <7.r M- f>X ~ c, tt' x -t, b' y =s ç' t

qui donnent

• tb' — bc' ne' — ca'

nb' — hn'' ^ nb' — ha' .

Supposons les coefficients n, b, a', b' différents de zéro. On a démontre au n" 90 que les formules (a) sont équivalentes aux équa-

-tions(i), tant qu’on n’a pas ab ' — ba' ^o. Examinons ce qui arrive dans le cas de cette hypothèse non permise. •

Si l’un des numérateurs cb' — bc', par exemple, est nul en même temps que ab' — bâ' , l’autre numérateur s'annulera aussi. Par des relations

ab’ — ba ' = o , cb" — bc’ — o ,

on déduit

et, par suite,

— OU

Les valeurs de et de y se présentant sous la forme - et étant

réellement indéterminées, les équations (i) doivent, d’après la théorie précédente, former un système indéterminé, c’est-à-dire rentrer l’un dans l’autre. Or c’est ce qu’il est facile de vérifier; car en multipliant la première équation par b' et la seconde par h, on obtient deux équations nouvelles

ab' x y- bb'y = cb', ba'.r + bb' y~r= bc ' ,

qui sont identiques, puisqu’on a pour hypothèse ab' = ba', cb' = bc".

Si les numérateurs ne s’annulent pas avec ab ' — ba', a! et y se pré-

sentent l’un et l’autre sous la forme — 5 et, d’après la théorie précédente, les équations (i) doivent être incompatibles; c’est cè qu’on voit en effet sur les équations (3) qui sont équivalentes aux relations ( 1 ), et dont les premiers membres sont les mêmes, puisque ab’ = ba', tandis que les seconds sont différents.

Parmi les divers cas que peut offrir la discussion des formules ( 2 ), lorsque l’on suppose que les coefficients a, b, a', b' peuvent s’annuler, le seul intéressant est celui où l’on a

d’où résultent

a b' — ba' xx. o,- cb'>

bc'

il est remarquable qu’alors le second numérateur ac' — ca' peut n’ètre pas nul en même temps que le premier ; la valeur de x de- vient indéterminée, y est infinie, et les équations sont contradictoires. Enfin si l’on supposait à la fois b = o, b’ = o, ac' — ca' = o, on sait (07) que y est arbitraire, mais que x a une valeur dé-

terminée les équations (i) conduisent au même résultat; elles

ne contiennent plus y et elles se réduisent ài = - = -.

COXDITtON D'IDENTITÉ DE DELX POLYNOMES.

104. Un polynôme entier et rationnel qui renferme une lettre arbitraire x, ne peut être nul que si les coefficients des diverses puissances de x sont nuis séparément.

Le théorème est évident pour un polynôme du premier degré A„x 4 - A, ; car en changeant x en ai, a étant un nombre différent de i, on obtient un nouveau polynôme A.ax-t- A, qui doit aussi être nul, quel que soit x; la différence A„(a — i)xdoitdonc être constamment. nulle, ce qui exige A„=o, et, par suite, eu remontant, A|= o.

Pour prouver que la proposition est générale, il reste à faire voir que si elle est vraie pour un polynôme de degré n — i, elle subsiste pour un polynôme de degré n. Or soit

un polynôme de degré n; changeant x en ax , le nouveau polynôme * -

A 0 x a x n 4 - A, a” -1 ■r" -1 H- . . .4- A„, ax-4- A„ .

devra être aussi nul, quel que soit x -, il en sera donc de même de la

différence

x [A,(af— 4- A, (st" -1 — 4- A„, (a — i ) ] ,

ce qui exige, puisque la parenthèse est du degré n - 41 , que les' coefficients des diverses puissances de .r dans cette parenthèse soient mis séparément ; on doit donc avoir, puisque 7 diffère*

FORMULAS GENERALES. — DISCUSSION. • 87

de 1 ,

A 0 — o , A, — o , - * j An — 1 — o t et, par suite, en remontant,

108. Pour que deux polynômes entiers et rationnels qui renferment une lettre arbitraire x soient égaux , il faut que leur diffé- rence soit constamment nulle, c’est-à-dire, d’après le théorème précédent, <j lie les coefficients des diverses puissances de x dans cette différence soient nuis séparément; on enfin, puisque les termes de cette différence sont les différences des termes correspondants des deux polynômes proposés , il faut que ces deux polynômes soient composés identiquement des memes termes.

On peut même dire, en général, que deux polynômes entiers et rationnels qui renferment un nombre quelconque de lettres arbitraires et indépendantes les uneS des autres, ne peuvent être égaux que s'ils sont composés identiquement des memes termes. Il suffit de montrer que si la proposition est vraie pour deux polynômes renfermant n — 1 lettres arbitraires, elle le sera encore pour deux polynômes en contenant n. Or soient deux polynômes contenant n -+- 1 lettres arbitraires x, y, i , . . . , r; après qu’on les aura ordonnés par rapport à x, ils auront la forme

( 1 ) A,j:r-t- A,xP~' -H. .-t- A^, B, J* l -+- . . . -1- B,,

A,, A, , . . , A f , B„, . . , B ? étant des polynômes renfermant les n — i variables y, z, ..., t; les polynômes (i) étant égaux, quel que soit x, on doit avoir

1 2 ) p — q , A, — B 0 , Ai — Hi, ■ • , A p — B , ,j ;

mais ces polynômes ( 2 ) étant égaux et ne renfermant que n — 1 variables, doivent être respectivement composés des mêmes termes ; et, par suite, il doit en être de même des polynômes proposés.