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108. Exemple II. — Trouver le reste de la division d’un polynôme par -v - — a , et la forme du quotient.

Soit le polynôme

A, x" -+• A, JF*—' -h . . . + A „ .r”’-» -+■ . . . -t- A m , x -f- A„ .

Le diviseur étant du premier degré, le quotient sera un polynôme de degré m — i, tel que

et le reste qui a pour expression

A.t"‘ -+- A,.r*-‘ -I- Aj.r"‘~ ’-t- ...-+- A„x m ~“ -+- . . . 4- A,., x -h A„

sera de degré zéro. Nous aurons donc l’expression de ce reste en égalant à zéro les coefficients de .r, x’ , . . . , tirant la valeur de B„ des équations ainsi obtenues, et portant celte valeur dans A m -H flB, H . '

x^-'-y Af

-ha B,

-ha B„

-ha B m ,

En annulant les coefficients de x , x’, . . . , x"‘, on trouve

^ A*. 4- a B rt B„ + , | ) • 14 A m , 4 - fi B„, t ™ B*.

Multipliant la première équation par a"', la seconde par la dernière par/?, et ajoutant, il vient

Le reste A„ +«B, prend donc la forme

c’est-à-dire qu’il est égal au résultat de la substitution de a à x dans le dividende. C’est une autre démonstration du tliéorèlne-(tfK).

Les équations ( 1 ) montrent que Von obtient un coefficient quelconque du quotient en multipliant le coefficient précédent par a et ajoutant te coefficient du terme de meme rang dans te dividende. L’application de cette loi au dividende reproduit les for-

mules du n° 86.

EXERCICES