OBJET DF. CE CHAPITRE
109. La résolution d’un problème comprend trois parties distinctes ; .
i°. La mise en équation , c’est-A-dire la traduction algébrique des relations que l’énoncé établit entre les données et les inconnues ;
2 °. La résolution des équations ainsi trouvées;
3°. La discussion, c’est-à-dire la recherche des valeurs limites des données en dehors desquelles le problème cesse d’être possible, et l’examen des valeurs intermédiaires de ces données pour lesquelles les inconnues se présentent sousWnc forme remarquable.
La résolution des équations ayant été traitée avec détail dans les trois chapitres précédents, nous ne parlerons ici que de la mise en équation et de la discussion des problèmes.
MISE EK ÉQUATIOX.
f 10. On ne peut formuler d’une manière précise la marche à suivre pour mettre un problème en équation. Tout ce qu’on peut dire de plus général, c'est qu'il faut indiquer sur les lettres qui représentent les inconnues et sur 1rs données, les opérations que lion effectuerait si , après avoir trouvé la valeur des Inconnues, on se proposait de vérifier que ers valeurs satisfont nu. r conditions énoncées.
Exemple L — Une paysanne ., chargée de vendre des oeufs au marché, vend à une première personne la moitié de ses œufs, plus la moitié d'un œuf; à une seconde pet sonne, ia moitié des œufs qui lui restent, plus la moitié. d’un œuf, etc.; enfin h une n Ume personne , la moitié des œufs qui lui restent, plus la moitié tl’un
œuf. Elle a alors vendu tous ses œufs : combien en avait-elle en . arrivant au marché? > -
Soit x le nombre cherché. La paysanne vend d’abord
œufs; il ne lui en reste donc que
I ou
Elle vend alors à la seconde personne un nombre d’œufs marqué . par •
elle n’en a donc plus que x :
La troisième vente est^le
œufs; et le reste
La loi des restes
OU -8 ï. ou V-
r — i jc - — 3 æ — «
OU
montre que, après n ventes, la paysanne n’a plus qu’un nombre
d’œufs égal à — [x (2“ — 1) ; en sorte que’ l’équation du problème est , v .
o, d’où x.= 2"— .1
Digiliîed by Co.t^lç.
PROBLÈMES I»1I PREMIER DEGRÉ. ^ ()f)
III. Exemple II. — On forme un alliage de deux métaux dont les poids spécifiques ( poids de l’unité de volume) sont p et p' ; on prend h cet effet p kilogrammes du premier métal et p' du
second: le volume total subit une contraction de i par unité. Quel est le poids spécifique x de cet alliage ?
Le poids total de l’alliage est p -+- // ; son volume est donc
D’ailleurs les volumes des métauxétant -, — t , la somme de . ces valeurs sera
et la contraction
en sorte que le volume de l’alliage peut encore s'écrire
on a donc
Lorsque les métaux s’allient sans contraction, on a
Cette dernière formule permet de trouver p et p', lorsqu’on connaît x, p, p' et p p' ; on retombe ainsi sur le problème fameux de la couronne d’Hiéron.
US. Exemple III. — . Un train dont la vitesse est v part après un autre train dont la vitesse estV, et te retard eit calculé de façon qu’ils 'arrivent en même temps à la destination. Mais le premier
q() CBAPITEF. NEUVIEME.
train est obligé de ralentit sa vitesse de moitié après avoir fait les
— de sa course, en sorte qu’il y a rencontre des trains a lieues avant
la fin du voyage. Quelle est la longueur totale -r du trajet ?
Si le premier train n’éprouvait pas d’accident, il mettrait un
temps - pour faire le trajet; le second train fait ce même trajet dans le temps - : le retard calculé est donc
JC x
jj — (i
et en lui ajoutant l.e temps nécessaire au second train — - — pour arriver A l'endroit de la rencontre, on a le temps
» x a, OU
après lequel la rencontre a lieu. D’ailleurs ce temps est égal à celui
après lequel le premier train ralentit sa vitesse, augmenté de celui
qui s’écoule entre le ralentissement et la rencontre. On a donc î’éqnation ’ ,
d’où
115 Exemple IV. , Trois joueurs conviennent qu’à chaque
PROBLÈMES DU PREMIER DEGRE. tfl
partie le perdant doublera l'argent des deux autres ; ils perdent ■ chacun une partie, puis ils se retirent avec 120 francs chacun. Quelles étaient tes mises x , y , z?
En admettant que le joueur x perde la première partie, le joueur / la seconde, et le joueur z la troisième, on voit que l’état des fortunes est successivement
x — y — z, 2/ 2z après la première partie.
