En combinant les deux expressions

ft 4- ot , C + rf( .

par addition, soustraction, multiplication et division, on trouye successivement

{ a -t- bi) 4 - (c 4 - di) ~ "■( a 4- c) 4-, {b 4 - d) f ,

(a 4- 6 /) — (c 4- di) ={a — c) 4 - (b — d) i ,

[a 4- bi) (c 4 - di) — ne 4 - bdP 4- (ad 4- bc) i

t=(rtc — bd) t + (ad 4- bc)i, ‘

a -t- bi -(a 4 - bi) ( c — di) ne — b dé 4- (bc — <td) 1 9

c 4- di (c .4- di ) (c — di) tPi* ■ , >

ne -4- bd bc — ad

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RADICAUX: IMAGINAIRES

1 Tj

et l'on voit que tous ces résultats sont de la forme

A-I-Bi.

145. Théorème I. — Un multipliant membre à membre plusieurs. égalités de la forme

(1) a 4- bi = a' ■+■ b' i , ort obtiendra une égalité de la forme (141)

dans laquelle A sera égal à A' et B sera égal à B'.

En effet, avant de rebaisser les exposants de i au-dessous de en posant P = — i, les deux membres de l’égalité qu’on obtient en multipliant les égalités (i) seront deux polynômes de même degré en i et qui ne différeront que parle changement de <7, b,..., en a', b',... \ dans ces deux' .polynômes, les coefficients des.mêmes puissances de i seront donc égaux, puisqu’on posant les égalités (i), oi» savait d’avance que a, i,..., étaient égaux à a', b',.,. ; l’égalité de ces coefficients subsistera donc quand on aura rabaissé

les exposants de t au-dessous de 2 , et l’on aura ; A = À\ B = B'.

144. 'Théorème II. — Pour qu’un produit soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. * -

Il s’agit d’étendre à un produit de facteurs imaginaires ce théorème qui est évident pour un produit de facteurs réels.

Soit donc le produit

(a -4- bi) (c ■+■ di) = ( ac — bd) - f- (ad -+- bc) i ;

on n’a le droit de l’égaler à zéro que lorsqu’on sait d’avance que les quantités ac — bd, ad -f- bc sont séparément milles, et, par

suite, que l’un a

- . (ne — bd)' -i- (adç-h bc)' = o .

Réeiproquement’cette relation entraîne

, ■ ... ac — bd ~ O , ad -h bc ep o f et, par conséquent, annule le produit qui précède.

t:’(5 ■ . CHAPITRK llIXtKtfF..

Or IV'galilé (i) peut s’écrire

(’«’ ■+- b'.) (c‘ - 4 - fit 1 ) — o ; elle exige donc qu’on ait

■soit .

-c’est-à-dire que l’un des facteurs imaginaires soit nul.